Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

RPXrIq9gLZzA7

Ćwiczenie 1

R1YXp8FAfqMoF1

Ćwiczenie 2

Zaznacz odpowiednie słowa tak, aby poniższy tekst był poprawny:

Drgania {#swobodne} / {wymuszone} mogą odbywać się tylko z jedną, konkretną częstotliwością, za to częstotliwość drgań {swobodnych} / {#wymuszonych} możemy zmieniać.

Aby miały miejsce drgania {swobodne} / {#wymuszone}, musi stale działać zewnętrzna siła, która je podtrzymuje; z kolei drgania {#swobodne} / {wymuszone} mogą odbywać się pod nieobecność takiej siły.

R1Z64dVNG4bzn1

Ćwiczenie 3

Poniżej podano przykłady różnych drgań. Dla każdego z nich wskaż, czy są to drgania swobodne, czy wymuszone.

1. Skoczek skacze do basenu z trampoliny. Gdy odrywa się on od trampoliny, ta zaczyna drgać ze stopniowo malejącą amplitudą.
Drgania {#swobodne}/{wymuszone}

2. W przyspieszającej do góry windzie montujemy wahadło. Gdy odchylimy je od pionu i puścimy, rozpocznie ono drgania, których częstotliwość będzie większa, niż gdyby winda nie miała przyspieszenia.
Drgania {#swobodne}/{wymuszone}

3. Gdy trącimy butelkę wody, po powierzchni wody zaczynają rozchodzić się tam i z powrotem fale. Oznacza to, że cząsteczki wody drgają. Drgania te jednak po kilku sekundach się gasną.
Drgania {#swobodne}/{wymuszone}

4. Gdy niesiemy talerz, który jest po brzegi wypełniony zupą, na powierzchni zupy powstają fale, które są konsekwencją drgań {swobodnych}/{#wymuszonych}.

Ćwiczenie 4

Pionową sprężynę zawieszono na pionowym pręcie, którego drgania, również pionowe, można regulować przy pomocy specjalnego mechanizmu. U spodu sprężyny zawieszono ciężarek. Następnie, utrzymując stałą amplitudę drgań pręta, zmieniano częstotliwość tych drgań. Dla każdej wartości częstotliwości mierzono amplitudę drgań ciężarka. Wyniki tego doświadczenia przedstawia poniższa tabela. Na podstawie danych pomiarowych podaj z dokładnością do 0,05 Hz, jaką częstotliwość uzyskałby ten ciężarek, gdyby wprawiono go w drgania swobodne. Wynik podaj z dokładnością do dwóch cyfr znaczących.

Nr pomiaru	Częstotliwość drgań pręta [ Hz ]	Amplituda drgań ciężarka [ cm ]
1	1,1	1,2
2	1,2	2,3
3	1,3	5,0
4	1,4	16,9
5	1,5	16,1
6	1,6	7,7
7	1,7	5,4
8	1,8	4,5
9	1,9	3,9

RuYaO1jHE1ml8

Odp: ............ Hz.

Ćwiczenie 5

RS4LXSFBT6qD7

W muzeum wisi wahadło, które ma nieustannie wykonywać drgania swobodne. Aby zniwelować wpływ oporów ruchu, w miejscu gdzie wahadło jest przymocowane do sufitu, zamontowano mechanizm do podtrzymywania drgań własnych. Mechanizm ten lekko popycha linkę z częstotliwością równą częstotliwości własnej wahadła. W ten sposób, w każdym okresie nadaje on wahadłu tyle energii kinetycznej, ile traci ono jej z powodu oporów ruchu. Mechanizm wykonuje

n

pchnięć na minutę. W jaki sposób należy zmodyfikować działanie tego mechanizmu, gdy linka zostanie skrócona

x

razy? Zmieniony mechanizm powinien wykonywać 1. ssss, 2. trzeci_niepoprawny pchnięć na minutę.

$\frac{n}{x}$ , $n \cdot x$ , $\frac{n}{\sqrt{x}}$ , $n \sqrt{x}$

Odp: Zmieniony mechanizm powinien wykonywać ................ pchnięć na minutę.

Niech $t$ oznacza jedną minutę, $l$ - obecną długość wahadła, zaś $g$ - przyspieszenie ziemskie. Wtedy

n = \frac{t}{T_{0}} = \frac{t}{2 π \sqrt{\frac{l}{g}}} = \frac{t \sqrt{g}}{2 π \sqrt{l}}

Jeśli $l^{'} = \frac{l}{x}$ to długość skróconego wahadła, wówczas nowa liczba pchnięć na minutę wynosi

n^{'} = \frac{t}{T_{0}^{'}} = \frac{t}{2 π \sqrt{\frac{l^{'}}{g}}} = \frac{t}{2 π \sqrt{\frac{l / x}{g}}} = \frac{t \sqrt{g}}{2 π \sqrt{l}} \cdot \sqrt{x} = n \sqrt{x}

Ćwiczenie 6

R1GggYkFaxTZL

Zuzia huśta się na huśtawce o długości 2 m. Oblicz, ile razy na sekundę trzeba ją popychać, żeby doprowadzić huśtawkę do drgań o największej możliwej amplitudzie. Przyjmij, że g=9,81 m/s². Wynik podaj z dokładnością do dwóch cyfr znaczących.

