Warto zauważyć, że od chwili t=t${}^{\prime }$=0, zgodnie z transformacją Lorentza, upływ czasu jest różny w obu układach.

Zgodnie z transformacją Galileusza:

$t_1^{\prime }=t_1$

$x_1^{\prime }=-0,5c{t}_1$

Zgodnie z transformacją Lorentza:

$t_1^{\prime }=\frac{t_1-\frac{x_1\cdot 0,5c}{c^2}}{\sqrt{1-(\frac{0,5c}{c}{)}^2}}\approx 1,155t_1$

$x_1^{\prime }=\frac{x_1-0,5ct}{\sqrt{1-(\frac{0,5c}{c}{)}^2}}\approx -0,577c{t}_1$

Jak widać, odstęp czasu między zdarzeniami jest krótszy w układzie odniesienia, w którym zjawiska zachodzą w jednym miejscu.

W układzie X${}^{\prime }$0${}^{\prime }$Y${}^{\prime }$ otrzymujemy:

$\mathrm{\Delta }{t}^{\prime }=t_1^{\prime }-0=t_1^{\prime }$

W układzie X0Y korzystając z odwrotnych transformacji Lorentza otrzymamy:

${\displaystyle \mathrm{\Delta }t=t_1-0=\frac{t_1^{\prime }+\frac{x_1^{\prime }\cdot 0,5ct}{c^2}}{\sqrt{1-(\frac{0,5c}{c}{)}^2}}-0=\frac{t_1^{\prime }}{\sqrt{1-(\frac{0,5c}{c}{)}^2}}=1,155t_1^{\prime }=1,155\mathrm{\Delta }{t}^{\prime }}$

Jeżeli obliczymy długość pręta jako różnicę współrzędnych początku i końca, to wyjdzie krótsza niż w układzie, względem którego spoczywa.

Ponieważ w chwili ${\displaystyle t^{\prime }=t=0}$ osie współrzędnych się pokrywają, to współrzędna początku pręta w obu układach wynosi 0. Współrzędna końca pręta spoczywającego w układzie X${}^{\prime }$0${}^{\prime }$Y${}^{\prime }$ jest równa jego długości i wynosi L${}^{\prime }$. Korzystając z transformacji Lorentza współrzędnych możemy zapisać:

${\displaystyle L^{\prime }=\frac{L-ut}{\sqrt{1-(\frac{u}{c}{)}^2}}}$

Dla ${\displaystyle t=0}$ otrzymamy :

${\displaystyle L^{\prime }=\frac{L}{\sqrt{1-(\frac{u}{c}{)}^2}}}$

Stąd :

${\displaystyle L=L^{\prime }\sqrt{1-(\frac{u}{c}{)}^2}}$

W układzie wagonu czas dotarcia błysku ${\displaystyle t^{\prime }=\frac{L^{\prime }}{c}}$

W układzie Ziemi czas dotarcia błysku można wyznaczyć na dwa sposoby:

a) korzystając z transformacji Lorentza. Przyjmujemy, że błysk zostaje wysłany w chwili ${\displaystyle t_0^{\prime }=t_0}$ , gdy współrzędna tylnej ściany wagonu, na której znajduje się źródło światła wynosi ${\displaystyle x_0^{\prime }=x_0=0}$. W układzie wagonu błysk dociera do przedniej ściany o współrzędnej L${}^{\prime }$, po czasie ${\displaystyle t^{\prime }=\frac{L^{\prime }}{c}}$

W układzie Ziemi, korzystając z odwrotnej transformacji Lorentza

${\displaystyle t=\frac{t^{\prime }+\frac{x^{\prime }u}{c^2}}{\sqrt{1-(\frac{u}{c}{)}^2}}=\frac{\frac{L^{\prime }}{c}+\frac{L^{\prime }u}{c^2}}{\sqrt{1-(\frac{u}{c}{)}^2}}=\frac{L^{\prime }}{c}\frac{1+\frac{u}{c}}{\sqrt{1-(\frac{u}{c}{)}^2}}=}$

${\displaystyle =\frac{L^{\prime }}{c}\frac{\frac{c+u}{c}}{\sqrt{\frac{c^2-u^2}{c^2}}}=\frac{L^{\prime }}{c}\sqrt{\frac{c+v}{c-v}}}$

b) bezpośrednio, korzystając z niezależności prędkości światła od układu odniesienia. Musimy uwzględnić, że długość wagonu względem Ziemi jest zgodnie ze skróceniem Lorenza równa:

${\displaystyle L=L^{\prime }\sqrt{1-(\frac{u}{c}{)}^2}}$

RvudPtCuxoOCZ

Rysunek przedstawia biały podłużny prostokąt o niebieskich krawędziach podpisany: duża litera L wskaźnik górny prim. Wewnątrz prostokąta przy lewym krótkim boku widać żółty okrąg z promieniami żółtymi rozchodzącymi się promieniście. Na środku przeciwległego krótkiego boku zaczyna się niebieska strzałka pozioma w prawo podpisana: wektor u. Pod spodem drugi wagon przesunięty względem pierwszego o jedną czwartą jego długości. Od końca pierwszego wagonu do końca drugiego zaznaczono strzałkę u t. Od początku pierwszego wagonu do końca drugiego zaznaczono strzałkę wielkie L z indeksem dolnym x równa się wielkie L plus u t.

Na rysunku widać, że w układzie Ziemi światło ma do przebycia odległość $L_x=L+ut$. Zatem czas t, po którym światło dotrze do przedniej ściany wagonu wyniesie ${\displaystyle t=\frac{L+ut}{c}}$.

Stąd

${\displaystyle t=\frac{L}{c-u}=\frac{L^{\prime }\sqrt{1-(\frac{u}{c}{)}^2}}{c-v}=\frac{L^{\prime }\sqrt{\frac{c^2-u^2}{c^2}}}{c-u}=L^{\prime }\sqrt{\frac{(c-u)(c+u)}{c^2(c-u{)}^2}}=\frac{L^{\prime }}{c}\sqrt{\frac{c+v}{c-v}}}$