Wirtualne laboratorium WL‑I

Wyznaczanie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła matematycznego

W dołączonym do tego e‑materiału wirtualnym laboratorium możesz wykonać pomiary, dzięki którym samodzielnie wyznaczysz wartość ziemskiego przyspieszenia grawitacyjnego $g$ . Wykorzystasz przy tym odpowiednio przekształcone wyrażenie

(1) $\displaystyle T=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}\ .$

W tym celu, dla kilku różnych długości wahadła $l$ , zmierzysz czas trwania jednego okresu drgań $T$ . Uzyskane wyniki przedstawisz w postaci wykresu, na którego osi odciętych odłożysz kwadrat zmierzonego okres, zaś na osi rzędnych długość wahadła. Pomiary powinny ułożyć się w pobliżu linii prostej będącej wykresem funkcji:

l (T^{2}) = \frac{g}{4 π^{2}} T^{2}

Analiza wyników rzeczywistego doświadczenia

Zanim rozpoczniesz pracę w Wirtualnym laboratorium, obejrzyj film nagrany podczas pomiarów w pracowni fizycznej. Podczas tego filmu nauczyciel fizyki wykonuje pomiary czasu trwania jednego okresu drgań dla różnych długości wahadła.

Pomiary są wykonywane przy pomocy specjalnie przygotowanego zestawu pomiarowego. Pozwala on regulować długość wahadła. Zawiera także odpowiednik fotokomórki, która reaguje na kolejne przejścia nici przez położenie równowagi. Pomiar $T$ jest automatyczne uruchamiany, a następnie zatrzymywany. Dzięki temu niepewność pomiaru okresu, $u(T)$ , jest rzędu milisekundy i może być pominięta przy graficznej analizie wyników. Jak się przekonasz, w Wirtualnym laboratorium jest inaczej.

Polecenie 1

Podczas oglądania filmu wpisuj we właściwą kolumnę tabeli pomiarów zmierzone okresy drgań $T$ , odpowiadające nastawianym długościom nici wahadła $l_{n}$ . Wartości $T$ zaokrąglij do czterech cyfr znaczących.
Uzupełnij pozostałe dwie kolumny tabeli. Uzasadnij przy tym, że dla uzyskania długości wahadła $l$ należy do $l_n$ dodać $2,5\ \text{cm}$ , a nie $2,503\ \text{cm}$ , czyli dokładnie połowę zmierzonej na filmie średnicy kulki.

Rem6UyaZZyfjB

Źródło: Politechnika Warszawska Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0. Licencja: https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.pl.

R1T7MaJE6SYN2

Wykorzystaj wykonane podczas nagrania pomiary i przygotuj wykres zależności długości wahadła od kwadratu jego okresu.
Do punktów pomiarowych umieszczonych na tym wykresie dopasuj prostą, a następnie oblicz jej współczynnik nachylenia. Czy wiesz, że analizując nachylenie tej prostej można nie tylko wyznaczyć doświadczalnie wartość przyspieszenia grawitacyjnego $g_d$ ? Można też oszacować przedział $(g_{min}, g_{max})$ , w którym rzeczywista wartość $g$ znajduje się „na pewno”, nawet przy uwzględnieniu najmniej korzystnego zbiegu okoliczności. Wykonaj odpowiednie analizy. W razie potrzeby przypomnij sobie procedurę zaproponowaną w części „Przeczytaj”. Na koniec zajrzyj do „Wyjaśnienia”.

Poniżej zamieszczono wykres $l (T^{2})$ , który ilustruje zależność długości wahadła od kwadratu okresu drgań. Punkty pomiarowe zostały na tym wykresie zaznaczone czarnymi kropkami, a czerwona, przechodząca przez początek układu współrzędnych linia jest prostą, która przebiega najbliżej punktów pomiarowych.

R16r2yPwjr8GT

Rys. Zależność teoretyczna i wyniki doświadczalne we współrzędnych długość wahadła - kwadrat okresu. Ciężarek to kulka o promieniu

r = 2,5 cm

a

- wartość współczynnika kierunkowego czerwonej prostej.

Źródło: Politechnika Warszawska Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0. Licencja: https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.pl.

Jeśli dopasujesz prostą za pomocą linijki, to oblicz jej nachylenie konstruując odpowiednik trójkąta prostokątnego. Z dwóch dowolnie wybranych punktów prostej poprowadź dwa odcinki, każdy równoległy do jednej z osi. Nachylenie prostej jest ilorazem długości tych odcinków.

Dla poprowadzenia prostej i obliczenia jej nachylenia możesz także wykorzystać arkusz kalkulacyjny. Tak uzyskany współczynnik nachylenia prostej z rysunku jest równy $a = 0,248 \frac{m}{s^{2}}$ . Mnożąc tę wartość przez $4 π^{2} = 4 \cdot {(3,1416)}^{2} = 39,479$ , dostajemy wartość przyspieszenia ziemskiego równą

$\displaystyle g_d=4\pi^2a\approx\text{9,79 }\frac{\text{m}}{\text{s}^2}\ .$

Ponieważ niepewności pomiarowe: długości wahadła $u (l)$ i kwadratu jego okresu $u (T^{2}) = 2 T u (T)$ , są w tym doświadczeniu zaniedbywalnie małe w porównaniu z wielkością kropek reprezentujących punkty pomiarowe (zob. komentarz poniżej), na wykresie nie umieszczono odcinków niepewności. Z tego powodu nie da się również oszacować granic przedziału $(g_{min}, g_{max})$ , w którym rzeczywista wartość $g$ „na pewno” się znajduje.

