Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

R1AofUNJjcKim1

Ćwiczenie 1

Równowaga bryły sztywnej zachodzi, gdy:

działające na bryłę siły się równoważą
nie działają na bryłę żadne momenty sił
działające na bryłę siły i momenty sił się równoważą
przyłożone do bryły siły równoważą momenty sił

Ćwiczenie 2

R1IdvkMoKWj4w

Źródło: Politechnika Warszawska, Wydział Fizyki, [na podstawie: https://pl.wikipedia.org/wiki/R%C3%B3wnowaga_(mechanika)], licencja: CC BY 4.0.

R1OEGAFSolI2o

Ćwiczenie alternatywne: Wybierz odpowiedź poprawną. Jeśli metalowa kulka znajduje się w najniższym punkcie owalnego wgłębienia, to znaczy że jej równowaga jest ...

chwiejna
obojętna
metastabilna
trwała

Ćwiczenie 3

Sześcian o krawędzi a = 10 cm i masie m = 2 kg znajduje się w równowadze trwałej. Przyłożenie do tego sześcianu momentu siły spowodowało jego obrócenie do położenia równowagi chwiejnej (zapoznaj się z opisem rysunku). Jaka jest wartość pracy wykonanej przez tę siłę? Odpowiedź podaj z dokładnością do dwóch miejsc znaczących.

R1QnvOcKguElK

Rysunek przedstawia ciało w postaci niebieskiego kwadratu o boku opisanym małą literą a, umieszczone na płaskiej, poziomej powierzchni zaznaczonej czarną linią. Środek ciała oznaczono czarnym punktem. Jeden z boków ciała jest równoległy do poziomej powierzchni. Po prawej pokazano to samo kwadratowe ciało, ułożone w taki sposób, że stoi na jednym z rogów. Kąt pomiędzy bokami ciała a kierunkiem poziomym jest równy czterdzieści pięć stopni. — Źródło: Politechnika Warszawska, Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0.

R1eNZg7Fnv2Bu

Odpowiedź: ............ J

Położenie środka masy zmieniło się z wysokości $h_{1} = \frac{a}{2}$ do wysokości $h_{2} = \frac{a \sqrt{2}}{2}$ , zgodnie z rysunkiem poniżej. Zatem zmiana wysokości:

Δ h = h_{2} - h_{1} = \frac{a \sqrt{2}}{2} - \frac{a}{2} = a \frac{\sqrt{2} - 1}{2}

R1Y67etqoTsY8

Ilustracja przedstawia ciało narysowane w postaci niebieskiego kwadratu o boku mała litera a znajdujące się na płaskiej, poziomej powierzchni widocznej w postaci czarnej, poziomej linii. Środek ciała oznaczono czarnym punktem. Po prawej stronie widoczne jest kwadratowe ciało leżące na płaskiej powierzchni. Jeden z boków ciała jest równoległy do poziomej powierzchni. Po prawej stronie widoczne jest to samo kwadratowe ciało, ale ułożone w taki sposób, że stoi ono na jednym z rogów. Kąt pomiędzy bokami ciała a kierunkiem poziomym jest równy czterdzieści pięć stopni. Przez środki ciał w obu pozycjach poprowadzono czarne, przerywane, poziome linie. Wysokość środka ciała po lewej jest równa połowie długości jego krawędzi mała litera a dzielona na dwa. Wysokość, na której znajduje się środek ciała po prawej stronie ilustracji jest równa połowie przekątnej kwadratu mała litera a razy pierwiastek z dwóch podzielone na dwa. — Źródło: Politechnika Warszawska, Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0.