Odp: Szukana częstotliwość to f ≈ ............ Hz.

Trzeba obliczyć częstotliwość własną wahadła o podanej długości:

f = \frac{1}{T} = \frac{1}{2 π \sqrt{\frac{l}{g}}} = \frac{1}{2 π} \sqrt{\frac{g}{l}} = \frac{1}{2 π} \sqrt{\frac{9, 81 \frac{m}{s^{2}}}{2 m}} \approx 0, 35 Hz

Ćwiczenie 7

RiqA9vG269vH5

Oblicz, jaką masę musiałby mieć ciężarek na sprężynie o współczynniku sprężystości k=7,5 N/m, by układ miał częstotliwość rezonansową równą 3 Hz? Wynik podaj z dokładnością do 2 cyfr znaczących.

Odp. Masa ciężarka powinna być równa m ≈ ............ g.

Korzystając ze wzoru na okres drgań ciężarka na sprężynie:

f = \frac{1}{T} = \frac{\sqrt{k}}{2 π \sqrt{m}}

dostajemy:

m = \frac{k}{{(2 π f)}^{2}} = \frac{7, 5 \frac{N}{m}}{4 π^{2} (3 Hz)^{2}} \approx 0, 021 kg = 21 g

Ćwiczenie 8

Z jaką częstotliwością trzeba wprawić w drgania mosiężny ciężarek na sprężynie o współczynniku sprężystości $k=5,1\,\text{N/m}$ , aby uzyskać rezonans? Ciężarek jest jednorodną kulą o promieniu $R=1\,\text{cm}$ , a gęstość mosiądzu to $d=8730\,\text{kg/m}^3$ .

Należy skorzystać ze wzoru na okres drgań ciężarka na sprężynie:

f = \frac{1}{T} = \frac{1}{2 π} \sqrt{\frac{k}{m}} = \frac{1}{2 π} \sqrt{\frac{k}{d V}} = . . . = 1, 88 Hz

gdzie $V = \frac{4}{3} π R^{3}$ jest objętością kuli.

Rs2FQqfMSCpoG3

Ćwiczenie 8

Ćwiczenie alternatywne. Zaznacz odpowiedź poprawną: Częstotliwość rezonansowa wahadła matematycznego jest wyrażana, jako:

pierwiastek z długości wahadła podzielonej przez przyspieszenie grawitacyjne pomnożony przez dwa razy mała grecka litera pi.
pierwiastek z długości wahadła podzielonej przez przyspieszenie grawitacyjne podzielony przez dwa razy mała grecka litera pi.
pierwiastek z przyspieszenia grawitacyjnego podzielonego przez długość wahadła pomnożony przez dwa razy mała grecka litera pi.
pierwiastek z przyspieszenia grawitacyjnego podzielonego przez długość wahadła podzielony przez dwa razy mała grecka litera pi.

Ćwiczenie 9

Energię całkowitą w ruchu drgającym można obliczyć ze wzoru:

E_{c} = \frac{1}{2} m A^{2} ω^{2}

gdzie $m$ - masa ciała, $A$ - amplituda jego drgań, a $\omega$ - jego częstość kołowa, tj. $\omega = 2\pi f$ , gdzie $f$ jest częstotliwością drgań. Ciężarek na sprężynie o współczynniku sprężystości $k=13,5\,\text{N/m}$ wprawiamy w drgania swobodne o amplitudzie $A = 15\,\text{cm}$ . Amplituda tych drgań stopniowo maleje pod wpływem sił oporu i ostatecznie ciężarek się zatrzymuje. Oblicz całkowitą pracę sił oporu od rozpoczęcia ruchu przez ciężarek aż do zatrzymania.

Zgodnie z zasadą zachowania energii mechanicznej, praca sił oporu jest równa początkowej energii ciężarka. Zakładając, że na początku wykonywał on drgania z częstotliwością własną, otrzymamy:

W = \frac{1}{2} m A^{2} {(2 π f_{0})}^{2} = \frac{1}{2} m A^{2} {(\frac{2 π}{T_{0}})}^{2} = \frac{1}{2} m A^{2} {(\frac{2 π}{2 π \sqrt{\frac{m}{k}}})}^{2} = \frac{1}{2} k A^{2}

Po podstawieniu danych liczbowych dostajemy:

W = \frac{1}{2} \cdot 13,5 \frac{N}{m} \cdot {(0,15 m)}^{2} \approx 0,152 J

R9uIp2LKEYNOw3

Ćwiczenie 9

Ćwiczenie alternatywne. Zaznacz odpowiedź poprawną: Częstotliwość rezonansowa ciężarka zawieszonego n sprężynie jest wyrażana, jako:

pierwiastek z przyspieszenia grawitacyjnego podzielonego przez masę ciężarka pomnożonego przez dwa razy mała grecka litera pi
pierwiastek z przyspieszenia grawitacyjnego podzielonego przez masę ciężarka podzielonego przez dwa razy mała grecka litera pi
pierwiastek z masy ciężarka podzielonej przez przyspieszenie grawitacyjne pomnożonego przez dwa razy mała grecka litera pi
pierwiastek z masy ciężarka podzielonej przez przyspieszenie grawitacyjne podzielonego przez dwa razy mała grecka litera pi

Wirtualne laboratorium WL‑I

Dla nauczyciela