Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

W sześcianie o krawędzi $a$ połączono wierzchołki podstawy dolnej z jednym z wierzchołków podstawy górnej otrzymując ostrosłup $A B C D S$ .

R1Qh8RkUqexAD

Ilustracja przedstawia sześcian o podstawie ABCD. Krawędź sześcianu ma długość a. W lewym górnym wierzchołku zaznaczono punkt S, który stał się z kolei wierzchołkiem nowo powstałego ostrosłupa prawidłowego czworokątnego. Ostrosłup ABCDS wyróżniono kolorem różowym.

R8cYhJ6M5w06P

Dostępne opcje do wyboru:

a

120

a \sqrt{3}

a \frac{\sqrt{6}}{2}

a \sqrt{2}

. Polecenie: Uzupełnij poniższe rozumowanie, pozwalające obliczyć miarę kąta dwuściennego między tymi ścianami bocznymi ostrosłupa, które nie są prostopadłe do jego płaszczyzny podstawy. Krawędź sześcianu ma długość luka do uzupełnienia , zatem przekątna jego ściany bocznej ma długość luka do uzupełnienia . Jednocześnie przekątna sześcianu ma długość luka do uzupełnienia . Ściana boczna ostrosłupa, która nie jest prostopadła do płaszczyzny podstawy jest więc trójkątem prostokątnym, którego wysokość opuszczona na przeciwprostokątną ma długość luka do uzupełnienia . Aby obliczyć miarę kąta dwuściennego między ścianami bocznymi ostrosłupa, które nie są prostopadłe do jego płaszczyzny podstawy, wystarczy zastosować twierdzenie cosinusów dla trójkąta zawierającego jego kąt liniowy, otrzymując jego miarę równą luka do uzupełnienia

°

R1NtJ8kuIMYAP1

Ćwiczenie 2

R1Y2h2J4ipM1n2

Ćwiczenie 3

REXB8P70rCw8U2

Ćwiczenie 4

Ćwiczenie 5

RrxzWybKRpT2C

Ćwiczenie 6

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym pole powierzchni ściany bocznej wynosi $18 {cm}^{2}$ , a krawędź podstawy ma długość $2 \sqrt{2} cm$ . Cosinus kąta zawartego między dwiema ścianami bocznymi jest równy $0, 75$ . Oblicz długość krawędzi bocznej tego ostrosłupa.

Oto szkic do zadania:

RDUYmUCquPg84

Ilustracja przedstawia ostrosłup prawidłowy trójkątny A B C W. Długość krawędzi podstawy tego ostrosłupa jest oznaczona literą a, długość krawędzi bocznej jest oznaczona literą b. Na krawędzi bocznej CW zaznaczono punkt D. W ostrosłupie kolorem różowym zaznaczono trójkąt ABD, odcinki BD i AD mają długość x, są prostopadłe do krawędzi ostrosłupa CW i zawierają się w płaszczyznach ścian bocznych. Bok AB jest także krawędzią podstawy ostrosłupa i ma długość a. Kąt pomiędzy odcinkami BD i AD w trójkącie ma miarę alfa.

Z twierdzenia cosinusów dla trójkąta $A B D$ otrzymujemy:

$a^{2} = x^{2} + x^{2} - 2 x^{2} \cos α$

$a^{2} = 2 x^{2} (1 - \cos α)$

$8 = 2 x^{2} (1 - 0, 75)$

$8 = \frac{1}{2} x^{2}$

$x = 4$

Z pola ściany bocznej możemy zatem obliczyć długość $b$ krawędzi bocznej:

$18 = \frac{1}{2} b x$

$18 = \frac{1}{2} \cdot 4 b$

$b = 9$ .

Ćwiczenie 7

W ostrosłupie prawidłowym sześciokątnym o krawędzi podstawy długości $16$ kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy ma miarę $30 °$ . Oblicz długość krawędzi bocznej ostrosłupa.

Rozpatrzmy ostrosłup przyjmując następujące oznaczenia jego wierzchołków:

R1X8xKCXxKstx

Ilustracja przedstawia ostrosłup prawidłowy sześciokątny ABCDEFS. Wysokość ostrosłupa upuszczona jest na spodek wysokości, oznaczony literą W. Wysokość ściany bocznej trójkąta ABS upuszczona jest na krawędź AB w punkcie M. Kąt między wysokością tej ściany bocznej a płaszczyzną podstawy ma miarę α. Kolorem różowym wyróżniono trójkąt MWS.

Z trójkąta $M S W$ obliczamy wysokość $h$ ściany bocznej ostrosłupa:

$\frac{\frac{a \sqrt{3}}{2}}{h} = \cos 30 °$

$\frac{8 \sqrt{3}}{h} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$h = 16$

Zatem z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta $W M A$ otrzymujemy długość krawędzi bocznej $b$ :

$8^{2} + 16^{2} = b^{2}$

$64 + 256 = b^{2}$

$320 = b^{2}$

$b = 8 \sqrt{5}$ .

Ćwiczenie 8

Podstawą ostrosłupa jest prostokąt o polu $9 {dm}^{2}$ . Dwie ściany boczne ostrosłupa są prostopadłe do płaszczyzny podstawy, a dwie pozostałe ściany boczne są nachylone do płaszczyzny podstawy pod kątami $\frac{π}{3}$ oraz $\frac{π}{6}$ . Oblicz wysokość ostrosłupa.

RH17c9vBO30vI

Ilustracja przedstawia ostrosłup czworokątny ABCDW. Trójkąty ADW oraz CDW, będące ścianami bocznymi, są prostokątne. Kąty proste znajdują przy wierzchołku D. Kąt DAW ma miarę π3, natomiast kąt DCW π6.

Przyjmijmy oznaczenia:
$h$ – wysokość ostrosłupa,
$a$ , $b$ – długości krawędzi podstawy ostrosłupa.

Z trójkąta prostokątnego $A D W$ mamy $\frac{h}{b} = tg \frac{π}{3}$ , zatem $b = \frac{\sqrt{3}}{3} h$ .

Z trójkąta prostokątnego $C D W$ mamy $\frac{h}{a} = tg \frac{π}{6}$ , zatem $a = h \sqrt{3}$ .

Podstawiając do pola podstawy otrzymujemy $h \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} h = 9$ , zatem $h = 3$ .

Animacja 3D

Dla nauczyciela