Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

RWT64x9jSYnbg

Punkt materialny wprawiono w ruch obrotowy z prędkością kątową 𝜔₁ po okręgu o promieniu 𝑟₁. Jeśli ciało to poruszać się będzie po promieniu 𝑟₂, to jaka będzie jego prędkość kątowa 𝜔₂? Uzupełnij poniższy wzór.

$r_{1}^{2}$ , $\frac{1}{r_{22}}$ , $+$ , $-$ , $r_{2}^{2}$ , $\cdot$ , $\frac{1}{r_{12}}$

$ω_{2} =$ $ω_{1}$ $\cdot$ $($ $)$

Uwaga: środowisko nie uwzględnia przemienności mnożenia. Z równości momentu pędu w obu sytuacjach otrzymujemy $ω_{2} = ω_{1} \frac{r_{1}^{2}}{r_{2}^{2}} .$

Ćwiczenie 2

Poniższy rysunek prezentuje ciało poruszające się po spirali. W pewnej chwili położenie ciała względem środka spirali dane jest wektorem $\vec{𝑅}_1$ , a prędkość liniowa wynosi $\vec{v}_1$ . Po przemieszczeniu się do punktu $\vec{𝑅}_2$ , w odległości o połowę mniejszej niż poprzednio, ciało porusza się z prędkością $\vec{v}_2$ .

R11bfThF8oSDS

Schemat przedstawia dwa współśrodkowe okręgi, narysowane linią przerywaną o różnych promieniach. Ze wspólnego ich środka poprowadzono dwie strzałki, czerwoną i zieloną. Strzałka czerwona zwrócona w lewo kończy się na zewnętrznym okręgu. Pod nią widnieje oznaczenie wielkie R z indeksem dolnym jeden ze strzałką ponad R. Jej grot wskazuje czarne kółko o promieniu znacznie mniejszym niż promienie okręgów. Z kółka wyprowadzona jest strzałka do góry, przy której znajduje się oznaczenie wielkie V z indeksem dolnym jeden ze strzałką ponad V. Strzałka zielona jest zwrócona w prawo i kończy się na wewnętrznym okręgu. Pod nią widnieje oznaczenie wielkie R z indeksem dolnym dwa ze strzałką ponad R. Jej grot wskazuje czarne kółko o promieniu znacznie mniejszym niż promienie okręgów. Obok kółka widnieje oznaczenie wielkie V z indeksem dolnym jeden ze strzałką ponad V, po nim znak równości i znak zapytania. — Źródło: Politechnika Warszawska, Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0.

Przyjmij, że w ruchu ciała zachowany jest moment pędu i wskaż, który z poniższych wektorów - z rozsądnym przybliżeniem - prezentuje prędkość $\vec{v}_2$ tego ciała:

RaXnWpjjIhZtX

Rysunek przedstawia cztery strzałki. Pod każdą z nich znajduje się oznaczenie literowe. Pierwsza od lewej strony wielka litera A, nad którą jest strzałka zwrócona ku górze o długości takiej jak strzałka oznaczona wielkie V z indeksem dolnym jeden ze strzałką ponad V w treści zadania. Na prawo znajduje się wielka litera B, a nad nią strzałka zwrócona w dół o długości dwa razy krótszej niż strzałka opisana wielką literą A. Dalej na prawo wielka litera C, a nad nią strzałka zwrócona w dół o długości takiej jak strzałka opisana wielką literą A. Ostatnia strzałka po prawej stronie rysunku opisana wielką literą D jest zwrócona w dół i ma długość dwa razy dłuższą niż strzałka opisana wielką literą A. — Źródło: Politechnika Warszawska, Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0.

RFXQsCAgNiO9g

Z zasady zachowania momentu pędu wyprowadzamy przybliżoną zależność $v_{2} = v_{1} \frac{R_{1}}{R_{2}}$ , do której wstawiamy $R_{2} = \frac{1}{2} R_{1}$ , otrzymując $v_{2} = 2 v_{1}$ , zatem wektor prędkości ${\vec{v}}_{2}$ powinien być przeciwnie skierowany do ${\vec{v}}_{1}$ i mieć dwukrotnie większą długość.