Musimy się więc ograniczyć do stwierdzenia, że wyznaczyliśmy przyspieszenie ziemskie z dokładnością do trzech cyfr znaczących. Względne odchylenie $\delta$ naszego wyniku od wartości tablicowej, także zaokrąglonej do trzech cyfr znaczących, jest równe

$\displaystyle \delta=\frac{g-g_d}{g}=\frac{9,81-9,79}{9,81}\approx0,2\%\ .$

Czy takie odchylenie jest uzasadnione niepewnościami pomiaru długości wahadła i okresu jego drgań? W tym przypadku odpowiedź jest twierdząca.

Okresy drgań wahadła, rzędu sekundy‑dwóch, były mierzone z dokładnością do 0,1 ms, czyli ze względną dokładnością nie gorszą niż 0,01%. Niepewność pomiaru czasu nie może więc tłumaczyć tak dużej wartości $\delta$ . Natomiast długości wahadła, z zakresu 40‑90 cm, były mierzone z dokładnością do 0,5 cm. Względna dokładność takiego pomiaru jest więc rzędu 1%. Widzimy zatem, że odchylenie wartości uzyskanej doświadczalnie od wartości tablicowej może wynikać z niepewności pomiaru długości wahadła.

Komentarz dotyczący niepewności pomiarowych:

Pomiary okresu wahadła są wykonywane przy pomocy specjalnie przygotowanego zestawu pomiarowego, dzięki czemu (inaczej niż w wirtualnym laboratorium) niepewność pomiaru czasu $u (T)$ można zaniedbać w porównaniu z rozmiarem punktu pomiarowego na wykresie. Ponieważ $u (T) \approx 0$ , wynika stąd, że można również przyjąć $u (T^{2}) = 2 T u (T) = 0$ .

W wirtualnym laboratorium pomiar czasu wykonywany jest przy pomocy stopera. W takiej sytuacji największy wkład do niepewności ma czas reakcji osoby wykonującej pomiar, który ocenia się na ok. 0,2 s, licząc na każde kliknięcie stopera.

Niepewność pomiaru długości wahadła $u (l)$ również można zaniedbać. Niepewność ta jest sumą niepewności pomiaru długości nici $u (l_{n})$ i niepewności pomiaru promienia kulki $u (r)$ , będącej obciążnikiem wahadła. Pomiar promienia kulki jest wykonywany suwmiarką, której dokładność jest znaczenie większa od dokładności linijki, użytej przy pomiarze długości nici. Niepewność $u (r)$ można zatem zaniedbać w porównaniu z niepewnością $u (l_{n})$ . Niepewność pomiaru długości nici jest natomiast równa $u (l_{n}) = \frac{Δ l_{n}}{\sqrt{3}} ≃ 0, 3 cm.$ Wielkość $Δ l_{n} = 0, 5 cm$ jest niepewnością graniczną linijki, którą oszacowaliśmy na podstawie komunikatów osoby wykonującej doświadczenie. Każdy odczyt długości nici był zaokrąglany do tej wartości. Wartość $u (l) = u (l_{n}) = 0, 3 cm$ jest również zaniedbywalnie mała w porównaniu z rozmiarem punktu pomiarowego na wykresie $l (T^{2})$ .

Doświadczenie 1

Graficzna analiza wyników

Problem badawczy

Celem eksperymentu jest zebranie danych i, na podstawie graficznej analizy związku pomiędzy kwadratem okresu drgań $T^{2}$ wahadła matematycznego i jego długością $l$ , wyznaczenie wartości przyspieszenia ziemskiego $g$ .

Hipoteza

Zależność $T^{2}(l)$ ma postać funkcji liniowej, której współczynnik kierunkowy $a$ jest proporcjonalny do wartości przyspieszenia ziemskiego $g$ .

Co będzie potrzebne

Wykorzystaj wyposażenie Wirtualnego laboratorium.

Ćwiczenie 1

Porównaj wyposażenie laboratorium wirtualnego z wyposażeniem stanowiska pomiarowego laboratorium pokazanego w filmie.

RuKDOYeKCzpZh

Uzupełnij notatkę o podobieństwach i różnicach w wyposażeniu tych laboratoriów. 1. Kątomierz:
występuje w obu laboratoriach i ma jednakową rozdzielczość
nie występuje w laboratorium, a w laboratorium wirtualnym jest nieużywany
nie występuje w laboratorium wirtualnym, a w laboratorium jest nieużywany
nie występuje w żadnym z laboratoriów

2. Elektroniczny stoper ma rozdzielczość:
jednakową w obu laboratoriach
wyższą w laboratorium
wyższą w laboratorium wirtualnym.

