Obliczymy wartość $\sin x$, jeżeli wiemy, że $6{\sin }^{2}x-\sin x-2=0$.

Rozwiązanie

Zróbmy podstawienie: $t=\sin x$.

Wówczas równanie $6{\sin }^{2}x-\sin x-2=0$ przyjmuje postać równania kwadratowego:

$6t^2-t-2=0$.

Rozwiązujemy równanie kwadratowe. Obliczmy:

$\Delta =1-4·6·\left(-2\right)=49$

$t=\frac{1-7}{12}$ lub $t=\frac{1+7}{12}$

$t=-\frac{1}{2}$ lub $t=\frac{2}{3}$.

Stąd otrzymujemy odpowiedź: $\sin x=-\frac{1}{2}$ lub $\sin x=\frac{2}{3}$.

Rozwiążemy równanie $2{\cos }^2\left(\frac{\pi }{2}-x\right)=3\sin \left(1,5\pi +x\right)$.

Rozwiązanie

Najpierw skorzystamy ze wzorów redukcyjnych:

$\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\sin x$ oraz $\sin \left(1,5\pi +x\right)=-\cos x$

i otrzymamy równanie:

$2{\sin }^{2}x=-3\cos x$.

Wykorzystamy jedynkę trygonometrycznąjedynka trygonometrycznajedynkę trygonometryczną:

$2\left(1-{\cos }^{2}x\right)+3\cos x=0$.

W równaniu $2{\cos }^{2}x-3\cos x-2=0$ podstawiamy $t=\cos x$ i otrzymujemy równanie kwadratowe: $2t^2-3t-2=0$.

Rozwiązujemy równanie kwadratowe:

$\Delta =25$

$t=2$ lub $t=-\frac{1}{2}$.

Stąd otrzymujemy alternatywę równań trygonometrycznych:

$\cos x=2$ lub $\cos x=-\frac{1}{2}$.

Równanie $\cos x=2$ jest sprzeczne, gdyż zbiorem wartości funkcji cosinus jest przedział $⟨-1,1⟩$.

Rozwiązaniami równania $\cos x=-\frac{1}{2}$ są liczby:

$x=\frac{2\pi }{3}+2k\pi$ lub $x=-\frac{2\pi }{3}+2k\pi$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

Obliczymy wartość $\cos x$, jeżeli $\sin x-2\cos x=1$.

Rozwiązanie

Stwórzmy układ równań, wykorzystując jedynkę trygonometrycznąjedynka trygonometrycznajedynkę trygonometryczną:

$\left\{\begin{array}{l}\sin x-2\cos x=1\\ {\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1\end{array}\right.$.

Z pierwszego równania wyliczmy $\sin x$:

$\sin x=1+2\cos x$

i podstawmy do jedynki trygonometrycznej

${\left(1+2\cos x\right)}^2+{\cos }^{2}x=1$.

Stąd otrzymujemy:

$1+4\cos x+4{\cos }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$

$5{\cos }^{2}x+4\cos x=0$

$\cos x\left(5\cos x+4\right)=0$.

A zatem odpowiedź jest następująca: $\cos x=0$ lub $\cos =-\frac{4}{5}$.

Obliczymy wartość $\mathrm{tg}x$, jeżeli $12{\mathrm{tg}}^{2}x-5\mathrm{tg}x-3=0$.

Rozwiązanie

Zróbmy podstawienie: $t=\mathrm{tg}x$. Wówczas otrzymujemy równanie kwadratowe:

$12t^2-5t-3=0$.

Rozwiążmy je:

$\Delta =25+4·3·12=169$

$t=-\frac{1}{3}$ lub $t=\frac{3}{4}$.

Stąd otrzymujemy odpowiedź: $\mathrm{tg}x=-\frac{1}{3}$ lub $\mathrm{tg}x=\frac{3}{4}$.

Obliczymy wartość $\mathrm{tg}x$, jeżeli wiadomo, że $2{\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x-3\sin x·\cos x=0$.

Rozwiązanie

Rozważmy przypadek, gdy $\cos x=0$. Wówczas równanie ma postać: ${\sin }^{2}x=0$, czyli $\sin x=0$.

Zauważmy, że funkcje $y=\sin x$ i $y=\cos x$ nie mogą jednocześnie przyjmować wartości $0$. Czyli liczby $x$, dla których $\cos x=0$, nie spełniają równania.

Zatem równanie $2{\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x-3\sin x·\cos x=0$ możemy podzielić stronami przez ${\cos }^{2}x$. Otrzymujemy wówczas równanie:

${\mathrm{tg}}^{2}x-3\mathrm{tg}x+2=0$.

Podstawmy: $t=\mathrm{tg}x$.

Otrzymujemy równanie kwadratowe:

$t^2-3t+2=0$.

Obliczamy, że $\Delta =1$.

Rozwiązaniami równania $t^2-3t+2=0$ są

$t=2$ lub $t=1$.

Wracając do podstawienia $t=\mathrm{tg}x$, dostajemy odpowiedź:

$tgx=1$ lub $tgx=2$.

tożsamość trygonometryczna: dla każdej liczby rzeczywistej $x$ zachodzi równość ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$