Przybliżenie wynika z faktu, że w rzeczywistości spirala nie jest styczna do żadnego okręgu w jej środku. Ścisłe rozwiązanie tego problemu wymagałoby uwzględnienia kąta między narysowanymi wektorami położenia i wektorami prędkości chwilowych.

Ćwiczenie 3

RZD2KKaEOPUs8

Oblicz, ile razy większa będzie prędkość kątowa kulki o promieniu 5cm, która obracała się dookoła pewnej osi w odległości 50cm, jeśli znalazła się w odległości 25cm? Wynik podaj z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku.

ω₂= ............ ω₁

Z zasady zachowania momentu pędu wynika

ω_{2} I_{2} = ω_{1} I_{1}

co po przekształceniu i wykorzystaniu tw. Steinera daje

ω_{2} = ω_{1} \frac{\frac{2}{5} r^{2} + d_{1}^{2}}{\frac{2}{5} r^{2} + d_{2}^{2}} = ω_{1} \frac{\frac{2}{5} (5 cm)^{2} + (50 cm)^{2}}{\frac{2}{5} (5 cm)^{2} + (25 cm)^{2}} \approx 3, 95 ω_{1}

Ćwiczenie 4

Kulka o promieniu $r = 5\,\text{cm}$ porusza się ruchem obrotowym wokół osi, która pierwotnie była odległa o $15\text{ cm}$ od środka kuli. W miarę jak kulka zmniejsza swoją odległość od osi obrotu, zwiększa się jej prędkość kątowa. Wynika to z zachowania przez kulkę momentu pędu - iloczyn malejącego momentu bezwładności i rosnącej prędkości kątowej jest stały.

Pewien eksperymentator wykonał poniższy wykres. Pokazuje on zielonymi punktami zmierzoną prędkość kątową kulki w coraz mniejszych odległościach od osi, wokół której się obracała. Eksperymentator wyznaczył niepewności pomiaru. Stwierdził, że poza czterema punktami, odpowiadającymi największym prędkościom kątowym, odcinki niepewności nie byłyby na wykresie widoczne. Na tle punktów naniósł wyniki dwóch modeli fizycznych, opisujących zachowanie kulki. W jednym kulkę przybliżano punktem materialnym, w drugim traktowano ją jako bryłę sztywną.

R103qtum4uOBU

Wykres ma oś odciętych skierowaną w lewo. Odłożono na niej odległość od osi obrotu w zakresie od pięciu setnych metra do piętnastu setnych metra. Opisano na niej znaczniki co jedną setną metra. Na osi rzędnych odłożono prędkość kątową w zakresie od zera do sześćdziesięciu radianów na sekundę. Opisano na niej znaczniki co dziesięć radianów na sekundę. Oś rzędnych znajduje się blisko prawego brzegu wykresu i przecina oś odciętych w wartości pięć setnych metra. Lewą górną część zajmuje legenda. Obok poziomej kreski niebieskiej widnieje opis model bryły sztywnej. Nieco niżej, obok poziomej kreski czerwonej widnieje opis model punktu materialnego. Jeszcze niżej widnieje zielona kropka, a obok niej opis eksperyment. Linia niebieska zaczyna się nieco na lewo od wartości odciętej równej piętnaście setnych metra przy wartości rzędnej około pięciu radianów na sekundę. W miarę, kiedy maleje odległość od osi obrotu linia niebieska przebiega przez coraz większe wartości prędkości kątowej. Wzrost ten jest początkowo ledwie zauważalny, w okolicach odciętej równej dziesięć setnych metra staje się widoczny, zaś w okolicach siedmiu‑sześciu setnych metra jest wydatny. Linia niebieska kończy się na osi rzędnych, przy prędkości kątowej około trzydziestu pięciu radianów na sekundę. Przebieg linii czerwonej dla dużych wartości odciętej jest praktycznie tożsamy z linią niebieską. Pokrywają się one aż do okolic odcięte siedmiu setnych metra. Wtedy, w miarę, kiedy maleje odległość od osi obrotu, wzrost wartości prędkości kątowej dla linii czerwonej staje się wyraźnie większy niż dla linii niebieskiej. Linia czerwona kończy się na osi rzędnych, przy prędkości kątowej równej niecałe pięćdziesiąt radianów na sekundę. Na wykresie znajduje się jedenaście zielonych kropek, których odcięte pokrywają się ze znacznikami na osi odciętych. Siedem pierwszych kropek, licząc od lewej strony, pokrywa się z liniami czerwoną i niebieską, które w tym zakresie są praktycznie tożsame. Cztery pozostałe kropki, leżące w obszarze, w którym obie linie się rozdzielają coraz wyraźniej, są ułożone na linii niebieskiej. Każda z tych czterech kropek leży w środku pionowego odcinka, także w kolorze zielonym. Każdy odcinek jest tym dłuższy, im większa odpowiada mu prędkość kątowa. — Źródło: Politechnika Warszawska, Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0.