3. Udział człowieka i jego wpływ na niepewność pomiaru (chodzi o tzw. czynnik ludzki)

a) w nastawieniu długości wahadła jest:

porównywalny w obu laboratoriach

istotniejszy w laboratorium

istotniejszy w laboratorium wirtualnym.

b) w pomiarze okresu drgań jest:

porównywalny w obu laboratoriach

istotniejszy w laboratorium

istotniejszy w laboratorium wirtualnym.

Omów pokrótce wpływ stwierdzonych różnic w wyposażeniu na rozstrzygnięcie hipotezy. Zapisz swoją wypowiedź w Dzienniku pomiarów.

Instrukcja

Postępuj zgodnie z instrukcją zaproponowaną w Laboratorium.

Polecenie 2

Wybierz wartość $n$ - liczby pełnych okresów drgań wahadła, po których zatrzymasz stoper i odczytasz czas $t$ .
Przeprowadź pomiar okresu drgań $T$ dla co najmniej dziesięciu różnych długości wahadła $l$ , w miarę równomiernie rozłożonych w przedziale dostępnym w Wirtualnym laboratorium.
Wyniki wpisz do Tabeli pomiarów. Zawiera ona dodatkowe kolumny, które wykorzystasz podczas opracowywania uzyskanych wyników.

RKUXhpAK4TzSf

R12sejR0wKw9n

Opracowanie wyników

Podsumowanie

Polecenie 3

Niepewność $u(l)$

Zastosuj podane w instrukcji Wirtualnego laboratorium postępowanie prowadzące do wyznaczenia niepewności pomiaru długości wahadła $u(l)$ . Wyniki wpisz w odpowiednią kolumnę Tabeli.

Niepewność $u(T)$

Przeanalizuj zaproponowaną w instrukcji propozycję określenia niepewności standardowej $u(t)$ pomiaru czasu trwania $n$ okresów drgań wahadła. Jeśli zgadzasz się z przedstawioną tam oceną, uzupełnij kolumny $u(t)$ oraz $u(T)$ w Tabeli zgodnie z tą propozycją.

W przeciwnym razie oszacuj tę niepewność zgodnie z własną wiedzą i doświadczeniem, a odpowiednie kolumny uzupełnij zgodnie z dokonaną oceną. Swoje rozumowanie przedstaw w Dzienniku pomiarów.

Kwadrat okresu drgań i jego niepewność $u(T^2)$

Kwadrat okresu $T^2$ jest wielkością mierzoną pośrednio. Jest on wyrażony jako kwadrat wielkości mierzonej bezpośrednio - okresu drgań $T$ . Niepewności pomiaru wszystkich okresów $u(T)$ są jednakowe.
Wyznacz niepewność pomiaru $u(T^2)$ dla każdego okresu, zgodnie z zasadami opisanymi w e‑materiale „Niepewność wielkości mierzonej pośrednio”. Zwróć uwagę na sekcję „Dla zainteresowanych” na końcu części „Przeczytaj”. W punkcie drugim podano gotowe wyrażenie, które możesz bezpośrednio zastosować.

$u(T^2)=2T\cdot u(T)\ .$

Wpisz do Tabeli wartości $T^2$ oraz $u(T^2)$ .

Punkty pomiarowe na wykresie $l(T^2)$

Przygotuj odpowiednio wyskalowane osie dla wykresu zależności $l(T^2)$ i nanieś na nim punkty pomiarowe.

Rozważ celowość naniesienia, dla każdego punktu, odcinków niepewności pomiaru długości wahadła oraz, niezależnie, odcinków niepewności pomiaru kwadratu okresu. Zapisz swoją decyzję wraz z krótkim uzasadnieniem w Dzienniku pomiarów.

Prosta najlepiej dopasowana

Na przygotowany rysunek nanieś linię prostą, którą uznajesz za najlepiej pasującą do punktów pomiarowych. Zastosuj procedurę opisaną w części „Przeczytaj”. Zwróć uwagę, że prosta najlepiej dopasowana powinna przechodzić przez punkt (0; 0) wykresu.

W razie potrzeby przypomnij sobie tę problematykę, przedstawioną w e‑materiałach „Jak dopasować prostą do wyników pomiarów?” i „W jakim celu dopasowuje się prostą do wyników pomiarów i jakie informacje można w ten sposób uzyskać?”.

Nachylenie dopasowanej prostej i wartość przyspieszenia ziemskiego

Wyznacz nachylenie dopasowanej przez siebie prostej - oblicz wartość jej współczynnika kierunkowego $a$ .

Na tej podstawie oblicz wartość przyspieszenia ziemskiego $g_d$ wyznaczoną w doświadczeniu.

Skrajne dopuszczalne wartości przyspieszenia ziemskiego

Oceń, czy niepewności punktów pomiarowych pozwalają na poprowadzenie dwóch prostych „skrajnych” i na zastosowanie procedury zaproponowanej w części „Przeczytaj”. Jeśli jest to możliwe, określ granice $g_{\min}$ i $g_{\max}$ przedziału, w którym rzeczywista (tablicowa) wartość $g$ zawiera się niemal „na pewno”.

