Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

RFOSGMNpleuui1

Ćwiczenie 1

R1AYrd4KHnqsC1

Ćwiczenie 2

RK01PFLDG8brN2

Ćwiczenie 3

Połącz w pary podane wyrażenia tak, aby pojawiły się równości, które są tożsamościami. kosinus indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, x, minus, sinus indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, x Możliwe odpowiedzi: 1. kosinus dwa x, 2. kosinus dwa x nawias jeden, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, sinus indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, dwa x zamknięcie nawiasu, 3. jeden, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, sinus indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, dwa x, 4. jeden, minus, początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, sinus indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, dwa x kosinus indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, x, plus, sinus indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, x Możliwe odpowiedzi: 1. kosinus dwa x, 2. kosinus dwa x nawias jeden, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, sinus indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, dwa x zamknięcie nawiasu, 3. jeden, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, sinus indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, dwa x, 4. jeden, minus, początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, sinus indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, dwa x kosinus indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, x, plus, sinus indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, x Możliwe odpowiedzi: 1. kosinus dwa x, 2. kosinus dwa x nawias jeden, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, sinus indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, dwa x zamknięcie nawiasu, 3. jeden, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, sinus indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, dwa x, 4. jeden, minus, początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, sinus indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, dwa x kosinus indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, x, minus, sinus indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, x Możliwe odpowiedzi: 1. kosinus dwa x, 2. kosinus dwa x nawias jeden, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, sinus indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, dwa x zamknięcie nawiasu, 3. jeden, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, sinus indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, dwa x, 4. jeden, minus, początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, sinus indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, dwa x

RIi0RaSKeKSzA2

Ćwiczenie 4

R12JFvNSoluWf2

Ćwiczenie 5

RywTRUtVfjCCv2

Ćwiczenie 6

Ćwiczenie 7

Sprawdź, czy równość:

$\frac{1 - 8 \sin^{2} x \cdot \cos^{2} x}{\cos^{2} 2 x - \sin^{2} 2 x} = 1$

jest tożsamością.

$\frac{1 - 8 \sin^{2} x \cdot \cos^{2} x}{\cos^{2} 2 x - \sin^{2} 2 x} = \frac{1 - 2 \cdot {(2 \sin x \cdot \cos x)}^{2}}{\cos 4 x} = \frac{1 - 2 \sin^{2} 2 x}{\cos 4 x} = \frac{\cos 4 x}{\cos 4 x} = 1$

Równość jest tożsamością.

Ćwiczenie 8

Udowodnij, że równość:

$\frac{1 - 2 \cos \frac{x}{2} + \cos x}{1 + 2 \cos \frac{x}{2} + \cos x} = - {tg}^{2} \frac{x}{4}$

jest tożsamością.

Wypiszmy najpierw założenia: $1 + 2 \cos \frac{x}{2} + \cos x \neq 0$ , $\cos \frac{x}{4} \neq 0$ .

Dowód rozpoczniemy od przekształcenia lewej strony równości, gdyż jest ona bardziej złożona. Skorzystamy ze wzoru na cosinus podwojonego argumentu postaci: $\cos x = 2 \cos^{2} \frac{x}{2} - 1$ :

$\frac{1 - 2 \cos \frac{x}{2} + \cos x}{1 + 2 \cos \frac{x}{2} + \cos x} = \frac{2 \cos^{2} \frac{x}{2} - 2 \cos \frac{x}{2}}{2 \cos^{2} \frac{x}{2} + 2 \cos \frac{x}{2}}$

Wyłączamy w liczniku i mianowniku przed nawias czynnik $\cos \frac{x}{2}$ :

$\frac{2 \cos^{2} \frac{x}{2} - 2 \cos \frac{x}{2}}{2 \cos^{2} \frac{x}{2} + 2 \cos \frac{x}{2}} = \frac{2 \cos \frac{x}{2} (\cos \frac{x}{2} - 1)}{2 \cos \frac{x}{2} (\cos \frac{x}{2} + 1)}$

Po skróceniu przez wspólny czynnik $\cos \frac{x}{2}$ otrzymujemy:

$\frac{2 \cos \frac{x}{2} (\cos \frac{x}{2} - 1)}{2 \cos \frac{x}{2} (\cos \frac{x}{2} + 1)} = - \frac{1 - \cos \frac{x}{2}}{1 + \cos \frac{x}{2}}$

Korzystamy dwukrotnie ze wzoru na cosinus podwojonego argumentu i otrzymujemy:

$- \frac{1 - \cos \frac{x}{2}}{1 + \cos \frac{x}{2}} = - \frac{2 \sin^{2} \frac{x}{4}}{2 \cos^{2} \frac{x}{4}}$

Korzystając z tożsamości trygonometrycznej $tg x = \frac{\sin x}{\cos x}$ dostajemy:

$- \frac{2 \sin^{2} \frac{x}{4}}{2 \cos^{2} \frac{x}{4}} = - {tg}^{2} \frac{x}{4}$ .

Podana równość jest tożsamością, co należało udowodnić.

Gra edukacyjna

Dla nauczyciela