Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

R1YixHzROjy1Y1

Ćwiczenie 1

Ile różnych wyrazów sześcioliterowych (mających sens lub nie) rozpoczynających się od litery $p$ można utworzyć z liter $m$ , $n$ , $o$ , $p$ , $r$ , $s$ ? Zaznacz poprawną odpowiedź.

$6! \cdot 5!$
$5!$
$6!$
$6! - 5!$

RavI1nY4H6bYb1

Ćwiczenie 2

Z Kalinowa do Grochowa prowadzi $7$ dróg. Iloma sposobami możesz dojść z Kalinowa do Grochowa i z powrotem, jeśli nie będziesz wracać tą samą drogą? Zaznacz poprawną odpowiedź.

$2^{6}$
$6^{2}$
$6 \cdot 7$
$5 \cdot 6 \cdot 7$

RbUhbIXpYPDM71

Ćwiczenie 3

Uzupełnij zdanie, wpisując odpowiednią liczbę.

W akwarium pływa $20$ rybek, w tym $3$ złote. Wyławiamy (bez zwracania) $5$ rybek. Sposobów wyłowienia jednej złotej rybki (i czterech w innych kolorach) jest .............

RqtPkimRhXJ3T2

Ćwiczenie 4

Rozmieszczamy

9

kul ponumerowanych liczbami od

1

9

w trzech pudłach:

A

B

C

.
Połącz w pary opis sposobu rozmieszczenia i liczbę tych sposobów. W pudle

A

jest co najwyżej jedna kula. Możliwe odpowiedzi: 1.

3^{9} - 2^{9}

, 2.

2^{9}

, 3.

2^{9} + 9 \cdot 2^{8}

, 4.

1 \cdot 3^{8}

, 5.

9 \cdot 2^{8}

W pudle

B

jest przynajmniej jedna kula. Możliwe odpowiedzi: 1.

3^{9} - 2^{9}

, 2.

2^{9}

, 3.

2^{9} + 9 \cdot 2^{8}

, 4.

1 \cdot 3^{8}

, 5.

9 \cdot 2^{8}

W pudle

C

jest dokładnie jedna kula. Możliwe odpowiedzi: 1.

3^{9} - 2^{9}

, 2.

2^{9}

, 3.

2^{9} + 9 \cdot 2^{8}

, 4.

1 \cdot 3^{8}

, 5.

9 \cdot 2^{8}

W pudle

A

jest kula nr

1

. Możliwe odpowiedzi: 1.

3^{9} - 2^{9}

, 2.

2^{9}

, 3.

2^{9} + 9 \cdot 2^{8}

, 4.

1 \cdot 3^{8}

, 5.

9 \cdot 2^{8}

Pudło

B

jest puste. Możliwe odpowiedzi: 1.

3^{9} - 2^{9}

, 2.

2^{9}

, 3.

2^{9} + 9 \cdot 2^{8}

, 4.

1 \cdot 3^{8}

, 5.

9 \cdot 2^{8}

Rozmieszczamy $9$ kul ponumerowanych liczbami od $1$ do $9$ w trzech pudłach: $A$ , $B$ , $C$ .
Połącz w pary opis sposobu rozmieszczenia i liczbę tych sposobów.

W pudle $A$ jest co najwyżej jedna kula.
W pudle $B$ jest przynajmniej jedna kula.
W pudle $C$ jest dokładnie jedna kula.
W pudle $A$ jest kula nr $1$ .
Pudło $B$ jest puste.

R13oWYeYIlbKd2

Ćwiczenie 5

Dostępne opcje do wyboru:

3 \cdot 9^{4}

9^{3}

3^{9}

4 \cdot 3^{9}

. Polecenie: Uzupełnij zdanie, przeciągając odpowiednią liczbę. Uczeń wypełnia test składający się z

10

pytań. Aby odpowiedzieć na dane pytanie, uczeń musi wybrać i zaznaczyć jedną z odpowiedzi:

A

B

C

lub

D

. Sposobów takiego wypełnienia testu przez ucznia, aby odpowiedzi na dowolne dwa kolejne pytania były różne jest luka do uzupełnienia .