W przeciwnym razie określ względne odchylenie $\delta$ uzyskanej wartości $g_d$ od wartości rzeczywistej $g$ ,

$\displaystyle \delta=\frac{|g-g_d|}{g}\ .$

Analiza wyników i wnioski

Skomentuj uzyskany wynik. Rozstrzygnij hipotezę badawczą. Swoją argumentację zapisz w Dzienniku pomiarów.

Doświadczenie 2

Dla zainteresowanych

Numeryczna analiza wyników

Problem badawczy

Celem eksperymentu jest pomiar okresu drgań wahadła matematycznego $T$ dla różnych jego długości $l$ i poddanie numerycznej analizie wartości ilorazów $\frac{4\pi^2l}{T^2}$ .

Hipoteza

a) Wartości ilorazów $\frac{4\pi^2l}{T^2}$ są na tyle zbliżone, że można je uznać za jednakowe.
b) Średnia ważona tych wartości jest równa wartości przyspieszenia ziemskiego.

Co będzie potrzebne

Wykorzystaj wyposażenie Wirtualnego laboratorium.

Instrukcja

Możesz wykorzystać wyniki pomiarów przeprowadzonych w doświadczeniu 1. Przydatne byłoby jednak uzyskanie większej liczby wyników - rzędu 20‑30. Możesz przeprowadzić dodatkowe pomiary we własnym zakresie. Lepszym pomysłem będzie zmotywowanie grupy koleżanek lub kolegów do wspólnego opracowania pomiarów, wykonanych oddzielnie przez każdego członka grupy. W tym ostatnim przypadku:
- Niech każdy uczestnik zmierzy kilkakrotnie okres drgań wahadła w całym zakresie dostępnych długości; zestawy długości przydzielonych poszczególnym uczestnikom powinny się nieco różnić.
- Wybierzcie jednakową dla wszystkich wartość $n$ - liczby pełnych okresów drgań wahadła, po których mierzący zatrzymuje stoper i odczytuje czas $t$ . Wymóg ten nie jest jednak bezwzględny.
- Zastosujcie wszyscy podane w instrukcji Wirtualnego laboratorium postępowanie prowadzące do wyznaczenia niepewności pomiaru długości wahadła $u(l)$ podane w instrukcji Wirtualnego laboratorium.
- Przedyskutujcie problem ustalania niepewności pomiaru okresu $u(T)$ i przyjmijcie jednakowe zasady postępowania.

R12sejR0wKw9n

Polecenie 4

Każdy oblicza, dla każdego swojego pomiaru, wartość przyspieszenia ziemskiego $g$ zgodnie z przekształconym wyrażeniem (1):

$\displaystyle g=\frac{4\pi^2l}{T^2}\ .$

Dla każdej wartości należy obliczyć niepewność $u(g)$ ; pamiętać przy tym należy, że $g$ jest wielkością mierzoną pośrednio. Pomocne może być przypomnienie sobie e‑materiału „Niepewność wielkości mierzonej pośrednio”. Podczas obliczeń zwróćcie uwagę, czy udziały obu zmiennych, $l$ i $T$ , w niepewności $u(g)$ są porównywalne, czy też któraś z nich ma udział dominujący. Tę informację wykorzystacie w Podsumowaniu.
Każdy uczestnik przygotowuje i wpisuje własny zbiór danych do wspólnej Tabeli wyników.

RdhRUpgovjfkP

Podsumowanie

Polecenie 5

Obliczcie $g_{śr}$ - średnią ważoną uzyskanych wartości $g$ .

Ważne!

Co to jest średnia ważona? Jest to procedura uśredniania, która pozwala uwzględnić, że zmierzone wartości $g$ wpływają na wartość średnią w różnym stopniu. W przypadku, z którym macie do czynienia, nie należy obliczać średniej arytmetycznej wyników, lecz właśnie ich średnią ważoną.
Jaki jest tego powód? Poszczególne wartości $g$ nie są jednakowo wiarygodne ze względu na różne niepewności ich pomiaru. Te wartości, których niepewność jest mniejsza są bardziej wiarygodne od tych o niepewności większej.
Jak uzyskać takie zróżnicowanie wpływu na średnią? Przyjrzyjmy się znanemu wyrażeniu na średnią arytmetyczną i rozbudujmy nieco jego zapis.

$\displaystyle g_{śr}=\frac{g_1+g_2+\ldots+g_N}{N}=\frac{1\cdot g_1+1\cdot g_2+\ldots +1\cdot g_N}{1+1+\ldots+1}\ .$

Symbolem $N$ oznaczamy łączną liczbę pomiarów wykonanych przez uczestników; jest to także liczba jedynek sumowanych w mianowniku ostatniego ilorazu. To wyrażenie oznacza, że każdemu wynikowi przypisujemy jednakowy wpływ na wartość średnią, czyli jednakowe wagi $w_1=w_2=\ldots=w_N=1$ . Jeżeli chcemy, by wagi były różne, to wystarczy użyć do obliczeń takiego wyrażenia:

$\displaystyle g_{śr}=\frac{w_1\cdot g_1+w_2\cdot g_2+\ldots+w_N\cdot g_N}{w_1+w_2+\ldots+w_N}\ .$

