Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

R1SU6WVYUCXdD1

Ćwiczenie 1

Energia kinetyczna danego ciała, obliczona ze wzoru relatywistycznego

$E_{k i n} = m c^{2} (\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{v}{c})}^{2}}} - 1)$

w porównaniu z energią obliczoną ze wzoru klasycznego $E_{k i n} = \frac{m v^{2}}{2}$

jest:

zawsze mniejsza.
zawsze większa.
taka sama.
może być mniejsza.

Ćwiczenie 2

RgVhbuBQheOos

Przy określonej wartości prędkości, jeżeli obliczamy energię kinetyczną ze wzoru klasycznego, to ciało o dwukrotnie większej masie ma dwukrotnie większą energię kinetyczną. Czy przy obliczaniu energii kinetycznej ze wzoru relatywistycznego uzyskamy podobny wynik?

Odp.: Tak / Nie

RGDscpGxMUmc11

Ćwiczenie 3

Przy określonej wartości masy ciała, jeżeli obliczamy energię kinetyczną ze wzoru klasycznego, to podwojenie prędkości powoduje czterokrotny wzrost energii kinetycznej.
Jeżeli obliczymy energię kinetyczną ze wzoru relatywistycznego to dwukrotny wzrost prędkości spowoduje:

czterokrotny wzrost energii kinetycznej;
mniej niż czterokrotny wzrost energii kinetycznej;
więcej niż czterokrotny wzrost energii kinetycznej;
dwukrotny wzrost energii kinetycznej.

Ćwiczenie 4

Rx94w2mBwf3rb

Oblicz, korzystając ze wzoru relatywistycznego i klasycznego energię kinetyczną ciała o masie 1 kg poruszającego się z prędkością 0,9

c

. Porównaj z wartością otrzymaną na podstawie klasycznego wzoru. Jaki wniosek można sformułować na podstawie uzyskanego wyniku? Odp.: Kinetyczna energia relatywistyczna wynosi Tu uzupełnij · 10^{Tu uzupełnij} J, wartość obliczona ze wzoru klasycznego tylko Tu uzupełnij · 10^{Tu uzupełnij} J.

Oblicz, korzystając ze wzoru relatywistycznego i klasycznego energię kinetyczną ciała o masie 1 kg poruszającego się z prędkością 0,9 $c$ . Porównaj z wartością otrzymaną na podstawie klasycznego wzoru. Jaki wniosek można sformułować na podstawie uzyskanego wyniku? Wyniki podaj z dokładnością do (w kolejności pól) trzech/dwóch/trzech/dwóch cyfr znaczących.

Odp.: Kinetyczna energia relatywistyczna wynosi ............ · 10^............ J, wartość obliczona ze wzoru klasycznego tylko ............ · 10^............ J.

Porównujemy wzory klasyczny i relatywistyczny na energię kinetyczną:

$E_{kin1}=mc^2\left(\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^2}}-1\right)=1,16\cdot10^{17}\,\text{J}.$

Ze wzoru klasycznego $E_{kin2}$ = 3,64 · 10Indeks górny 16 J.

Wniosek: dla prędkości bliskich prędkości światła energię należy obliczać ze wzoru relatywistycznego.

R1PYUtVdfk7Hr1

Ćwiczenie 5

Ćwiczenie 6

RDBTZvGdVRUhn

Oblicz wartość energii kinetycznej ze wzoru klasycznego dla prędkości równej prędkości światła. Przyrównaj tę wartość do wzoru relatywistycznego na energię kinetyczną. Wyznacz z tak uzyskanego równania wartość prędkości. Wynik podaj z dokładnością do czterech i jednej cyfry znaczącej.

Odp.: $v$ ≈ ............ · 10^............ m/s.

Z równania

$\frac{mc^{2}}{2}=mc^{2}\left(\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^{2}}}-1\right)$

wyznacz prędkość.

Porównujemy wzór klasyczny i relatywistyczny na energię kinetyczną, wstawiając do wzoru klasycznego $v=c$ :

$\frac{mc^{2}}{2}=mc^{2}\left(\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^{2}}}-1\right)$

$\frac{1}{2}=\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^{2}}}-1$

$\frac{3}{2}=\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^{2}}}$

$\frac{9}{4}\left(1-\left(\frac{v}{c}\right)^{2}\right)=1$

$\left(\frac{v}{c}\right)^{2}=\frac{5}{9}$

$v=\sqrt{\frac{5}{9}}c$

$v=0,745c\approx2,235\cdot10^8\frac{\text{m}}{\text{s}}$

Ćwiczenie 7

R1DGhNTsfhBcE

m

= 1,6726 · 10^-27 kg. Oblicz prędkość, jaką osiągają protony w LHC. Odp.: Prędkość protonów

v

= Tu uzupełnij

c

= Tu uzupełnij · 10^{Tu uzupełnij} m/s.

W akceleratorze - Wielkim Zderzaczu Hadronów (LHC), służącym do badania cząstek elementarnych, rozpędzane protony osiągają energię kinetyczną około 3 TeV. Teraelektronowolt jest jednostką energii stosowaną przy opisie energii cząstek elementarnych. Przedrostek tera (T) oznacza 10¹², 1elektronowolt (eV) = 1,6 · 10^-19 J. Masa protonu $m$ = 1,6726 · 10^-27 kg. Oblicz prędkość, jaką osiągają protony w LHC. Wyniki podaj z dokładnością, w kolejności pól, do sześciu, sześciu i jednej cyfry znaczącej.

Odp.: Prędkość protonów $v$ = ................ $c$ = .............. · 10^............ m/s.