Uzupełnij zdanie, przeciągając odpowiednią liczbę.

$3^{9}$ , $3 \cdot 9^{4}$ , $9^{3}$ , $4 \cdot 3^{9}$

Uczeń wypełnia test składający się z $10$ pytań. Aby odpowiedzieć na dane pytanie, uczeń musi wybrać i zaznaczyć jedną z odpowiedzi: $A$ , $B$ , $C$ lub $D$ . Sposobów takiego wypełnienia testu przez ucznia, aby odpowiedzi na dowolne dwa kolejne pytania były różne jest .

Rn0BPIhj70Dc42

Ćwiczenie 6

Łączenie par. Ze skrzyni w której jest

10

klejnotów:

6

szmaragdów i

4

perły, wyciągamy

3

klejnoty.
Zaznacz, które zdanie jest prawdziwe, a które fałszywe.. Same perły można wyciągnąć na

4

sposoby.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Dokładnie jedną perłę można wyciągnąć na

60

sposobów.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Co najmniej dwie perły można wyciągnąć na

18

sposobów.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Same szmaragdy można wyciągnąć na

24

sposoby.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz

Ze skrzyni w której jest $10$ klejnotów: $6$ szmaragdów i $4$ perły, wyciągamy $3$ klejnoty.
Zaznacz, które zdanie jest prawdziwe, a które fałszywe.

Zdanie	Prawda	Fałsz
Same perły można wyciągnąć na $4$ sposoby.	□	□
Dokładnie jedną perłę można wyciągnąć na $60$ sposobów.	□	□
Co najmniej dwie perły można wyciągnąć na $18$ sposobów.	□	□
Same szmaragdy można wyciągnąć na $24$ sposoby.	□	□

Ćwiczenie 7

Przy okrągłym stole stoi $2 n$ krzeseł. Przy stole ma usiąść $n$ kobiet i $n$ mężczyzn. Oblicz, na ile sposobów mogą to zrobić, jeżeli osoby tej samej płci nie mogą siedzieć obok siebie.

Kobiety mogą usiąść albo na miejscach parzystych albo nieparzystych.

Na miejscach parzystych mogą usiąść na $n!$ sposobów. Wtedy mężczyźni siedzą na miejscach nieparzystych na $n!$ sposobów.

Na miejscach nieparzystych kobiety mogą usiąść na $n!$ sposobów. Wtedy mężczyźni siedzą na miejscach parzystych na $n!$ sposobów.

Wszystkich sposobów jest więc

$n! \cdot n! + n! \cdot n! = 2 \cdot n! \cdot n!$

Wszystkich sposobów usadzenia osób tak, aby osoby tej samej płci nie siedziały obok siebie jest $2 \cdot {(n!)}^{2}$ .

Ćwiczenie 8

Każdy z $50$ przyjaciół wysłał sms z życzeniami świątecznymi do pewnych $25$ pozostałych (nikt nie wysłał dwóch smsów do tej samej osoby).

Wykaż, że istnieją dwaj tacy chłopcy $K$ i $M$ , że chłopiec $K$ wysłał sms do $M$ i $M$ wysłał sms do $K$ .

Każdemu wysłanemu smsowi możemy przyporządkować dwuelementowy zbiór – nadawcę i odbiorcę.

Jest $(\begin{matrix} 50 \\ 2 \end{matrix}) = \frac{50 \cdot 49}{2} = 1225$ takich zbiorów.

Natomiast wysłanych smsów jest $50 \cdot 25 = 1250$ .

Ponieważ $1225 < 1250$ , więc pewnym dwóm smsom przyporządkowujemy ten sam zbiór. Te wiadomości muszą mieć różnych nadawców, więc dwóch chłopców musiało wysłać smsy wzajemnie do siebie.

Film edukacyjny

Dla nauczyciela