Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

RV0w8eGr5TJVc1

Ćwiczenie 1

Zaznacz poprawną odpowiedź. Dla $n \in ℕ_{+}$ kwadrat liczby naturalnej nieparzystej jest postaci:

$8 n$
$8 n + 1$
$8 n + 2$
$8 n + 3$
$8 n + 4$

R1SdDw7SPEbfK1

Ćwiczenie 2

Zaznacz poprawną odpowiedź. Liczby $p$ , $q$ są liczbami pierwszymi. Wówczas równanie $p (p^{2} + p + 1) - 3 = q$

nie ma rozwiązania
ma nieskończenie wiele rozwiązań takich, że liczby $p$ , $q$ są liczbami nieparzystymi
ma jedno rozwiązanie takie, że $p$ to liczba parzysta, $q$ – liczba nieparzysta
ma jedno rozwiązanie takie, że obie liczby $p$ , $q$ są liczbami parzystymi

RR90Bu6CqVK501

Ćwiczenie 3

Każda z liczb $a$ , $b$ , $c$ daje w dzieleniu przez $3$ inną resztę. Zaznacz wszystkie liczby podzielne przez $3$ .

$A = a + b + c$
$B = a b c$
$C = (a + b) (b + c) (c + a)$
$D = a^{2} + b^{2} + c^{2}$

R1VRX1n9rk6rd2

Ćwiczenie 4

Uzupełnij zdania, wpisując odpowiednie liczby. Reszta z dzielenia liczby

A

przez

2

jest równa

1

, a reszta z dzielenia tej liczby przez

3

jest równa

2

. Wynika z tego, że reszta z dzielenia tej liczby przez

6

jest równa Tu uzupełnij. Reszta z dzielenia liczby

B

przez

2

jest równa

1

, a reszta z dzielenia tej liczby przez

5

jest równa

3

. Wynika z tego, że reszta z dzielenia tej liczby przez

10

jest równa Tu uzupełnij.

Uzupełnij zdania, wpisując odpowiednie liczby.

Reszta z dzielenia liczby $A$ przez $2$ jest równa $1$ , a reszta z dzielenia tej liczby przez $3$ jest równa $2$ . Wynika z tego, że reszta z dzielenia tej liczby przez $6$ jest równa .............

Reszta z dzielenia liczby $B$ przez $2$ jest równa $1$ , a reszta z dzielenia tej liczby przez $5$ jest równa $3$ . Wynika z tego, że reszta z dzielenia tej liczby przez $10$ jest równa .............

Rj6biEW8lZNH12

Ćwiczenie 5

Liczby

p

q

są liczbami pierwszymi. Poukładaj w odpowiedniej kolejności rozwiązanie równania

p^{2} - 2 q^{2} = 1

. Elementy do uszeregowania: 1.

p = - 3

lub

p = 3

, 2.

p^{2} = 9

, 3. Ponieważ

p

jest liczbą pierwszą, zatem

p = 3

., 4. Iloczyn

(p - 1) (p + 1)

jest podzielny więc przez

8

., 5.

p^{2} = 8 + 1

, 6. Jedyna liczba parzysta pierwsza to

2

, czyli

q = 2

., 7. Rozkładamy lewą stronę równania na czynniki.

(p - 1) (p + 1) = 2 q^{2}

, 8. Liczby

p - 1

p + 1

to kolejne liczby parzyste.
Jedna z tych liczb jest podzielna przez

2

, a druga przez

4

., 9. Odpowiedź:
Jedyna para spełniająca warunki zadania to

p = 3

q = 2

., 10. Prawa strona równania, czyli

2 q^{2}

jest też podzielna przez

8

., 11. Zauważmy, że liczba

p

jest nieparzysta. Gdyby była to liczba parzysta, to strona prawa i lewa miałyby różną parzystość., 12. Zatem

q

jest liczbą parzystą., 13.

p^{2} - 1 = 2 \cdot 2^{2}

, 14. Przekształcamy równanie.

p^{2} - 1 = 2 q^{2}

Liczby $p$ i $q$ są liczbami pierwszymi. Poukładaj w odpowiedniej kolejności rozwiązanie równania $p^{2} - 2 q^{2} = 1$ .

