Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

RW5WhojKOGHUm2

Ćwiczenie 1

Prawda czy fałsz?

Wzór $T = 2 π \sqrt{\frac{l}{g}}$ precyzyjnie opisuje drgania wahadła matematycznego o amplitudzie dużo mniejszej niż długość wahadła. {#P} / {F}

Dla wahadła matematycznego funkcja $l (T^{2})$ to funkcja kwadratowa. {P} / {#F}

Urządzenie służące do pomiaru przyspieszenia grawitacyjnego to grawitometr. {P} / {#F}

RTCO5DWrKsfGx

Ćwiczenie 2

RheDx7zRkk5Yx3

Ćwiczenie 3

Wybierz odpowiednie wyrazy, tak by otrzymany tekst był poprawny.

Gdy przyspieszenie grawitacyjne zmaleje czterokrotnie, okres wahadła matematycznego {#wzrośnie} / {zmaleje} {#dwukrotnie} / {czterokrotnie} / {szesnastokrotnie} , a kwadrat jego okresu {#wzrośnie} / {zmaleje} {dwukrotnie} / {#czterokrotnie} / {szesnastokrotnie}.

Z kolei, gdy długość wahadła zmaleje czterokrotnie, okres wahadła matematycznego {wzrośnie} / {#zmaleje} {#dwukrotnie} / {czterokrotnie} / {szesnastokrotnie} , a kwadrat jego okresu {wzrośnie} / {#zmaleje} {dwukrotnie} / {#czterokrotnie} / {szesnastokrotnie}.

R19wEcpgsdp3m1

Ćwiczenie 4

Źródło: Politechnika Warszawska Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0. Licencja: https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.pl.

Ćwiczenie 5

RBXv64D5C1FDI

W pewnym doświadczeniu zmierzono, że wahadło matematyczne o długości l = 1,5 m drga z okresem T = 2,54 s. Oblicz przyspieszenie grawitacyjne. Wynik podaj z dokładnością do dwóch cyfr znaczących.

Odpowiedź: ............ m/s²

Otrzymujemy

$\displaystyle T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}\ \Longrightarrow\ g = \frac{4\pi^2 l}{T^2} \approx 9,2\,\text{m/s}^2\ .$

Ćwiczenie 6

REVM8XhJJIbJM

Na Ziemi, gdzie przyspieszenie grawitacyjne wynosi $g_{z} = 9, 81 \frac{m}{s^{2}}$ , pewne wahadło ma okres $T_{z} = 1, 25 s$ . Na Jowiszu ma ono okres $T_{j} = 0, 79 s$ . Oblicz przyspieszenie grawitacyjne na Jowiszu. Wynik podaj z dokładnością do czterech cyfr znaczących.

$g_{j}$ = ............ $\frac{m}{s^{2}}$

Zapiszmy wzory na okres wahadła matematycznego na obu planetach: $T_z = 2\pi\sqrt{l/g_z}$ , $T_j = 2\pi\sqrt{l/g_j}$ . Dzieląc te równości stronami, otrzymamy

$\displaystyle \frac{T_z}{T_j} = \sqrt{\frac{g_j}{g_z}}\ .$

Po podniesieniu do kwadratu możemy wyznaczyć szukaną wielkość:

$\displaystyle g_j = g_z \frac{T_z^2}{T_j^2} \approx 24,56\,\text{m/s}^2\ .$

Ćwiczenie 7

Rv2PgPkibq40w

W pionowo lecącej rakiecie zamontowano wahadło matematyczne o długości 130 cm i zmierzono, że jego okres wynosi 2,02 s. Oblicz przyspieszenie rakiety. Przyjmij, że $g = 10 \frac{m}{s^{2}}$ . Wynik podaj z dokładnością do dwóch cyfr znaczących.

a = ............ $\frac{m}{s^{2}}$ .

Oblicz najpierw przyspieszenie grawitacyjne w układzie rakiety $g'$ na podstawie wzoru na okres drgań wahadła matematycznego.

Przyspieszenie grawitacyjne w układzie rakiety $g'$ obliczamy ze wzoru

$\displaystyle T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g'}}\ \Longrightarrow\ g' = \frac{4\pi^2l}{T^2} \approx 12,6\,\text{m/s}^2\ .$

Skoro $g'$ przewyższa $g$ , to przyspieszenie rakiety $a$ musi być skierowane do góry i $g'=g+a$ . Stąd

$a = g' - g \approx 2,6\,\text{m/s}^2\ .$

Ćwiczenie 8

Uczniowie mierzyli przyspieszenie ziemskie za pomocą wahadła matematycznego. Dla trzech długości wahadła zmierzyli oni okres drgań. Poniższa tabela przestawia wyniki pomiarów.