Jak wyrazić wagi dla poszczególnych pomiarów? Typowe postępowanie polega na przypisaniu poszczególnym uśrednianym wartościom $g_1,g_2,\dots,g_N$ wag $w_i=\frac{1}{u(g_i)}$ , odwrotnie proporcjonalnych do niepewności pomiaru danej wartości.
Jaka jest ostateczna postać wyrażenia? Średnia ważona $g_{śr}$ jest dana wyrażeniem:

$\displaystyle g_{śr}=\frac{\frac{1}{u(g_1)}\cdot g_1+\frac{1}{u(g_2)}\cdot g_2+\ldots+\frac{1}{u(g_N)}\cdot g_N}{\frac{1}{u(g_1)}+\frac{1}{u(g_2)}+\ldots+\frac{1}{u(g_N)}}\ .$

Tak obliczoną wartość wpiszcie do Tabeli wyników.

Dla każdej wartości $g_i$ obliczcie jej odchylenie $|g_i-g_{śr}|$ od wartości $g_{śr}$ i wpiszcie do ostatniej kolumny Tabeli.
Porównajcie to odchylenie z niepewnością pomiaru tej wartości. Podzielcie wyniki na trzy kategorie o roboczych nazwach:

wyniki „bliskie” średniej, gdy $|g_i-g_{śr}|\leqslant u(g_i)$ ;
wyniki „niezbyt odległe” od średniej, gdy $u(g_i)$ ;
wyniki „dalekie” od średniej, gdy $|g_i-g_{śr}|>2u(g_i)$ .

Na podstawie liczebności tych kategorii oceńcie, w sposób jakościowy, na ile wiarygodny jest punkt a) postawionej hipotezy. Zapiszcie swoje rozumowanie i wnioski w Dzienniku pomiarów, w przygotowanym polu. Zapiszcie tam także ewentualne zdania odrębne, wraz z ich krótkim uzasadnieniem.
Obliczcie niepewność $u(g_{śr})$ , stosując wyrażenie

(2) $\displaystyle u(g_{śr})=\sqrt{\frac{(g_{śr}-g_1)^2+(g_{śr}-g_2)^2+\ldots+(g_{śr}-g_N)^2}{N(N-1)}}\ .$

Rozstrzygnijcie jakościowo punkt b) hipotezy badawczej.

Ważne!

Obliczona zgodnie z wyrażeniem (2) niepewność nie jest - ściśle rzecz biorąc - niepewnością standardową. Wykorzystane wyrażenie pozwala bowiem obliczyć niepewność standardową serii niezależnych pomiarów wielkości mierzonej bezpośrednio. W Waszym eksperymencie uśredniane wielkości zostały zmierzone wprawdzie niezależnie, ale pośrednio.

Niezależnie jednak od tego, niepewność ta pozwala wyrobić sobie pogląd o możliwym typowym odchyleniu wyniku od wartości prawdziwej (tablicowej) mierzonej wielkości. Może więc służyć do formułowania wniosków jakościowych.

Ćwiczenie 2

Nie ulega wątpliwości, że potwierdzenie punktu a) hipotezy jest tym bardziej wiarygodne, im mniejsza niepewność pomiaru $u(g_i)$ każdej z wartości przyspieszenia ziemskiego. Porównajcie udziały w tej niepewności, $u_l(g_i)$ oraz $u_T(g_i)$ , pochodzące od każdej z bezpośrednio mierzonych wielkości.

Zaproponujcie i opiszcie, w przygotowanym do tego polu Dziennika pomiarów, alternatywne wyposażenie Wirtualnego laboratorium, które pozwoliłoby zmniejszyć przyczynek do niepewności od tej zmiennej, dla której jest on dominujący.

Doświadczalne wyznaczanie przyspieszenia ziemskiego

Ula i Witek, uczniowie szkoły średniej, badali zależność okresu drgań $T$ wahadła matematycznego od jego długości $l$ (przypomnij sobie e‑materiał „Czy okres drgań wahadła matematycznego jest zależny od długości wahadła?”). Na jednej z kolejnych lekcji omówiony został problem wyznaczenia wartości przyspieszenia ziemskiego $g$ metodą pomiaru długości wahadła oraz okresu drgań. Zalecone zostało wykorzystanie wyrażenia wiążącego te dwie wielkości:

$T(l)=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

by w ramach pracy domowej, w dwuosobowych grupach, dokonać pomiaru $g.$ Grupy miały swobodę wykorzystania bądź filmu, na którym pokazano eksperyment sfilmowany w pracowni bądź symulacji w ramach Wirtualnego laboratorium.