Na podstawie tego wykresu oceń, który z tych modeli jest poprawny.

Każdy z tych modeli jest „poprawny” w tym sensie, że w dużym zakresie odległości prowadzi do przewidywań zgodnych z danymi eksperymentalnymi. Łatwo jednak zauważyć, że modele te różnią się zakresem stosowalności. W przedziale odległości od $15\,\text{cm}$ do około $7--8\,\text{cm}$ krzywe wykreślone na podstawie obu modeli mają jednakowe przebiegi i przechodzą - przy wybranej skali wykresu - przez punkty pomiarowe. W tym zakresie oba modele jednakowo dobrze opisują wyniki eksperymentu.

W zakresie odległości mniejszych niż $7\,\text{cm}$ przewidywania modelu punktu materialnego przestają być zgodne z wynikami pomiarów. Tymczasem model bryły sztywnej jest zgodny z wynikami pomiarów w całym zakresie odległości użytych w doświadczeniu. Na tym polega szerszy zakres stosowalności tego ostatniego modelu i jego wyższość nad modelem punktu materialnego. Warto jednak wspomnieć o pewnej praktycznej zalecie modelu punktu materialngo: wymaga on prostszych obliczeń.

Ćwiczenie 5

R4SHfkWpzDCnL

Rysunek przedstawia elipsę narysowaną przerywaną linią, spłaszczoną w kierunku pionowym. Linią przerywaną narysowane są dwa prostopadłe do siebie odcinki, będące osiami elipsy. Pozioma oś jest dłuższa, pionowa ma długość około 70 procent osi poziomej. Na osi poziomej, na prawo od środka elipsy, narysowano kółko koloru pomarańczowego, o średnicy rzędu 10 procent długości osi poziomej. Znajduje się ono bliżej prawego końca osi niż środka elipsy. Z tego kółka wyprowadzony jest ukośny odcinek, w lewo i nieco w górę. Kończy się on na elipsie, a w jego końcu narysowane jest kółko niebieskie o średnicy około trzy razy mniejszej niż pomarańczowe. — Źródło: Politechnika Warszawska, Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0.

R16uEzmz7rv8e

Powyższy rysunek w sposób schematyczny prezentuje Ziemię orbitującą wokół Słońca (nie jest zachowana skala rozmiarów ani odległości!). Na rysunku widać, że orbita Ziemi ma kształt elipsy, a nie okręgu - a Słońce znajduje się w jednym z ognisk tej elipsy. Znaczy to, że odległość między Ziemią a Słońcem zmienia się w ciągu roku. Czy w związku z tym zmieniać się będzie także prędkość liniowana naszej planety?

Tak, będzie największa, gdy Ziemia będzie w największej odległości od Słońca.
Tak, będzie największa, gdy Ziemia będzie w najmniejszej odległości od Słońca.
Nie, prędkość jest stała, niezależnie od odległości Ziemi od Słońca.
Żadne z powyższych.

Ćwiczenie 6

Bolas to dawna broń myśliwska. Składała się z ciężkich kul (dwóch lub więcej), połączonych sznurem. Kule były ciężkie, wykonane z kamienia lub metalu, a sznur dość długi. Jak myślisz, jaka była zasada działania tej broni?