Nr pomiaru	Długość wahadła, $l$ [cm]	Niepewność długości wahadła, $u (l)$ [cm]	Okres, $T$ [s]	Niepewność okresu, $u (T)$ [s]
1	50	1	1,42	0,05
2	100	1	2,00	0,05
3	150	1	2,46	0,05

Uzupełnij dwie ostatnie kolumny tabeli. Wykonując odpowiedni wykres, oblicz maksymalną i minimalną wartość przyspieszenia ziemskiego zgodną z pomiarami uczniów.

Ćwiczenie 9

Poniższy rysunek przedstawia fragment wykresu zależności $T (l) = 2 π \sqrt{\frac{l}{g}}$ (okresu $T$ drgań wahadła matematycznego od jego długości $l$ ).

R1PuYJ8yst1oP

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych, w którym oś pionowa opisuje długość okresu wahadła matematycznego wielka litera T i w nawiasie małą litera s wyrażony w sekundach, a oś pozioma wyraża długość wahadła matematycznego mała litera l i w nawiasie kwadratowym mała liter m wyrażoną w metrach. Na osi pionowej zaznaczono wartości od jeden i siedem dziesiątych do dwóch i dwóch dziesiątych sekundy, co jedną dziesiątą sekundy. Na osi poziomej zaznaczono wartości od osiemdziesięciu pięciu setnych do jednej i piętnastu setnych metra, co pięć setnych metra. W układzie widoczna jest funkcja liniowa narysowana czerwoną prostą. Funkcja rośnie liniowo od wartości jeden i osiemdziesiąt pięć setnych sekundy dla wahadła o długości osiemdziesięciu pięciu setnych metra do wartości dwa i piętnaście setnych sekundy dla wahadła o długości jednego i piętnastu setnych metra. — Źródło: Politechnika Warszawska Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0. Licencja: https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.pl.

Przy pomocy stopera uczniowie zmierzyli okres drgań ciężarka zawieszonego na linkach o trzech różnych długościach. W tym celu zmierzyli czas trwania 10 drgań, a wynik podzielili przez 10. Czas reakcji człowieka wynosi ok. 0,2 s. Oznacza to, że uczeń mógł zarówno włączyć, jak i wyłączyć stoper o 0,2 s za wcześnie lub za późno. Graniczna niepewność pomiarowa długości wahadła została przez uczniów oszacowana na 2 cm.

Poniższa tabela przedstawia wyniki pomiarów. Nanieś je na powyższy wykres (możesz go wydrukować). Nie zapomnij o odcinkach niepewności.

nr pomiaru	długość wahadła, $l$ [cm]	okres wahadła, $T$ [s]
1	90	1,90
2	100	2,02
3	110	2,08

Rozstrzygnij, dla każdego pomiaru oddzielnie, czy jest on zgodny z zależnością, która posłużyła do narysowania wykresu. Uzasadnij każde rozstrzygnięcie.

Pomiar czasu trwania 10 drgań jest obarczony niepewnością graniczną $Δ t = 0, 4 s$ . Oznacza to, że standardowa niepewność pomiarowa takiego pomiaru jest równa

$\displaystyle u(t) = \frac{\Delta t}{\sqrt{3}} = 0,23\,\text{s}\ .$

Wobec tego niepewność pomiaru pojedynczego okresu wynosi

$\displaystyle u(T) = \frac{u(t)}{10} = 0,023\,\text{s}\ .$

W podobny sposób, znając niepewność graniczną pomiaru długości wahadła, można wyznaczyć niepewność standardową tej wielkości:

$\displaystyle u(l) = \frac{\Delta l}{\sqrt{3}} = 1,2\,\text{cm}\ .$

O tym, w jaki sposób niepewności pomiarowe uwzględnia się przy tworzeniu wykresów, możesz przeczytać w e‑materiale pt. Jak prawidłowo konstruować wykresy?

Wykres zależności $T (l)$ z naniesionymi punktami pomiarowymi przedstawiono na poniższym rysunku. Zauważ, że czerwona linia, odpowiadająca zależności teoretycznej, przechodzi w pobliżu punktów pomiarowych i przecinając odcinki ich niepewności. Świadczy to o tym, że wykonane przez uczniów pomiary są wszystkie zgodne z zależnością teoretyczną.

R1crBqbPaIqPs

Wirtualne laboratorium WL‑I

Dla nauczyciela