Ambitni badacze postanowili wykorzystać oba media i porównać ich możliwości. Sformułowali więc dwa problemy badawcze:
(a) Które z doświadczeń zapewni wyznaczenie wartości przyspieszenia ziemskiego zgodnego z wartością tablicową $g_w=9,806\ \frac{m}{s^2}?$
(b) Które z doświadczeń zapewni wyznaczenie wartości przyspieszenia ziemskiego z możliwie małą niepewnością standardową $u(g)?$

I. Planowanie pomiarów.
Niepewność pomiarowa wielkości mierzonych bezpośrednio

Przyspieszenie ziemskie jest w takim doświadczeniu wielkością mierzoną pośrednio, na podstawie dwóch wielkości mierzonych bezpośrednio (w razie potrzeby przypomnij sobie te pojęcia w e‑materiale „Niepewność wielkości mierzonej pośrednio”), długości wahadła i okresu jego drgań:

$g=4\pi^2\frac{l}{T^2}$

Nasza grupa rozpoczęła więc planowanie pomiarów w Wirtualnym laboratorium oraz interpretacji wyników obu eksperymentów od zapoznania się z aparaturą i zgrubnego oszacowania niepewności pomiaru wielkości mierzonych bezpośrednio, jaką można osiągnąć w każdym z nich.

Eksperyment sfilmowany w pracowni fizycznej

Rem6UyaZZyfjB

Niepewność

Badacze określili graniczną niepewność pomiaru długości wahadła $\Delta l_f$ oraz okresu drgań $\Delta T_f$ . Zastosowali regułę opisaną w e‑materiale „Niepewność całkowita”. Dla obu tych wielkości dokonywany jest w filmie jeden pomiar.

Niepewność graniczna pomiaru długości nici

Ula i Witek uznali, że niepewność graniczna długości nici jest równa pół centymetra. Utożsamili ją z rozdzielczością użytej w filmie linijki, którą oszacowali na podstawie komunikatów osoby wykonującej doświadczenie. Zauważyli, że każdy odczyt długości nici był zaokrąglany do połowy lub do całego centymetra.

Stwierdzili również, że pomiar średnicy kulki został dokonany z dokładnością do jednej dziesiątej milimetra. Tak więc niepewność związana z tym pomiarem jest pomijalna wobec jednej drugiej centymetra. Uzasadnia to utożsamienie obu niepewności pomiaru, długości nici i długości wahadła i przypisania im niepewności granicznej $\Delta l_f=0,5\text{ cm.}$

Niepewność graniczna pomiaru okresu drgań

Z kolei niepewność graniczna $\Delta T_f$ jest powiązana z rozdzielczością użytego przyrządu, która jest równa jednej dziesiątej milisekundy. W filmie nie podano żadnej innej informacji o dokładności przyrządu ani o jego działaniu. Ula i Witek uznali więc, że $\Delta T_f=0,0002 \text{ s}$ , gdyż pomiar polega na uruchomieniu stopera i na jego zatrzymaniu.

Ważne!

Wynik jest uprawniony, gdyż człowiek nie bierze bezpośredniego udziału w pomiarze okresu drgań. Uwzględnia się więc jedynie coś w rodzaju „refleksu” aparatury.

Polecenie 1

R127cgNHn6x5o

Względne niepewności pomiaru wielkości mierzonych w filmie są najmniejsze, gdy obie mierzone wartości są największe:

$\frac{\Delta l_f}{l_f}_{\text{(max)}}=\frac{0,005}{0,9}\approx0,6\%$

$\frac{\Delta T_f}{T_f}_{\text{(max)}}=\frac{0,0002}{1,9033}\approx0,01\%$

Zatem dokładność pomiaru długości jest kilkadziesiąt razy gorsza niż dokładność pomiaru okresu drgań. Zbadaj we własnym zakresie, czy uzyskuje się podobne rozstrzygnięcie dla najmniejszych wartości długości oraz okresu pokazanych w filmie.

Wniosek

Można śmiało przypuszczać, że niepewność pomiaru długości wahadła będzie miała dominujący wpływ na niepewność uzyskanej wartości $g,$ zaś udział niepewności pomiaru okresu może okazać się pomijalny. Takie przypuszczenie trzeba jednak zweryfikować, przeprowadzając formalne obliczenie udziałów niepewności pochodzących od każdej z tych wielkości, zgodnie z postępowaniem przedstawionym w e=materiale „Niepewność wielkości mierzonej pośrednio”.

Wirtualne laboratorium

Opis wirtualnego laboratorium

Na ekranie widoczna jest sala ze stołem laboratoryjnym. Na stole z ciemnoniebieskim blatem leży postawiona pionowo szpula, na którą nawinięta jest granatowa nitka. Koniec nici rozwinięty ze szpuli biegnie w prawo i w górę do haku przymocowanego do sufitu. Nić jest przewieszona przez ten hak, ostatni jej odcinek zwisa pionowo, a na końcu nitki umocowany jest szary cylindryczny ciężarek. Całość jest wahadłem, które można złapać myszką za ciężarek, odchylić od położenia równowagi o maksymalny kąt około trzydziestu stopni i puścić. Wahadło wykonuje wtedy drgania. Obok wahadła widoczna jest niebieska linijka, ustawiona pionowo, z zerem u góry. Jest ona wyskalowana od zera do dwóch metrów z podziałką drobną co pięć centymetrów. Dłuższe znaczniki, co jedna druga metra, są opisane. Linijkę można przesuwać po laboratorium, przy pomocy myszki, zarówno w prawo i lewo jak w górę i dół. Ciągnąc myszką za pochyłą część nici można rozwijać lub nawijać ją na szpulę, co skutkuje zmianą długości wahadła. Zakres tych zmian obejmuje długości od jednej drugiej metra do dwóch metrów, co można zmierzyć za pomocą linijki po odpowiednim jej ustawieniu. Blisko prawego brzegu stołu stoi elektroniczny stoper z dwoma guzikami sterującymi i widoczną sześciocyfrową skalą. Dwie pierwsze cyfry służą do wyświetlania minut, dwie kolejne do wyświetlania sekund a dwie ostatnie do wyświetlania setnych części sekundy. Lewy, zielony guzik włącza lub wyłącza stoper; prawy czerwony guzik zeruje jego wskazania. Przycisk opisany symbolem znaku zapytania w lewym górnym rogu ekranu wyświetla instrukcję postępowania; przycisk „RESET” w lewym dolnym rogu ekranu przywraca stan wyjściowy Wirtualnego laboratorium.