R1JTIZVHtxgqR

Zdjęcie przedstawia bolas – broń myśliwską miotaną, złożoną z dwóch kul, połączonych cięgnem, w prezentowanym przykładzie sznurem. Tego rodzaju broń używana była przez Inuitów i Indian Ameryki Południowej do ogłuszania i pętania zwierząt. Zdjęcie prezentuje eksponat muzealny z Narodowego Muzeum Historycznego w Buenos Aires w Argentynie. — Źródło: Roberto Fiadone, dostępny w internecie: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Boleadoras_02.jpg [dostęp 24.08.2022], licencja: CC BY-SA 4.0.

RqqOsdUGbN1Gi3

Ćwiczenie 7

Z zasady zachowania momentu pędu wynika, że jeśli ciało poruszało się z prędkością liniową $v_{1}$ po okręgu o promieniu $r_{1}$ , to poruszając się okręgu o promieniu $r_{2}$ będzie miało prędkość:

$v_{2} = v_{1} \frac{r_{2}}{r_{1}}$
$v_{2} = v_{1} \frac{r_{1}^{2}}{r_{2}^{2}}$
$v_{2} = v_{1} \frac{r_{1}}{r_{2}}$
$v_{2} = v_{1} \frac{r_{1}^{2}}{r_{2}^{2}}$

Ćwiczenie 8

Satelita geostacjonarny orbituje wokół Ziemi w płaszczyźnie równika. Jego orbita jest okręgiem o promieniu $r_s=\text{42000 km}$ , a prędkość orbitalna $v_s=\text3,1\space \frac {\text{km}}{\text s}$ . Wyobraź sobie, że taki satelita utracił łączność z Ziemią i w niekontrolowany sposób włączał i wyłączał swoje silniki sterujące. Skutkiem takiego procesu mogłoby być poruszanie się satelity po linii krzywej, leżącej w płaszczyźnie równika, ale położonej coraz bliżej Ziemi. W momencie wyczerpania paliwa orbita satelity mogłaby ponownie mieć kształt okręgu, ale o mniejszym promieniu $r_b=\text{7000 km}$ . Na takiej orbicie jego prędkość orbitalna $v_b=7,6\space \frac {\text{km}}{\text s}$ . Choć taki proces jest niezmiernie mało prawdopodobny, to jest możliwy.

Zbadaj, czy w opisanym procesie przejścia z jednej kołowej orbity na drugą, także kołową ale niższą, zachowany zostałby moment pędu satelity. Skomentuj wynik badania.

Uzasadnione jest traktowanie satelity jako punktu materialnego – pomyśl o jego rozmiarze i porównaj go z promieniem orbity. Moment pędu punktu materialnego wyraża się wzorem:

$L=I\omega=mr^{2}\omega=mrv$

W równaniu wyrażono moment bezwładności punktowego satelity przez jego masę $m$ i kwadrat promienia orbity oraz wykorzystano związek pomiędzy prędkością liniową a kątową w ruchu punktu po okręgu. Postawmy hipotezę, że moment pędu jest zachowany. Zgodnie z nią powinno być:

$L_s=L_b\Rightarrow mr_sv_s=mr_bv_b\Rightarrow\frac{v_b}{v_s}=\frac{r_s}{r_b}$

Jednak lewa strona tej równości ma wartość około 2,45, podczas gdy prawa strona ma wartość 6. Wynik ten pokazuje, że postawiona hipoteza jest fałszywa - w opisanym procesie moment pędu satelity nie został zachowany.

Bliższa analiza rozwiązania pokazuje, że moment pędu w opisanym procesie zmalał: sprawdź samodzielnie, że $L_{s}\gt L_{b}$ . Można to wyjaśnić oddziaływaniem pomiędzy satelitą a wiązką materii emitowanej z rakietowych silników sterujących. Materia ta działała widocznie na satelitę momentem siły o niezerowej wartości. Wskutek tego oddziaływania zmalał nie tylko momentu pędu, ale także całkowita energia mechaniczna satelity. Jego energia kinetyczna natomiast wzrosła w tym procesie. W zrozumieniu tego paradoksalnego efektu pomoże Ci e‑materiał „Jak zastosować zasadę zachowania energii do ruchu orbitalnego?”.

Film (standardowy)

Dla nauczyciela