Zmiana energii potencjalnej tego sześcianu wyniosła:

Δ E_{p} = m g Δ h = m g a \frac{\sqrt{2} - 1}{2} = 2 k g \cdot 9, 81 \frac{m}{s^{2}} \cdot 0, 1 m \cdot \frac{\sqrt{2} - 1}{2} \approx 0, 41 J

Zgodnie z zasadą zachowania energii, jej zmiana jest równa wykonanej pracy

Ćwiczenie 4

Sześcian o masie m = 1 kg i krawędzi a = 0,1 m zostaje przewrócony na inny bok po przyłożeniu momentu siły. Poniższy wykres przedstawia zależność energii potencjalnej tego sześcianu od kąta obrotu $α$ . Które z poniższych zdań możesz uznać za prawdziwe na podstawie tego wykresu?

RRlreljADV56l

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych narysowany czarnymi liniami, w którym oś pionowa skierowana w górę opisuje energię potencjalną wyrażoną w dżulach, a oś pozioma skierowana w prawo opisuje stopnie jako jednostkę kąta Na osi energii zaznaczono wartości od zera do ośmiu dziesiątych dżula, co jedną dziesiątą dżula. Na osi stopni zaznaczono wartości od zera do dziewięćdziesięciu stopni, co pięć stopni. W układzie widoczna jest funkcja narysowana niebieską linią. Funkcja przedstawia odwróconą parabolę. Dla era stopni przyjmuje wartość nieco poniżej pięciu dziesiątych dżula. Funkcja rośnie i osiąga wartość maksymalną równą prawie siedemdziesiątych dżula, dla czterdziestu pięciu stopni. Następnie funkcja maleje do wartości nieco poniżej pięciu dziesiątych dżula dla dziewięćdziesięciu stopni. — Źródło: Politechnika Warszawska, Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0.

RRZ9ggGnbKeZR

W położeniu α = 45° bryła znajduje się w położeniu równowagi trwałej.
W położeniu α = 45° bryła znajduje się w położeniu równowagi chwiejnej.
Całkowita praca wykonana na zmianę położenia z α = 0° do α = 90° może zostać obliczona z tego wykresu jako pole pod krzywą.
Siła zewnętrzna wykonuje pracę tylko w trakcie przekręcania bryły do położenia α = 45°, ponieważ później to siła grawitacji wykonuje pozostałą pracę.

Ćwiczenie 4

Sześcian o masie m = 1 kg i krawędzi a = 0,1 m zostaje przewrócony na inny bok po przyłożeniu momentu siły. Załóż, że zależność energii potencjalnej tego sześcianu od kąta obrotu $α$ ma charakter paraboli o maksimum dla $α = 45 °$ . Które z poniższych zdań możesz uznać za prawdziwe na podstawie wykresu tej zależności?

RxaMFwQ8nHmEK

W położeniu α = 45° bryła znajduje się w położeniu równowagi trwałej.
W położeniu α = 45° bryła znajduje się w położeniu równowagi chwiejnej.
Całkowita praca wykonana na zmianę położenia z α = 0° do α = 90° może zostać obliczona z tego wykresu jako pole pod krzywą.
Siła zewnętrzna wykonuje pracę tylko w trakcie przekręcania bryły do położenia α = 45°, ponieważ później to siła grawitacji wykonuje pozostałą pracę.

Ćwiczenie 5

RBGuQMYOhoFmd

Na samochód, wchodzący w niewyprofilowany zakręt, zaczyna działać moment siły pochodzący od siły odśrodkowej. Przy jakiej prędkości samochodu jego koła oderwą się od podłoża?

Przyjmij, że: rozstaw kół l = 160 cm, środek ciężkości samochodu znajduje się na wysokości h = 90 cm, promień krzywizny drogi wynosi R=45 m.
Odpowiedź podaj z dokładnością do trzech cyfr znaczących.

