Gra edukacyjna

Polecenie 1

Zagraj w grę edukacyjną, następnie wykonaj polecenia.

Rozwiąż poniższy test wielokrotnego wyboru.

RNNJGpP0yzdMU

R10KXRTSel8pS

RlrGNyQoj5cUJ

R1SyPPB4G5L0e

RBOys7gYb0M2a1

Polecenie 2

Dla jakich wartości parametru $a \in ℝ$ równanie

$\cos^{2} x + 4 \cos x + a = 0$

ma rozwiązanie w zbiorze liczb rzeczywistych?

Niech funkcja ma wzór: $f (x) = \cos^{2} x + 4 \cos x + a$ . Wzór funkcji przekształćmy do postaci: $f (x) = {(\cos x + 2)}^{2} - 4 + a$ .

Ponieważ funkcja $y = \cos x$ przyjmuje wartości z przedziału $⟨- 1, 1⟩$ , zatem

$1 \leq \cos x + 2 \leq 3$

$1 \leq {(\cos x + 2)}^{2} \leq 9$

$- 3 \leq {(\cos x + 2)}^{2} - 4 \leq 5$

$- 3 + a \leq {(\cos x + 2)}^{2} - 4 + a \leq 5 + a$ .

Aby funkcja $f$ miała miejsca zerowe, muszą zachodzić dwa warunki:

$- 3 + a \leq 0$ i $0 \leq 5 + a$ .

Zatem

$a \leq 3$ i $- 5 \leq a$ . Odpowiedź: $a \in ⟨- 5, 3⟩$ .

Polecenie 3

Dla jakich wartości parametru $a \in ℝ$ równanie

${tg}^{2} x + 2 (a + 2) tg x - 3 a - 2 = 0$

ma rozwiązanie w zbiorze liczb rzeczywistych?

Podstawmy $t = tg x$ w równaniu ${tg}^{2} x + 2 (a + 2) tg x - 3 a - 2 = 0$ . Otrzymujemy równanie kwadratowe:

$t^{2} + 2 (a + 2) t - 3 a - 2 = 0$ .

Ponieważ funkcja tangens przyjmuje każdą wartość rzeczywistą, zatem zmienna $t$ przyjmuje każdą wartość rzeczywistą. Rozwiązujemy równanie kwadratowe:

$t^{2} + 2 (a + 2) t - 3 a - 2 = 0$

$Δ = {(2 (a + 2))}^{2} + 4 (3 a + 2) = 4 (a^{2} + 7 a + 6)$ .

Aby równanie kwadratowe miało rozwiązanie musi być spełniony warunek: $Δ \geq 0$ . Zatem

$a^{2} + 7 a + 6 \geq 0$

$Δ_{1} = 49 - 4 \cdot 6 = 25$

$a = - 1$ lub $a = - 6$ .

Zatem nierówność $a^{2} + 7 a + 6 \geq 0$ jest spełniona, gdy $a \in (- \infty, - 6⟩ \cup ⟨- 1, + \infty)$ .

Przeczytaj

Sprawdź się