Zauważmy, że liczba $p$ jest nieparzysta. Gdyby była to liczba parzysta, to strona prawa i lewa miałyby różną parzystość.
Jedyna liczba parzysta pierwsza to $2$ , czyli $q = 2$ .
Zatem $q$ jest liczbą parzystą.
$p^{2} = 8 + 1$
$p^{2} = 9$
Odpowiedź:
Jedyna para spełniająca warunki zadania to $p = 3$ , $q = 2$ .
Ponieważ $p$ jest liczbą pierwszą, zatem $p = 3$ .
Prawa strona równania, czyli $2 q^{2}$ jest też podzielna przez $8$ .
Rozkładamy lewą stronę równania na czynniki.
$(p - 1) (p + 1) = 2 q^{2}$
$p = - 3$ lub $p = 3$
Iloczyn $(p - 1) (p + 1)$ jest podzielny więc przez $8$ .
$p^{2} - 1 = 2 \cdot 2^{2}$
Liczby $p - 1$ i $p + 1$ to kolejne liczby parzyste.
Jedna z tych liczb jest podzielna przez $2$ , a druga przez $4$ .
Przekształcamy równanie.
$p^{2} - 1 = 2 q^{2}$

Ćwiczenie 6

Liczby $a$ , $b$ , $c$ , $d$ są liczbami naturalnymi dodatnimi takimi, że $b^{2} + c^{2} = a d - b c$ . Wykaż, że liczba $A = a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2}$ jest złożona.

$A = a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2}$

$A = a^{2} - b^{2} - c^{2} + d^{2} + 2 b^{2} + 2 c^{2} + 2 b c - 2 b c$

$A = a^{2} - b^{2} - c^{2} + d^{2} + 2 (b^{2} + c^{2} + b c) - 2 b c$

$A = a^{2} - b^{2} - c^{2} + d^{2} + 2 a d - 2 b c$

$A = (a + b + c + d) (a - b - c + d)$ – iloczyn dwóch liczb całkowitych dodatnich.

Ćwiczenie 7

Znajdź wszystkie liczby naturalne, dla których liczby $A = n^{2} + n + 1$ i $B = n^{2} + n + 3$ są liczbami pierwszymi.

Obliczymy kilka początkowych wartości tych liczb

Jeśli $n = 1$ to $A = 3$ i $B = 5$ .

Jeśli $n = 2$ to $A = 7$ i $B = 9$ .

Jeśli $n = 3$ to $A = 13$ i $B = 15$ .

Jeśli $n = 4$ to $A = 21$ i $B = 23$ .

Jeśli $n = 5$ to $A = 31$ i $B = 33$ .

Zauważmy, że dla $n > 1$ jedna z liczb jest podzielna przez $3$ .

Jeśli $n = 3 k$ , gdzie $k \in ℕ$ , to $B = {(3 k)}^{2} + 3 k + 3 = 3 (3 k^{2} + k + 1)$ – liczba podzielna przez $3$ .

Jeśli $n = 3 k + 1$ , gdzie $k \in ℕ$ , to $A = {(3 k + 1)}^{2} + 3 k + 1 + 1 = 3 (3 k^{2} + 3 k + 1)$ – liczba podzielna przez $3$ .

Jeśli $n = 3 k + 2$ , gdzie $k \in ℕ$ , to $B = {(3 k + 2)}^{2} + 3 k + 2 + 3 = 3 (3 k^{2} + 5 k + 3)$ – liczba podzielna przez $3$ .

Tylko dla $n = 1$ obie liczby są pierwsze.

Ćwiczenie 8

Wykaż, że istnieje tylko jedna liczba pierwsza $p$ , dla której liczba $A = 2^{p} + p^{2}$ jest liczbą pierwszą.

Liczba $A$ jest liczbą pierwszą większą od $2$ , zatem musi to być liczba nieparzysta. Czyli liczba $p$ też jest liczbą nieparzystą.

Najmniejsza liczba nieparzysta pierwsza to $3$ .

Jeśli $p = 3$ to $A = 2^{3} + 3^{2} = 17$ – liczba pierwsza.

Zatem wystarczy udowodnić, że nie istnieje inna liczba pierwsza $p$ , większa od $3$ , dla której liczba $A$ jest liczbą pierwszą.

Liczba $2^{p}$ w dzieleniu przez $3$ (jeśli p jest liczbą nieparzystą) daje resztę $2$ .

Liczba $p^{2}$ w dzieleniu przez $3$ daje resztę $0$ lub $1$ .

Zatem, aby liczba $A$ nie była podzielna przez $3$ , to $p$ w dzieleniu przez $3$ musi dać resztę $0$ , czyli musi być podzielna przez $3$ . Jedyną taką liczbą pierwszą jest liczba $3$ , co należało wykazać.

Animacja

Dla nauczyciela