Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

R1163kfBqhVSB1

Ćwiczenie 1

Jeżeli $12 \sin^{2} x + 5 \sin x - 3 = 0$ , to

$\sin x = \frac{1}{3}$ lub $\sin x = - \frac{3}{4}$
$\sin x = - \frac{1}{3}$ lub $\sin x = - \frac{3}{4}$
$\sin x = \frac{1}{3}$ lub $\sin x = \frac{3}{4}$
$\sin x = - \frac{1}{4}$ lub $\sin x = \frac{2}{3}$
$\sin x = - \frac{1}{4}$ lub $\sin x = - \frac{2}{3}$
$\sin x = \frac{1}{4}$ lub $\sin x = \frac{2}{3}$

RCmCYeTuT2ICq1

Ćwiczenie 2

Wskaż równania, dla których istnieją dokładnie dwa rozwiązania w przedziale $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ .

$3 \cos^{2} x - \cos x = 0$
$16 \cos^{2} x - 1 = 0$
$3 \cos^{2} x - 8 \cos x + 4 = 0$
$4 \cos^{2} 2 x + 7 \cos 2 x - 2 = 0$
$4 \cos^{2} x + 7 \cos x - 2 = 0$
$6 \cos^{2} x + 7 \cos x + 2 = 0$
$4 \cos^{2} 4 x + 7 \cos 4 x - 2 = 0$
$2 \cos^{2} 2 x + \cos 2 x - 1 = 0$

RL2IORfWq1QAx1

Ćwiczenie 3

Wskaż równania, które nie mają rozwiązań w liczbach rzeczywistych.

$\sin x + 3 \cos x = 4$
$\sin x - 3 \cos x = 4$
$\sin x + 2 \cos x = \frac{5}{2}$
$\sin x + \sqrt{3} \cos x = 2$
$\sin x - \sqrt{5} \cos x = 3$

R3HW2ZAy3VqsN2

Ćwiczenie 4

Połącz w pary równanie, które mają równe zbiory rozwiązań.

3 \cos^{2} x + 5 \cos x - 2 = 0

Możliwe odpowiedzi: 1.

6 \sin^{2} x + 5 \sin x - 6 = 0

, 2.

3 \sin^{2} x - \cos^{2} x = 0

, 3.

3 \cos^{2} x - 7 \cos x + 2 = 0

, 4.

2 \sin^{2} x - 11 \sin x + 12 = 0

\cos^{2} x - 5 \cos x + 6 = 0

Możliwe odpowiedzi: 1.

6 \sin^{2} x + 5 \sin x - 6 = 0

, 2.

3 \sin^{2} x - \cos^{2} x = 0

, 3.

3 \cos^{2} x - 7 \cos x + 2 = 0

, 4.

2 \sin^{2} x - 11 \sin x + 12 = 0

4 \cos^{2} x - 3 = 0

Możliwe odpowiedzi: 1.

6 \sin^{2} x + 5 \sin x - 6 = 0

, 2.

3 \sin^{2} x - \cos^{2} x = 0

, 3.

3 \cos^{2} x - 7 \cos x + 2 = 0

, 4.

2 \sin^{2} x - 11 \sin x + 12 = 0

3 \sin^{2} x + 4 \sin x - 4 = 0

Możliwe odpowiedzi: 1.

6 \sin^{2} x + 5 \sin x - 6 = 0

, 2.

3 \sin^{2} x - \cos^{2} x = 0

, 3.

3 \cos^{2} x - 7 \cos x + 2 = 0

, 4.

2 \sin^{2} x - 11 \sin x + 12 = 0

Połącz w pary równanie, które mają równe zbiory rozwiązań.

$3 \cos^{2} x + 5 \cos x - 2 = 0$
$\cos^{2} x - 5 \cos x + 6 = 0$
$4 \cos^{2} x - 3 = 0$
$3 \sin^{2} x + 4 \sin x - 4 = 0$

Rpt3C2pJ5sIfd2

Ćwiczenie 5

Wskaż równania, które mają dokładnie jedno rozwiązanie w przedziale $(- \frac{π}{2}, 0)$ .

$2 {tg}^{2} x + tg x - 1 = 0$
${tg}^{2} x - tg x - 6 = 0$
${tg}^{2} x + tg x - 6 = 0$
$4 {tg}^{2} x - 12 tg x + 9 = 0$
$2 {tg}^{2} x - 3 tg x + 1 = 0$
${tg}^{2} x + 5 tg x + 6 = 0$

R1FbJ6J5dld6z2

Ćwiczenie 6

Wskaż równanie, które ma taki sam zbiór rozwiązań jak równanie $3 \sin^{2} x - 2 \cos^{2} x = \sin x \cos x$ .

$3 {tg}^{2} x - tg x - 2 = 0$
$2 {tg}^{2} x + tg x - 3 = 0$
${tg}^{2} x + 2 tg x - 3 = 0$
$3 {tg}^{2} x - 2 tg x - 1 = 0$

Ćwiczenie 7

Dla jakich wartości parametru $a \in ℝ$ równanie ${tg}^{2} x + a tg x - a - 1 = 0$ ma rozwiązanie w przedziale $(- \frac{π}{2}, 0)$ .

Przekształćmy równanie

${tg}^{2} x + a tg x - a - 1 = 0$

do postaci:

${tg}^{2} x - 1 + a tg x - a = 0$

$(tg x - 1) (tg x + 1) + a (tg x - 1) = 0$

$(tg x - 1) (tg x + 1 + a) = 0$ .

Ostatnie równanie jest równoważne alternatywie równań:

$tg x - 1 = 0$ lub $tg x + 1 + a = 0$ .

Równanie $tg x - 1 = 0$ w przedziale $(- \frac{π}{2}, 0)$ nie ma rozwiązań.

Równanie $tg x + 1 + a = 0$ ma rozwiązania w przedziale $(- \frac{π}{2}, 0)$ tylko wtedy, gdy $- 1 - a < 0$ .

Odpowiedź: Równanie ${tg}^{2} x + a tg x - a - 1 = 0$ ma rozwiązanie w przedziale $(- \frac{π}{2}, 0)$ wtedy i tylko wtedy, gdy $- 1 < a$ .

Ćwiczenie 8

Oblicz wartość $tg x$ , jeżeli wiadomo, że $6 \sin^{2} x + \sin x \cdot \cos x - \cos^{2} x = 2$ .

Korzystając z jedynki trygonometrycznej zmieniamy postać równania:

$6 \sin^{2} x + \sin x \cdot \cos x - \cos^{2} x - 2 \cos^{2} x - 2 \sin^{2} x = 0$ .

Stąd dostajemy:

$4 \sin^{2} x + \sin x \cdot \cos x - 3 \cos^{2} x = 0$ .

Ponieważ $\cos x \neq 0$ , dzielimy równanie stronami przez $\cos^{2} x$ i otrzymujemy równanie ze zmienną $tg x$ :

$4 {tg}^{2} x + tg x - 3 = 0$ .

Podstawiamy: $t = tg x$ .

Wówczas otrzymujemy równanie kwadratowe:

$4 t^{2} + t - 3 = 0$ .

Obliczamy: $Δ = 49$

Rozwiązaniami równania $4 t^{2} + t - 3 = 0$ są

$t = - 1$ lub $t = \frac{3}{4}$ .

Zatem

$tg x = - 1$ lub $tg x = \frac{3}{4}$ .

Gra edukacyjna

Dla nauczyciela