Odpowiedź: ............ km/h

R1U8Y8XHyK63K

Ilustracja podzielona jest na dwie części. Z lewej strony widoczny jest rysunek przedstawiający czoło zielonego samochodu. Środek ciężkości samochodu, znajdujący się w połowie jego szerokości i w dolnej części szyby zaznaczono czarnym punktem. Szerokość samochodu mała litera l oznaczono jako odległość pomiędzy środkami jego opon. Wysokość na jakiej znajduje się środek ciężkości oznaczono małą literą h. Do środka ciężkości przyłożono wektor siły grawitacji wielka litera F z indeksem dolnym mała litera g i strzałką oznaczająca wektor. Narysowano go w postaci czerwonej, pionowej strzałki skierowanej w dół. Do środka ciężkości przyłożono wektor siły odśrodkowej wielka litera F z indeksem dolnym od i strzałką oznaczającą wektor. Narysowano go w postaci niebieskiej, poziomej strzałki skierowanej w prawo. Ze środka prawej opony samochodu poprowadzono czarną strzałkę wskazująca na środek ciężkości samochodu. Opisano ją, jako mała litera r ze strzałką oznaczającą wektor. Kąt pomiędzy wektorem mała litera r i siłą grawitacji oznaczono małą grecką literą alfa. Kąt pomiędzy wektorem mała litera r i siłą odśrodkową oznaczono małą grecką literą beta. Ze środka prawej opony wychodzi wektor siły tarcia wielka litera T ze strzałką oznaczającą wektor. Narysowano go w postaci niebieskiej poziomej strzałki skierowanej w prawo. Wektor siły grawitacji jest najdłuższy spośród wektorów sił a wektor siły tarcia jest najkrótszy. Po prawej stronie ilustracji widoczny jest czarny punkt symbolizujący środek masy samochodu po lewej stronie. Do czarnego punktu przyłożono dwa wektory narysowane w postaci strzałek. Czerwona strzałka skierowana pionowo w dół opisuje wektor siły grawitacji wielka litera F z indeksem dolnym mała litera g i strzałką oznaczającą wektor. Czarna strzałka skierowana w lewo i w górę opisuje wektor mała litera r ze strzałką oznaczającą wektor. Wektor mała litera r został przedłużony w prawo i w dół przerywaną czarną linią. Kąt pomiędzy przerywaną czarną linią i wektorem siły grawitacji opisano małą grecką literą alfa. Z końca wektora mała litera r wychodzi drugi identyczny wektor siły grawitacji skierowany pionowo w dół i narysowany w postaci czerwonej strzałki. Kąt ostry pomiędzy tymi wektorami również oznaczona małą grecką literą alfa. Kąt rozwarty pomiędzy dolnym wektorem siły grawitacji i wektorem małą litera r opisano jako sto osiemdziesiąt stopni minus kąt mała greka litera alfa. — Źródło: Politechnika Warszawska, Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0.

Przyjmijmy układ odniesienia związany z samochodem. W omawianej sytuacji pojawiają się dwa momenty sił – związany z siłą ciężkości i z siłą odśrodkową, odpowiednio $\vec{F_{g}}$ i $\vec{F_{o d}}$ , które będą działać wzdłuż osi łączącej punkt zetknięcia wewnętrznych opon z podłożem. Jeśli siła odśrodkowa wytworzy moment siły większy od momentu siły tworzonego przez siłę grawitacji, samochód się przewróci. Sytuacja równowagi, tuż przed przewróceniem, będzie zatem opisana jako:

\vec{M_{o d}} = - \vec{M_{g}} \to \vec{r} \times \vec{F_{o d}} = - \vec{r} \times \vec{F_{g}}

Wartości tych momentów obliczamy korzystając z zależności geometrycznych:

r F_{o d} s i n (180^{o} - β) = r F_{g} s i n (180^{o} - α)

F_{o d} s i n β = F_{g} s i n α

F_{o d} \frac{h}{r} = F_{g} \frac{\frac{1}{2} l}{r}

F_{o d} h = F_{g} \frac{l}{2}

Wstawiając zależności dla siły grawitacji i siły odśrodkowej:

\frac{m v^{2}}{R} h = m g \frac{l}{2}

v = \sqrt{g \frac{l R}{2 h}}

Wstawiając wartości liczbowe:

v = \sqrt{g \frac{l R}{2 h}} = \sqrt{9, 81 \frac{m}{s^{2}}} \frac{1, 6 m \cdot 45 m}{2 \cdot 0, 9 m} \approx 19, 8 \frac{m}{s} = 71, 3 \frac{k m}{h}

Ćwiczenie 5

R122dgBAMDCFY

Na samochód, wchodzący w niewyprofilowany zakręt, zaczyna działać moment siły pochodzący od siły odśrodkowej. Przy jakiej prędkości samochodu jego koła oderwą się od podłoża?

Przyjmijmy układ odniesienia związany z samochodem. W omawianej sytuacji pojawiają się dwa momenty sił – związany z siłą ciężkości i z siłą odśrodkową (odpowiednio $\vec{F_{g}}$ i $\vec{F_{o d}}$ ). Siły te są przyłożone do środka ciężkości samochodu. Jeśli siła odśrodkowa wytworzy moment siły większy od momentu siły tworzonego przez siłę grawitacji, samochód się przewróci. Sytuacja równowagi, tuż przed przewróceniem, będzie zatem opisana jako:

\vec{M_{o d}} = - \vec{M_{g}} \to \vec{r} \times \vec{F_{o d}} = - \vec{r} \times \vec{F_{g}}

przy czym $\vec{r}$ to wektor łączący punkt styku zewnętrznych opon z podłożem (czyli oś obrotu) ze środkiem masy samochodu.

Wartości tych momentów obliczamy korzystając z zależności geometrycznych:

r F_{o d} s i n (180^{o} - β) = r F_{g} s i n (180^{o} - α)

(gdzie $180 ° - α$ to kąt między wektorem $\vec{r}$ a wektorem siły grawitacji, natomiast $180 ° - β$ to kąt między wektorem $\vec{r}$ a wektorem siły odśrodkowej)

F_{o d} s i n β = F_{g} s i n α

F_{o d} \frac{h}{r} = F_{g} \frac{\frac{1}{2} l}{r}

F_{o d} h = F_{g} \frac{l}{2}

Wstawiając zależności dla siły grawitacji i siły odśrodkowej:

\frac{m v^{2}}{R} h = m g \frac{l}{2}

v = \sqrt{g \frac{l R}{2 h}}

Wstawiając wartości liczbowe:

v = \sqrt{g \frac{l R}{2 h}} = \sqrt{9, 81 \frac{m}{s^{2}}} \frac{1, 6 m \cdot 45 m}{2 \cdot 0, 9 m} \approx 19, 8 \frac{m}{s} = 71, 3 \frac{k m}{h}

Ćwiczenie 6

„Strongman” to rodzaj zawodów siłowych, polegających na rywalizacji głównie w podnoszeniu lub przemieszczaniu dużych ciężarów, zazwyczaj na czas. Jedną z konkurencji jest przerzucanie olbrzymich opon. Wyjaśnij, dlaczego oponę tak łatwo jest toczyć, a tak trudno jest przerzucać z pozycji leżącej? W który momencie wysiłek zawodnika jest największy?

Rte1V9oRdtu7d

Ilustracja przedstawia siłacza, który przetacza dużą i ciężką oponę. Siłacz obraca oponę w kierunku prostopadłym do jej powierzchni płaskiej. Oponę możemy potraktować jako dysk. — Źródło: dostępny w internecie: https://pl.wikipedia.org/wiki/Plik:Tyre_Flip.JPG [dostęp 1.04.2022], licencja: CC BY-SA 3.0.

Ćwiczenie 7

Wyprowadź wzór na zależność wysokości środka masy sześcianu od kąta podczas stawiania go na krawędzi, przyjmując oznaczenia, jak na rysunku poniżej.

