R1cch7TQTYcdj

Rysunek przedstawia graniastosłup prawidłowy czworokątny, wierzchołki dolnej podstawy to A B C, a wierzchołki górnej podstawy to $A\text{'}$$B\text{'}$ $C\text{'}$. Krawędź podstawy podpisano literą a, krawędź boczną również podpisano literą a. Na środku boku AB znajduje się punkt D. Przez punkty $C\text{'}$ i D przechodzi prosta. Na krawędzi $A\text{'}$$B\text{'}$ bezpośrednio nad punktem D zaznaczono punkt $D\text{'}$. Punty $C\text{'}$$D\text{'}$D tworzą trójkąt prostokątny, w którym D $D\text{'}$$C\text{'}$ to kąt prosty, a kąt $C\text{'}$D$D\text{'}$ podpisano literą alfa.

Zaznaczmy szukany kąt na rysunku. Znajduje się on w trójkącie prostokątnym $DD\text{'}C\text{'}$ i zachodzi następująca zależność trygonometryczna:

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{\left|D\text{'}C\text{'}\right|}{\left|DD\text{'}\right|}$

Odciek $D\text{'}C\text{'}$ jest wysokością podstawy, zatem $D\text{'}C\text{'}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Odcinek $DD\text{'}$ ma długość równą krawędzi bocznej.

Zatem

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{{\displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{2}}}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx 0,8660$

Korzystając z tablicy funkcji trygonometrycznych odczytujemy rozwiązanie:

RGOu7TSJNRFNV

Ilustracja przedstawia tabelę składającą się z czterech kolumn i ośmiu wierszy. W pierwszej kolumnie pierwszego wiersza zapisano: $\alpha \left[°\right]$, w drugiej kolumnie tego wiersza mamy zapis: $\sin \left(\alpha \right)$, $\cos \left(\beta \right)$, w trzeciej kolumnie: $\tan \left(\alpha \right)$ i w ostatniej kolumnie znajduje się $\beta \left[°\right]$. W pierwszej kolumnie w kolejnych wierszach znajdują się następujące wartości kąta alfa: 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, w drugiej kolumnie w kolejnych wierszach znajdują się następujące wartości sinusów kąta alfa i cosinusów kąta beta: 0,6293, 0,6428, 0,6561, 0,6691, 0,6820, 0,6947, 0,7071, w trzeciej kolumnie w kolejnych wierszach znajdują się następujące wartości tangensa alfa: 0,8098, 0,8391, 0,8693, 0,90044, 0,9325, 0,9657, 1,0000, w ostatniej kolumnie mamy następujące wartości kąta beta: 51, 50, 49, 48, 47, 46 oraz czterdzieści pięć. W tabeli okręgiem zaznaczono zapis $\alpha \left[°\right]$ oraz wartość tego kąta równą 41, również zapis $\tan \left(\alpha \right)$ zaznaczono okręgiem, a jego wartość odpowiadająca kątowi alfa równemu 41 stopni wynosi zero przecinek osiem tysięcy sześćset dziewięćdziesiąt trzy tysięczne.

$\alpha \approx 41°$

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej.

R170WLri9scdP

Rysunek przedstawia graniastosłup prawidłowy trójkątny, wierzchołki dolnej podstawy to A B C, a wierzchołki górnej podstawy to $A\text{'}$$B\text{'}$ $C\text{'}$. Krawędź podstawy podpisano literą a, krawędź boczną podpisano literą h. Ściana boczna AC$A\text{'}$$C\text{'}$ leży w zaznaczonej płaszczyźnie. W graniastosłupie zaznaczono przekątną ściany bocznej B$C\text{'}$,która ma długość osiem. W dolnej podstawie z wierzchołka B na krawędź AC opuszczono wysokość $h_p$, spodek tej wysokości podpisano literą D. Odcinek $C\text{'}$D podpisano literą x.

Z informacji o tangensie kąta $\alpha$ wynika, że

$\frac{3\sqrt{7}}{7}=\frac{h_p}{x}$

$h_p=\frac{3\sqrt{7}}{7}x$

Wstawiając tę zależność do twierdzenia Pitagorasa w trójkącie $BDC\text{'}$ otrzymujemy

${\left(\frac{3\sqrt{7}}{7}x\right)}^2+x^2=8^2$

$\frac{9}{7}{x}^2+x^2=64$

$\frac{16}{7}{x}^2=64$

$x^2=28$

$x=2\sqrt{7}$

Zatem

$h_p=\frac{3\sqrt{7}}{7}·2\sqrt{7}=6$

Teraz możemy obliczyć długość krawędzi podstawy.

