Oznaczmy długości boków tego trójkąta:

$x$ – długość przeciwprostokątnej,

$x-1$ – długość jednej z przyprostokątnych,

$133-2x$ – długość przyprostokątnej.

Z twierdzenia Pitagorasa mamy:

${\left(133-2x\right)}^2+{\left(x-1\right)}^2=x^2$,

$2x^2-267x+8845=0$

$∆=71289-4·2·8845=71289-70760=529$; $\sqrt{∆}=23$

$x_1=\frac{267-23}{4}=61$; $x_2=\frac{267+23}{4}=72,5\notin \mathrm{\mathbb{Z}}$

Zatem boki tego trójkąta prostokątnego mają długości: $11, 60, 61$.

Niech $c$ oznacza długość przeciwprostokątnej.

Z twierdzenia Pitagorasa:

$c^2=a^2+{\left(\frac{a^2-1}{2}\right)}^2$

$c^2=a^2+\frac{{\displaystyle a^4-2a^2+1}}{4}$

$c^2=\frac{{\displaystyle 4a^2+a^4-2a^2+1}}{4}$

$c^2=\frac{{\displaystyle a^4+2a^2+1}}{4}$

$c^2={\left(\frac{{\displaystyle a^2+1}}{2}\right)}^2$

Zatem: $c=\frac{{\displaystyle a^2+1}}{2}$.

Pole wyznaczamy ze wzoru Herona $P=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}$, gdzie $p$ jest połową obwodu trójkąta, czyli $p=\frac{13+16+19}{2}=24$.

Stąd $P^2=24\left(24-13\right)\left(24-16\right)\left(24-19\right)=24·11·8·5={\left(2^3\right)}^2·165$, więc $P=8\sqrt{165}$.

Wyznaczamy długości wysokości korzystając ze wzoru $P=\frac{ah}{2}$, czyli $h=\frac{2P}{a}$.

Stąd $h_1=\frac{2·8\sqrt{165}}{13}=\frac{16}{13}\sqrt{165}$, $h_2=\frac{2·8\sqrt{165}}{16}=\sqrt{165}$, $h_3=\frac{2·8\sqrt{165}}{19}=\frac{16}{19}\sqrt{165}$.

Wyznaczamy pole trójkąta $ABC$.

$P=\frac{ab}{2}=\frac{12·16}{2}=96$, wtedy $x=\frac{2P}{c}=\frac{2·96}{20}=\frac{48}{5}$.

Ponieważ $y$ jest równoległy do $AC$, to $y$ jest wysokością w trójkącie $BCE$. Wyznaczamy długość boku $EB$ tego trójkąta ${\left|EB\right|}^2=a^2-x^2={16}^2-{\left(\frac{48}{5}\right)}^2=\frac{5^2·{16}^2-3^2·{16}^2}{5^2}=\frac{{16}^2\left(25-9\right)}{5^2}=\frac{{16}^2·4^2}{5^2}$, więc $\left|EB\right|=\frac{64}{5}$.

Teraz $y=\frac{2P}{16}=\frac{2·{\displaystyle \frac{64·48}{2·5·5}}}{16}=\frac{192}{25}$.

Odcinek $z$ jest wysokością trójkąta $BEF$, więc jest równoległy do $x$. Skorzystamy z podobieństwa trójkątów $ABC$ i $EBF$ (ramiona kąta przecięte prostymi równoległymi).

Stosunek długości wysokości $x:z$ jest równy stosunkowi długości przeciwprostokątnych $\left|AB\right|:\left|EB\right|$.

Stąd $z=\frac{x·\left|EB\right|}{\left|AB\right|}=\frac{{\displaystyle \frac{48}{5}}·{\displaystyle \frac{64}{5}}}{20}=\frac{48·64}{25·20}=\frac{768}{125}$.