$\frac{1-8{\sin }^{2}x·{\cos }^{2}x}{{\cos }^{2}2x-{\sin }^{2}2x}=\frac{1-2·{\left(2\sin x·\cos x\right)}^2}{\cos 4x}=\frac{1-2{\sin }^{2}2x}{\cos 4x}=\frac{\cos 4x}{\cos 4x}=1$

Równość jest tożsamością.

Wypiszmy najpierw założenia: $1+2\cos \frac{x}{2}+\cos x\ne 0$, $\cos \frac{x}{4}\ne 0$.

Dowód rozpoczniemy od przekształcenia lewej strony równości, gdyż jest ona bardziej złożona. Skorzystamy ze wzoru na cosinus podwojonego argumentu postaci: $\cos x=2{\cos }^2\frac{x}{2}-1$:

$\frac{1-2\cos \frac{x}{2}+\cos x}{1+2\cos \frac{x}{2}+\cos x}=\frac{2{\cos }^2\frac{x}{2}-2\cos \frac{x}{2}}{2{\cos }^2\frac{x}{2}+2\cos \frac{x}{2}}$

Wyłączamy w liczniku i mianowniku przed nawias czynnik $\cos \frac{x}{2}$:

$\frac{2{\cos }^2\frac{x}{2}-2\cos \frac{x}{2}}{2{\cos }^2\frac{x}{2}+2\cos \frac{x}{2}}=\frac{2\cos \frac{x}{2}\left(\cos \frac{x}{2}-1\right)}{2\cos \frac{x}{2}\left(\cos \frac{x}{2}+1\right)}$

Po skróceniu przez wspólny czynnik $\cos \frac{x}{2}$ otrzymujemy:

$\frac{2\cos \frac{x}{2}\left(\cos \frac{x}{2}-1\right)}{2\cos \frac{x}{2}\left(\cos \frac{x}{2}+1\right)}=-\frac{1-\cos \frac{x}{2}}{1+\cos \frac{x}{2}}$

Korzystamy dwukrotnie ze wzoru na cosinus podwojonego argumentu i otrzymujemy:

$-\frac{1-\cos \frac{x}{2}}{1+\cos \frac{x}{2}}=-\frac{2{\sin }^2\frac{x}{4}}{2{\cos }^2\frac{x}{4}}$

Korzystając z tożsamości trygonometrycznej $\mathrm{tg}x=\frac{\sin x}{\cos x}$ dostajemy:

$-\frac{2{\sin }^2\frac{x}{4}}{2{\cos }^2\frac{x}{4}}=-{\mathrm{tg}}^2\frac{x}{4}$.

Podana równość jest tożsamością, co należało udowodnić.