$6=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

$a=\frac{12}{\sqrt{3}}=4\sqrt{3}$

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej.

R6wrluRBYAmI7

Rysunek przedstawia graniastosłup prawidłowy trójkątny, wierzchołki dolnej podstawy to A B C, a wierzchołki górnej podstawy to $A\text{'}$$B\text{'}$ $C\text{'}$. Krawędź podstawy podpisano literą a, krawędź boczną podpisano literą h. W graniastosłupie zaznaczono przekątną ściany bocznej B$C\text{'}$,która ma długość d. W dolnej podstawie z wierzchołka B na krawędź AC opuszczono wysokość $h_p$, spodek tej wysokości podpisano literą D. Odcinek $C\text{'}$D podpisano literą x. Kąt BD$C\text{'}$ to kąt prosty. Kąt B$C\text{'}$D podpisano literą alfa, a kąt CB$C\text{'}$ ma 30 stopni.

Dzięki zależnościom trygonometrycznym w trójkącie prostokątnym $BCC\text{'}$ wyrazimy długości krawędzi ściany bocznej oraz przekątnej ściany bocznej za pomocą długości krawędzi podstawy $a$.

$\cos 30°=\frac{a}{d}$

$d=\frac{a}{{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}}=\frac{2a}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}a}{3}$

Przejdźmy do trójkąta prostokątnego $BDC\text{'}$, w którym występuje kąt $\alpha$. Szukany sinus tego kąta to

$\sin \alpha =\frac{h_p}{d}$

Przypomnimy, że $h_p=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Zatem

$\sin \alpha =\frac{{\displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{2}}}{{\displaystyle \frac{2\sqrt{3}a}{3}}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}·\frac{3}{2\sqrt{3}a}=\frac{3}{4}$

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej.

Rd844hnHnsl2L

Rysunek przedstawia graniastosłup prawidłowy trójkątny, wierzchołki dolnej podstawy to A B C, a wierzchołki górnej podstawy to $A\text{'}$$B\text{'}$ $C\text{'}$. Krawędź podstawy podpisano literą a, krawędź boczną podpisano literą h. W graniastosłupie zaznaczono przekątną ściany bocznej B$C\text{'}$.W dolnej podstawie z wierzchołka B na krawędź AC opuszczono wysokość $h_p$, spodek tej wysokości podpisano literą D. Odcinek $C\text{'}$D podpisano literą x. Kąt BD$C\text{'}$ to kąt prosty. Kąt B$C\text{'}$D podpisano literą alfa.

Wiemy, że $\mathrm{tg}\alpha =\frac{3\sqrt{3}}{5}$, czyli $\frac{3\sqrt{3}}{5}=\frac{h_p}{x}$.

Wysokość w podstawie graniastosłupa ma długość $h_p=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Długość $x$ wyznaczymy korzystając z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie $DCC\text{'}$

${\left(\frac{1}{2}a\right)}^2+h^2=x^2$

$x=\sqrt{\frac{a^2}{4}+h^2}$

Zatem

$\frac{3\sqrt{3}}{5}=\frac{{\displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{2}}}{\sqrt{{\displaystyle \frac{a^2}{4}}+h^2}}$

$3\sqrt{3}\sqrt{\frac{a^2}{4}+h^2}=\frac{5a\sqrt{3}}{2}$

Obie strony równania są dodatnie, możemy więc podnieść je do kwadratu:

$27\left(\frac{a^2}{4}+h^2\right)=\frac{75a^2}{4}$

$\frac{27}{4}{a}^2+27h^2=\frac{75a^2}{4}$

$27h^2=12a^2$

$h=\frac{2}{3}a$

Suma długości wszystkich krawędzi jest równa $48 \mathrm{cm}$, zatem

$6a+3h=48$

$6a+3·\frac{2}{3}a=48$

$a=6 \left[\mathrm{cm}\right]$