Sprawdź wynik wiedząc, że w równowadze trwałej wysokość wynosi $\frac{a}{2}$ , a w położeniu równowagi chwiejnej $\frac{a \sqrt{2}}{2}$ .

R1FlXmuiNEBot

Rysunek przedstawia ciało w postaci niebieskiego kwadratu, którego środek oznaczono czarnym punktem. Ciało znajduje się na płaskiej powierzchni, zaznaczonej poziomą czarną linią. Lewy bok kwadratu jest nieco uniesiony, a podstawa kwadratu nachylona pod kątem opisanym małą grecką literą alfa do kierunku poziomego. Wysokość środka kwadratu, opisana małą literą h, zaznaczono nad poziomą linią czerwoną, pionową strzałką zakończoną grotami na obu końcach. Ze środka kwadratu poprowadzono cienką, czerwoną linię do jego prawego, dolnego rogu, na którym się on opiera. Przez środek ciała i nieco wyżej poprowadzono dwie, poziome, przerywana, czarne linie. Linia przechodząca przez środek kwadratu znajduje się w odległości opisanej małą literą a dzieloną na dwa od powierzchni narysowanej poziomą czarną linią. Wyższa przerywana linia znajduje się w odległości opisanej małą literą a razy pierwiastek z dwóch dzielone na dwa od poziomej powierzchni, na której znajduje się kwadratowe ciało. Ze środka kwadratu poprowadzono cienką, czerwoną linię do jego prawego, dolnego rogu, na którym się kwadratowe ciało opiera. — Źródło: Politechnika Warszawska, Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0.

Przyjrzyjmy się kątom w trójkącie zaznaczonym na pomarańczowo:

RPeKUw3eUXUVy

Ilustracja przedstawia ciało narysowane w postaci niebieskiego kwadratu, którego środek oznaczono czarnym punktem. Ciało znajduje się na płaskiej powierzchni, narysowanej w postaci poziomej czarnej linii. Lewy bok kwadratu jest nieco uniesiony, a podstawa kwadratu jest nachylona pod kątem mała grecka litera alfa do kierunku poziomego. Wysokość nad powierzchnią płaską na jakiej znajduje się środek ciała mała litera h zaznaczono czerwoną, pionową strzałką zakończoną grotami na obu końcach. Ze środka kwadratu poprowadzono cienką, czerwoną linię do jego prawego, dolnego rogu. Długość tej linii to połowa długości przekątnej mała litera d dzielona na dwa. Fragment przekątnej tworzy z dolną krawędzią kwadratu kąt czterdzieści pięć stopni. — Źródło: Politechnika Warszawska, Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0.

Odcinek łączący środek masy z punktem styku z podłożem to połowa długości przekątnej kwadratu, zatem znamy jej długość $\frac{d}{2} = a \frac{\sqrt{2}}{2}$ i kąt, jaki tworzy z podstawą figury, czyli 45 stopni. Sinus sumy tego kąta oraz kąta tworzonego przez podłoże i dolną krawędź wyniesie zatem:

s i n (α + 45^{o}) = \frac{h}{a \frac{\sqrt{2}}{2}}

Przekształcając:

h (α) = a \frac{\sqrt{2}}{2} s i n (α + 45^{o})

Sprawdzenie dla równowagi trwałej i chwiejnej:

h (0^{o}) = a \frac{\sqrt{2}}{2} s i n (0^{o} + 45^{o}) = a \frac{\sqrt{2}}{2} s i n (45^{o}) = a \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{a}{2}

h (45^{o}) = a \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (45^{o} + 45^{o}) = a \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (90^{o}) = a \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 = a \frac{\sqrt{2}}{2}

Wzór zgadza się z przewidywaniami.

Ćwiczenie 7

Wyprowadź wzór na zależność wysokości $h$ środka masy sześcianu od kąta podczas stawiania go na krawędzi. Przyjmij, że bok sześcianu ma długość $a$ .

