Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

RAUZAmPwxXdnL1

Ćwiczenie 1

Dobierz w pary funkcje $f$ oraz $g$ tak by funkcja $f + g$ była ciągła.

$f (x) = "{"\begin{array}{c} 1, x < 0 \\ 2 x, x \geq 0 \end{array}""$
$f (x) = "{"\begin{array}{c} \frac{2 x^{2} + x}{x}, x < 0 \\ x, x \geq 0 \end{array}""$
$f (x) = "{"\begin{array}{c} - 2, x < 0 \\ \sqrt{x + 9}, x \geq 0 \end{array}""$

R1Pg4xvVdPCV51

Ćwiczenie 2

Wstaw znaki

+, -, \cdot, :

tak, by każda z funkcji

h_{1} - h_{4}

była ciągła.

f_{1} (x) = \{\begin{cases} \sin x, x < 0 \\ 5 x^{2} + 3 x - 7, x \geq 0 \end{cases}

g_{1} (x) = \{\begin{cases} \ln (- x + e), x < 0 \\ 2^{x + 3}, x \geq 0 \end{cases}

h_{1} = f_{1}

:

, 2.

+

, 3.

-

, 4.

\cdot

g_{1}

f_{2} (x) = \{\begin{cases} x^{2} - 9, x < 0 \\ - 10, x \geq 0 \end{cases}

g_{2} (x) = \{\begin{cases} 5 x + 3, x < 0 \\ - x + 2, x \geq 0 \end{cases}

h_{2} = f_{2}

:

, 2.

+

, 3.

-

, 4.

\cdot

g_{2}

f_{3} (x) = \{\begin{cases} 5 x + 3, x < 0 \\ 3^{x}, x \geq 0 \end{cases}

g_{3} (x) = \{\begin{cases} x - 1, x < 0 \\ x^{2} + 5 x - 3, x \geq 0 \end{cases}

h_{3} = f_{3}

:

, 2.

+

, 3.

-

, 4.

\cdot

g_{3}

f_{4} (x) = \{\begin{cases} 3 \cos x, x < 0 \\ \frac{3}{x - 1}, 1 > x \geq 0 \end{cases}

g_{4} (x) = \{\begin{cases} - 3^{x + 1}, x < 0 \\ 3 \cos x, 1 > x \geq 0 \end{cases}

h_{4} = f_{4}

:

, 2.

+

, 3.

-

, 4.

\cdot

g_{4}

Wstaw znaki $+, -, \cdot, :$ tak, by każda z funkcji $h_{1} - h_{4}$ była ciągła.

" close="">x2-9, x<0-10, x≥0
$g_{2} (x) = "{"\begin{array}{c} 5 x + 3, x < 0 \\ - x + 2, x \geq 0 \end{array}""$
$h_{2} = f_{2}$ {-, " close="">5x+3, x<03x, x≥0
$g_{3} (x) = "{"\begin{array}{c} x - 1, x < 0 \\ x^{2} + 5 x - 3, x \geq 0 \end{array}""$
$h_{3} = f_{3}$ { $\cdot$ , " close="">sinx, x<05x2+3x-7, x≥0
$g_{1} (x) = "{"\begin{array}{c} \ln (- x + e), x < 0 \\ 2^{x + 3}, x \geq 0 \end{array}""$
$h_{1} = f_{1}$ {+, " close="">3cosx, x <03x-1, 1>x≥0
$g_{4} (x) = "{"\begin{array}{c} - 3^{x + 1}, x < 0 \\ 3 \cos x, 1 > x \geq 0 \end{array}""$
$h_{4} = f_{4}$ {:

$f_{1} (x) = "......................................................................................................................................................................................<spang_{1})$

$f_{2} (x) = "......................................................................................................................................................................................<spang_{2})$

$f_{3} (x) = "......................................................................................................................................................................................<spang_{3})$

$f_{4} (x) = "......................................................................................................................................................................................<spang_{4})$

R1C8df07CWabX2

Ćwiczenie 3

Niech $f : ℝ \to ℝ$ będzie dana wzorem $f (x) = "{"\begin{array}{c} \frac{1}{x}, x \neq 0 \\ x, x = 0 \end{array}""$ . Rozważmy funkcję $g : D \to ℝ$ , której wartości pokrywają się z wartościami funkcji $f$ na całym zbiorze $D$ . Wskaż taki zbiór $D$ , by funkcja $g$ była ciągła.

$D = ⟨ - 1 - \sqrt{2}, 1 - \sqrt{2} ⟩$
$D = ⟨ 1 - \sqrt{2}, 1 + \sqrt{2} ⟩$
$D = ⟨ - 1, 1 - \sqrt{2} ⟩$
$D = ⟨ - 1, 1 + \sqrt{2} ⟩$

RCU4mfCfRS0Vo2

Ćwiczenie 4

Rozważmy funkcje elementarne, które nie są zdefiniowane na całym zbiorze liczb rzeczywistych. Czy można zdefiniować ciągłą funkcję $g : ℝ \to ℝ$ , która pokrywa się z poniższymi funkcjami na ich dziedzinach? Podaj naturalną dziedzinę rozważanych funkcji.

$tg x$ , $\ln x$ , $\frac{1}{x}$ , $\sqrt{x}$ , TAK, TAK

Funkcja	Dziedzina	Czy istnieje funkcja $g$ ?
$tg x$
$\ln x$
$\frac{1}{x}$
$\sqrt{x}$

R14bUtvuFr4KN2

Ćwiczenie 5

Rozważmy funkcje $f (x) = x^{2}$ , $g (x) = \sqrt{x}$ oraz $h (x) = x + 1$ z naturalnymi dziedzinami. Podaj wzór oraz naturalną dziedzinę podanych złożeń funkcji $f$ , $g$ i $h$ .

$f \circ g$ , $g \circ f$ , $h \circ f$ , $f \circ h$ , $g \circ h$ , $h \circ g$

	Wzór	Dziedzina
$f \circ g$
$g \circ f$
$h \circ f$
$f \circ h$
$g \circ h$
$h \circ g$

Ćwiczenie 6

RLVPlVSlKB6Fw

RjENVzdx8wKeC

R134kgIWp038z3

Ćwiczenie 7

Rozważmy funkcję $f (x) = 0$ oraz dowolną funkcję $g : ℝ \to ℝ$ , która jest nieciągła w punkcie $x_{0} = 0$ . Rozstrzygnij, czy wszystkie trzy funkcje są jednocześnie ciągłe lub jednocześnie nieciągłe w punkcie $x_{0}$ .

$f + g$	$g \circ f$	$f \cdot g$
$f \circ g$	$g - f$	$f - g$

R6qbWWo6nUgeD3

Ćwiczenie 8

Uzupełnij tekst, przeciągnij właściwą odpowiedź w wyznaczone miejsce.

$1$ , $0$ , " close="">x-a+1-7-3, x<-2-b-1x, x=-2cx, x>-2.
Jeden z możliwych doborów współczynników, przy którym funkcja $f$ jest ciągła, to:
$a =$ { $5$ , $4$

Rozważmy funkcję $f (x) = "..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................,b =)$ .............................................................................................................................................................................................................................................................................................................., $c =$ ..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................

Infografika

Dla nauczyciela