$E_{kin}=mc^{2}\left(\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^{2}}}-1\right)$

Po przekształceniach uzyskujemy $v=\sqrt{1-\frac{1}{\frac{E_{kin}}{mc^{2}}+1}}$

$v$ = 0,999686 $c$ = 2,99698 · 10Indeks górny 8 m/s.

Jak widać z obliczeń, prędkość protonów rozpędzanych w akceleratorze LHC jest niemal równa prędkości światła.

Ćwiczenie 8

RSwj4j95dcr3v

m

= 1,6726 · 10^-27 kg.

Ile razy energia kinetyczna protonów jest większa od jego energii spoczynkowej? Odp.: Energia kinetyczna protonów rozpędzonych w LHC jest Tu uzupełnij · 10^{Tu uzupełnij} razy większa niż ich energia spoczynkowa.

W akceleratorze - Wielkim Zderzaczu Hadronów (LHC), służącym do badania cząstek elementarnych, rozpędzane protony osiągają energię kinetyczną około 3 TeV. Teraelektronowolt jest jednostką energii stosowaną przy opisie energii cząstek elementarnych. Przedrostek tera (T) oznacza 10¹², 1elektronowolt (eV) = 1,6 · 10^-19 J. masa protonu $m$ = 1,6726 · 10^-27 kg.

Ile razy energia kinetyczna protonów jest większa od ich energii spoczynkowej? Wynik podaj z dokładnością, w kolejności pól, do dwóch i jednej cyfry znaczącej.

Odp.: Energia kinetyczna protonów rozpędzonych w LHC jest ............ · 10^............ razy większa niż ich energia spoczynkowa.

Energię spoczynkową protonu obliczamy ze wzoru

$E=mc^{2}$ = 1,6726 · 10Indeks górny -27 kg · (3 · 10Indeks górny 8 m/s)Indeks górny 2 ≈ 15,05 · 10Indeks górny -11 J.

$E_{kin}$ = 3 TeV = 3 · 10Indeks górny 12 · 1,6 · 10Indeks górny -19 J = 4,8 · 10Indeks górny -7 J.

Obliczamy iloraz $E_{kin}/E$ ≈ 3,1 · 10Indeks górny 4.

Ćwiczenie 9

R7hxfN3N6mWZU

m

= 1,6726 · 10^-27 kg.

Protony rozpędzane są polem elektrycznym w kilku etapach. Energię kinetyczną uzyskaną przez ładunek elektryczny wiąże z pracą pola elektrycznego wzór

E_{k i n} = e U

. Jakie napięcie elektryczne jest konieczne do uzyskania energii kinetycznej 3 TeV? Odp.: Konieczne napięcie wynosi Tu uzupełnij · 10^{Tu uzupełnij} V.

W akceleratorze - Wielkim Zderzaczu Hadronów (LHC), służącym do badania cząstek elementarnych, rozpędzane protony osiągają energię kinetyczną około 3 TeV. Teraelektronowolt jest jednostką energii stosowaną przy opisie energii cząstek elementarnych. Przedrostek tera (T) oznacza 10¹², 1elektronowolt (eV) = 1,6 · 10^-19 J. Masa protonu $m$ = 1,6726 · 10^-27 kg.

Protony rozpędzane są polem elektrycznym w kilku etapach. Energię kinetyczną uzyskaną przez ładunek elektryczny wiąże z pracą pola elektrycznego wzór $E_{k i n} = e U$ . Jakie napięcie elektryczne jest konieczne do uzyskania energii kinetycznej 3 TeV? Wynik podaj z dokładnością, odpowiednio, do jednej i dwóch cyfr znaczących.

Odp.: Konieczne napięcie wynosi ............ · 10^............ V.

Korzystamy ze wzoru $E_{kin}=eU$ , stąd $U=E_{kin}/e$ = 3 TeV/e = 3 TV = 3 · 10Indeks górny 12 V.

Ćwiczenie 10

RAT68rL2WASM5

m

= 1,6726 · 10^-27 kg.

Jaką prędkość musiałby osiągnąć proton, gdyby klasyczny wzór na energię kinetyczną obowiązywał bez ograniczeń co do wartości prędkości. Odp.: Zgodnie z klasyczną teorią proton musiał by osiągnąć prędkość Tu uzupełnij · 10^{Tu uzupełnij} m/s.

W akceleratorze: Wielkim Zderzaczu Hadronów (LHC), służącym do badania cząstek elementarnych, rozpędzane protony osiągają energię kinetyczną około 3 TeV. Teraelektronowolt jest jednostką energii stosowaną przy opisie energii cząstek elementarnych. Przedrostek tera (T) oznacza 10¹², 1elektronowolt (eV) = 1,6 · 10^-19 J. masa protonu $m$ = 1,6726 · 10^-27 kg.

Jaką prędkość musiałby osiągnąć proton, gdyby klasyczny wzór na energię kinetyczną obowiązywał bez ograniczeń co do wartości prędkości. Wynik podaj z dokładnością do dwóch cyfr znaczących w obu polach.

Odp.: Zgodnie z klasyczną teorią proton musiałby osiągnąć prędkość ............ · 10^............ m/s.

Korzystamy ze wzoru

$E_{kin}=\frac{mv^{2}}{2}.$

Po przekształceniach otrzymamy

$v=\sqrt{\frac{2E_{kin}}{m}}=2,4\cdot10^{10}\ \text{m}/\text{s},$

co daje prędkość większą od prędkości światła.

Film samouczek

Dla nauczyciela