Niepewność

Podobnie jak w przypadku doświadczenia sfilmowanego Ula i Witek oszacowali graniczne niepewności pomiaru długości wahadła $\Delta l_w$ oraz okresu drgań $\Delta T_w$ . Zaczęli od reguły opisanej w e‑materiale „Niepewność całkowita”.

Niepewność graniczna pomiaru długości wahadła

Eksperymentatorzy określili niepewność graniczną długości wahadła na pięć centymetrów. Jest to rozdzielczość linijki dostępnej w Wirtualnym laboratorium. Wynik ten nieco rozczarował badaczy. Oznaczał on, że względna niepewność pomiaru długości wahadła $\frac{\Delta l_w}{l_w}$ , nawet dla najdłuższej wartości $l_w=2\text{ m},$ musi być równa $2,5\%.$ To silnie ogranicza dokładność wyznaczenia przyspieszenia ziemskiego $g.$

Niepewność graniczna pomiaru okresu drgań

Ula i Witek przypomnieli sobie procedurę pomiaru opisaną w e‑materiale „Czy okres drgań wahadła matematycznego jest zależny od długości wahadła?” Postanowili wykonać pomiar czasu trwania $t$ takiej liczby okresów drgania wahadła $n,$ by względna niepewność graniczna $\frac{\Delta T_w}{T_w}$ była co najmniej o rząd wielkości mniejsza od względnej niepewności granicznej pomiaru największej długości wahadła dostępnej w Wirtualnym laboratorium. W ten sposób można uzyskać podobny efekt do tego w pomiarze sfilmowanym, gdzie niepewność związana z długością wahadła zdecydowanie dominuje nad niepewnością związaną z pomiarem okresu drgań.

Polecenie 2

RqzcASoC9hfNQ

Oblicz okres $T_w$ dla wahadła dwumetrowego. Uwzględnij, że względna niepewność $\frac{\Delta l_w}{l_w}$ dla takiego wahadła to $2,5\%.$ zaś graniczna niepewność ręcznego pomiaru dowolnego czasu to około $0,4 \text{ s.}$

Zapisz dwie zasadnicze informacje o organizacji pomiarów w postaci równań:

$\Delta T_w=\frac{\Delta t}{n}$

$\frac{\Delta T_w}{T_w}= 0,0025$

Wyznacz z tego układu $n.$

Po wyeliminowaniu niepewności $\Delta T_w$ z obu przytoczonych równań i wyrażeniu liczby okresów $n$ uzyskasz związek:

$n=\frac{\Delta t}{0,0025\cdot T_w}$

Po oszacowaniu $T_w \approx 2,8 \text{ s,}$ wstawieniu danych i zaokrągleniu do liczby całkowitej otrzymujesz

$n=57$

Jest to minimalna wartość $n$ , więc przyjęcie $n=60$ jest całkowicie dopuszczalne.

II. Pomiary, ich prezentacja i opracowanie.
Interpretacja wyników

Wirtualne laboratorium

Ula i Witek ustawili w Wirtualnym laboratorium długość wahadła na dwa metry, z graniczną niepewnością $\Delta l=0,05 \text{ m.}$ Zmierzyli czas trwania 60 okresów drgań. Uzyskali wynik dwie minuty, pięćdziesiąt i pięć setnych sekundy, czyli sto siedemdziesiąt sekund i pięć setnych sekundy. Niepewność graniczna tego pomiaru to $\Delta t=0,4 \text{ s.}$ . Na tej podstawie sporządzili tabelę, w której za pomocą arkusza kalkulacyjnego obliczyli wartość przyspieszenia ziemskiego $g$ oraz jej standardową niepewność $u(g).$

Badanie 1

Tabela zawiera także wszystkie wielkości pośrednie, niezbędne do przeprowadzenia obliczeń – niepewności standardowe długości wahadła $u(l)$ i okresu drgań $u(T)$ oraz udziały tych zmiennych (odpowiednio $u_l(g)$ i $u_T(g)$ w niepewności $u(g).$ W drugiej kolumnie podana jest liczba cyfr znaczących, do jakiej zaokrąglony został każdy wynik.