Sprawdź wynik wiedząc, że w równowadze trwałej wysokość $h$ wynosi $\frac{a}{2}$ , a w położeniu równowagi chwiejnej $\frac{a \sqrt{2}}{2}$ .

R1FlXmuiNEBot

Przyjrzyjmy się kątom w trójkącie zaznaczonym na pomarańczowo:

RPeKUw3eUXUVy

s i n (α + 45^{o}) = \frac{h}{a \frac{\sqrt{2}}{2}}

Przekształcając:

h (α) = a \frac{\sqrt{2}}{2} s i n (α + 45^{o})

Sprawdzenie dla równowagi trwałej i chwiejnej:

h (0^{o}) = a \frac{\sqrt{2}}{2} s i n (0^{o} + 45^{o}) = a \frac{\sqrt{2}}{2} s i n (45^{o}) = a \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{a}{2}

h (45^{o}) = a \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (45^{o} + 45^{o}) = a \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (90^{o}) = a \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 = a \frac{\sqrt{2}}{2}

Wzór zgadza się z przewidywaniami.

Ćwiczenie 8

Na rysunku poniżej przedstawiono huśtawkę – bryłę sztywną, którą obciążono dwoma ciężarami. Prawe ramię dźwigni jest trzy razy dłuższe od lewego $(r_{2} = 3 r_{1})$ , a ciężar obiektu z prawej strony jest trzy razy większy niż ciężar po lewej $(F_{2} = 3 F_{1})$ . Czy huśtawka ta znajduje się w położeniu równowagi?

RTNPeRZAqfUl5

Rysunek przedstawia bryłę sztywną w postaci poziomej belki narysowanej jako niebieski, poziomy prostokąt, którą podparto na wierzchołku niebieskiego trójkąta równobocznego. Na prawym i lewym ramieniu belki umieszczono dwa ciała narysowane w postaci pomarańczowych kwadratów, których środki zaznaczono czarnymi punktami. Bryła wygląda jakby znajdowała się w położeniu równowagi. Na prawym ramieniu umieszczono większe ciało którego środek znajduje się w odległości poziomej mała litera r z indeksem dolnym dwa i strzałką oznaczającą wektor od punktu podparcia belki. Ze środka tego ciała wychodzi wektor siły grawitacji wielka litera F z indeksem dolnym dwa i strzałką oznaczającą wektor skierowany pionowo w dół. Narysowano go w postaci niebieskiej, pionowej strzałki skierowanej w dół. Na lewym ramieniu belki umieszczono mniejsze ciało w odległości poziomej mała litera r z indeksem dolnym jeden i strzałką oznaczająca wektor od punktu podparcia belki. Odległość tego ciała od punktu podparcie jest trzykrotnie mniejsza niż odległość ciała na prawym ramieniu belki. Ze środka ciała na lewym ramieniu wychodzi wektor siły grawitacji tego ciała wielka litera F z indeksem dolnym jeden i strzałką oznaczającą wektor. Narysowano go w postaci zielonej strzałki skierowanej pionowo w dół. Wektor siły grawitacji ciała mniejszego jest krótszy niż wektor grawitacji ciała cięższego. — Źródło: Politechnika Warszawska, Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0.

R1Lxg3jY8VYEt

Ćwiczenie 8

Zapoznaj się z opisem rysunku, na którym przedstawiono huśtawkę – bryłę sztywną, którą obciążono dwoma ciężarami. Prawe ramię dźwigni jest trzy razy dłuższe od lewego $(r_{2} = 3 r_{1})$ , a ciężar obiektu z prawej strony jest trzy razy większy niż ciężar po lewej $(F_{2} = 3 F_{1})$ . Czy huśtawka ta znajduje się w położeniu równowagi?

R1YtVNnqiIJdN

RMOE4XSiUjkmL

Symulacja interaktywna

Dla nauczyciela