Wykonajmy rysunek pomocniczy.

R1bOtHEhiNjpj

Ilustracja przedstawia ostrosłup prawidłowy sześciokątny. W którym zaznaczono trójkąt składający się z wysokości ostrosłupa, wysokości ściany bocznej ostrosłupa oraz odcinka łączącego spodki wysokości. Wysokość ostrosłupa ma długość $3x$, odcinek leżący w płaszczyźnie podstawy ma długość x. Wysokość ściany bocznej podpisano literą h. Kąt między wysokością ściany bocznej a odcinkiem łączącym spodki wysokości jest podpisany literą alfa.

Niech $a$ – długość krawędzi podstawy, $H$ – wysokość ostrosłupa.

Wówczas:

$x=\frac{a\sqrt{3}}{2}$,

$H=3x=\frac{3a\sqrt{3}}{2}$.

Z twierdzenia Pitagorasa :

$h=x\sqrt{10}$,

czyli

$h=\frac{a\sqrt{3}}{2}·\sqrt{10}$.

Przekształćmy wzór:

$h=\frac{a\sqrt{30}}{2}$,

$a=\frac{2h}{\sqrt{30}}=\frac{2h\sqrt{30}}{30}=\frac{h\sqrt{30}}{15}$,

$H=\frac{3·{\displaystyle \frac{h\sqrt{30}}{15}}·\sqrt{3}}{2}=\frac{h\sqrt{90}}{10}=\frac{3h\sqrt{10}}{10}$,

$P_p=\frac{6·{\left({\displaystyle \frac{h\sqrt{30}}{15}}\right)}^2\sqrt{3}}{4}=\frac{6·30h^2\sqrt{3}}{225·4}=\frac{1}{5}{h}^2\sqrt{3}$,

$V=\frac{1}{3}·\frac{1}{5}{h}^2\sqrt{3}·\frac{3h\sqrt{10}}{10}=\frac{h^3\sqrt{30}}{50}$.

Wykonajmy rysunek pomocniczy.

R5HSw761KxPLx

Ilustracja przedstawia ostrosłup prawidłowy sześciokątny. W którym zaznaczono trójkąt składający się z wysokości sąsiadujących ścian bocznych oraz odcinka łączącego spodki tych wysokości. Wysokości ścian bocznych podpisano literą h i są one pod kątem prostym do krawędzi podstawy. Krawędź podstawy podpisano literą a.

Kąt wewnętrzny sześciokąta foremnego ma miarę $120°$. Obliczmy długość podstawy trójkąta, który jest przekrojem ostrosłupa. Wykonajmy odpowiedni rysunek:

R18dUqzPJKG18

Ilustracja przedstawia trójkąt równoramienny, kąt między ramionami wynosi 120 stopni, ramiona są podpisane $\frac{1}{2}a$.

Poprowadźmy wysokość tego trójkąta.

R4RXDJms8wCJC

Ilustracja przedstawia trójkąt równoramienny, ramiona są podpisane $\frac{1}{2}a$. Podstawa jest podpisana $\frac{1}{2}a\sqrt{3}$. W trójkącie narysowany wysokość, jest ona pod kątem prostym do podstawy i jest ona podpisana $\frac{1}{4}a$. Wysokość dzieli podstawę na dwa odcinki o długości $\frac{1}{4}a\sqrt{3}$. Kąt między ramieniem a wysokością wynosi 60 stopni.

Narysujmy teraz nasz przekrój.

RDhdl0kbAE2uQ

Ilustracja przedstawia trójkąt równoramienny, w którym ramiona podpisane są literą h, a podstawa jest podpisana $\frac{1}{2}a\sqrt{3}$. W trójkącie narysowano wysokość opuszczoną na podstawę, która jest podpisana literą x.

Wiemy, że jego pole wynosi $S$, zatem:

$S=\frac{1}{2}·\frac{1}{2}a\sqrt{3}·x$,

$x=\frac{4S\sqrt{3}}{3a}$.

Z twierdzenia Pitagorasa:

$h^2={\left(\frac{4S\sqrt{3}}{3a}\right)}^2+{\left(\frac{1}{4}a\sqrt{3}\right)}^2$,

$h=\sqrt{\frac{256S^2+9a^4}{48a^2}}$.

Obliczmy wysokość ostrosłupa:

$H^2+{\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)}^2=h^2$,

$H^2=\frac{256S^2+9a^4}{48a^2}-\frac{3a^2}{4}$,

$H=\sqrt{\frac{256S^2-27a^4}{48a^2}}=\frac{1}{4a}\sqrt{\frac{256S^2-27a^4}{3}}$.

Zatem

$V=\frac{1}{3}\cdot \frac{6\cdot a^2\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{1}{4a}\sqrt{\frac{256S^2-27a^4}{3}}=\frac{a\sqrt{256S^2-27a^4}}{8}$.