Polecenie 3

Uzupełnij tabelę wyników pomiaru w Wirtualnym laboratorium. Opracuj te wyniki - wpisz obliczone wartości do odpowiednich komórek.

REKNbOVQ17OJ4

Wynik pomiaru należy zaokrąglić. Niepewność $u(g)$ została już prawidłowo zaokrąglona - do dwóch cyfr znaczących - już w tabeli. Wartość zaokrąglamy tak, by dwie ostatnie cyfry znaczące były na tych samych miejscach dziesiętnych, co cyfry niepewności:

$g=9,83(0,14)\ \frac{\text{m}}{\text{s}^2}$

Eksperyment w pracowni fizycznej

Badanie 2

Ula i Witek opracowali tabelę, w której za pomocą arkusza kalkulacyjnego obliczyli wartość przyspieszenia ziemskiego $g$ oraz jej standardową niepewność $u(g)$ wyznaczonego na podstawie każdego z ośmiu pomiarów pokazanych w filmie. Skrócone ich opracowanie przedstawia tabela.
Zwróć uwagę na sposób zaokrąglenia wartości przyspieszenia ziemskiego oraz niepewności pomiaru.

R1V3V5qST4PN6

Polecenie 4

Opracuj w szczegółach dowolny spośród pomiarów zawartych w tabeli. Oblicz niepewności standardowe wielkości mierzonych bezpośrednio. Skorzystaj z rozstrzygnięć poczynionych w częściach „Niepewność graniczna pomiaru długości nici” oraz „Niepewność graniczna pomiaru okresu drgań”. Oblicz następnie udziały niepewności tych wielkości w całkowitej niepewności standardowej pomiaru przyspieszenia ziemskiego. Czy Twoje wyniki są spójne z przedstawioną tabelą?

Podsumowanie

Polecenie 5

Przypomnij sobie sformułowane przez Ulę i Witka dwa problemy badawcze. Uzupełnij notatkę podsumowującą i porównującą wyniki obu badań.

R25CKQ136UQsq

Wskaż najbardziej trafne uzupełnienia w notatce. Badanie (a) dotyczyło zgodności wyniku z tablicową wartością

g_{w} = 9,806 \frac{m}{s^{2}}

, czyli problematyki dokładnościprecyzji pomiaru.
Należy uznać, że oba wyniki są zgodne tylko wynik z pracowni jest zgodny tylko wynik z Wirtualnego laboratorium jest zgodny żaden z wyników nie jest zgodny z wartością tablicową przyspieszenia ziemskiego.
Badanie (b) dotyczyło porównania niepewności uzyskanego wyniku, czyli problematyki dokładnościprecyzji pomiaru.
Należy uznać, że
precyzje obu wyników są porównywalne. wynik z pracowni jest bardziej precyzyjny.
wynik z Wirtualnego laboratorium jest bardziej precyzyjny.

Problem (a) dotyczy dokładności pomiaru, która ocenia stopień zgodności między wynikiem pomiaru a wartością uznaną za wzorzec wielkości mierzonej. Wynik uzyskany w Wirtualnym laboratorium różni się od wyniku wzorcowego o mniej niż trzy setne metra na sekundę kwadrat, podczas gdy standardowa niepewność pomiaru jest równa czternaście setnych metra na sekundę kwadrat. W sfilmowanym doświadczeniu wyznaczonych zostało osiem wartości $g.$ W sześciu przypadkach uzyskany wynik różni się od wzorcowego o mniej niż niepewność standardowa pomiaru. W dwóch przypadkach (pomiary 2 i 6) różnica ta jest mniejsza od dwukrotności standardowej niepewności. Te argumenty przemawiają za uznaniem wyników w obu pomiarach za zgodne z wzorcem.

Problem (b) dotyczy precyzji pomiaru, której możliwą miarą jest względna niepewność standardowa jego wyniku. W tym obszarze łatwo stwierdzić różnicę: pomiar w Wirtualnym laboratorium ma niepewność względną (1,5%) kilkakrotnie większą od przeciętnej w eksperymencie filmowanym (od 0,3% do 0,7%). Zatem ten drugi pomiar jest bardziej precyzyjny.

Przeczytaj

Sprawdź się

Wyznaczanie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła matematycznego

Analiza wyników rzeczywistego doświadczenia

Doświadczalne wyznaczanie przyspieszenia ziemskiego

I. Planowanie pomiarów. Niepewność pomiarowa wielkości mierzonych bezpośrednio

Eksperyment sfilmowany w pracowni fizycznej

Niepewność

Niepewność graniczna pomiaru długości nici

Niepewność graniczna pomiaru okresu drgań

Wniosek

Wirtualne laboratorium

Opis wirtualnego laboratorium

Niepewność

Niepewność graniczna pomiaru długości wahadła

Niepewność graniczna pomiaru okresu drgań

II. Pomiary, ich prezentacja i opracowanie. Interpretacja wyników

Wirtualne laboratorium

Eksperyment w pracowni fizycznej

Podsumowanie

I. Planowanie pomiarów.
Niepewność pomiarowa wielkości mierzonych bezpośrednio

II. Pomiary, ich prezentacja i opracowanie.
Interpretacja wyników