Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

RY3Cwydxd0iTO1

Ćwiczenie 1

Ćwiczenie 2

R1JAbz4FIWMok

R1PhPqVPJdSVo

Ćwiczenie 3

Jakie jest pole trapezu równoramiennego $A B C D$ o wymiarach jak na poniższym rysunku?

R14WvZOnryupo

Ilustracja przedstawia trapez równoramienny A B C D, w którym górna podstawa C D ma długość 5, dolna A B ma długość dwadzieścia. Przekątne przecinają się w punkcie O w taki sposób, że odcinek B O ma długość 12, a O D ma długość trzy.

RpOQZxbFeT7QL

RM2TXf4AWaild2

Ćwiczenie 4

RajCHoUmzB9UC2

Ćwiczenie 5

Ćwiczenie 6

Oblicz pole trapezu równoramiennego $A B C D$ , którego krótsza podstawa $C D$ ma długość $8 cm$ , ramiona mają długość $6 cm$ , a kąt ostry tego trapezu ma miarę $45 °$ .

Oznaczmy przez $D_{1}$ i $C_{1}$ spodki wysokości opuszczonych odpowiednio z wierzchołków $D$ i $C$ .

R1aj6w4JoPFBp

Ilustracja przedstawia trapez równoramienny ABCD o krótszej podstawie CD o długości 8 oraz ramionach AD i CB o długości sześć. Kąt przy podstawie ma miarę 45 stopni. Wysokości to odcinki D D indeks dolny 1 koniec indeksu oraz C indeks dolny 1 koniec indeksu.

Zauważmy, że trójkąty $A D D_{1}$ i $B C C_{1}$ są równoramienne, ponieważ

$|∢ D A B| = |∢ A D D_{1}| = |∢ A B C| = |∢ B C C_{1}| = 45 °$ ,

a zatem $|A D_{1}| = |D D_{1}| = |B C_{1}|$ . Wykorzystując wzór na długość przekątnej kwadratu mamy

$|D D_{1}| \sqrt{2} = 6$ ,

skąd otrzymujemy $|D D_{1}| = 3 \sqrt{2}$ .

Aby obliczyć pole potrzebujemy jeszcze znać długość dłuższej podstawy,

$|A B| = |A D_{1}| + |D_{1} C_{1}| + |C_{1} B| = 3 \sqrt{2} + 8 + 3 \sqrt{2} = 8 + 6 \sqrt{2}$ .

Ostatecznie, pole trapezu wynosi

$P = \frac{(|A B| + |C D|) \cdot |D D_{1}|}{2} = \frac{(8 + 8 + 6 \sqrt{2}) \cdot 3 \sqrt{2}}{2} = (24 \sqrt{2} + 18) {cm}^{2}$ .

Ćwiczenie 7

W trapezie $A B C D$ dłuższa podstawa $A B$ ma długość $9 \sqrt{3}$ . Przekątna $A C$ ma długość $12$ i zawiera się w dwusiecznej kąta $D A B$ . Kąt $C A D$ ma miarę $30 °$ Oblicz pole tego trapezu.

Przyjmujemy oznaczenia jak na rysunku:

RDieBrITwjXYG

Ilustracja przedstawia trapez ABCD o podstawach AB 93 oraz CD o długości a. Ramiona mają długości c i d. Przekątna AC dzieli kąt przy wierzchołku A na dwa kąty o mierze 30 stopni. Przekątna ma długość dwanaście.

Przekątna $A C$ zawiera się w dwusiecznej kąta $D A B$ , zatem kąt $D A B$ ma miarę $60 °$ oraz kąt $A D C$ ma miarę $120 °$ .

Stąd $|∢ A C D| = 30 °$ , co oznacza, że $a = c$ .

Z twierdzenia cosinusów dla trójkąta $A C D$ :

$12^{2} = a^{2} + a^{2} - 2 \cdot a \cdot a \cdot \cos 120 °$

$144 = 2 a^{2} + 2 a^{2} \cdot \cos 60 °$

$2 a^{2} + 2 a^{2} \cdot \frac{1}{2} = 144$

$3 a^{2} = 144$

$a^{2} = 48$

$a = 4 \sqrt{3}$

Narysujemy wysokość opuszczoną z wierzchołka $C$ :

R1Rw98ROzpGcS

Ilustracja przedstawia trapez ABCD o podstawach AB 93 oraz CD o długości 43. Ramiona mają długości c i d. Przekątna AC dzieli kąt przy wierzchołku A na dwa kąty o mierze 30 stopni. Przekątna ma długość dwanaście. Zaznaczono wysokość CE o długości h.

Zauważmy, że kąty w trójkącie $A E C$ , to $30 °$ , $60 °$ , $90 °$ . Skorzystajmy zatem z zależności w tym trójkącie. Skoro $|A C| = 12$ , to $|E C| = 6$ i $|A E| = 6 \sqrt{3}$ .

Stąd otrzymujemy, że wysokośc trapezu $h = 6$ .

Obliczamy pole trapezu:

$P = \frac{9 \sqrt{3} + 4 \sqrt{3}}{2} \cdot 6 = 39 \sqrt{3}$ .

Ćwiczenie 8

Oblicz pole trapezu prostokątnego $A B C D$ o podstawach $A B$ i $C D$ , gdzie przekątna $A C$ jest prostopadła do ramienia $B C$ , dłuższa podstawa $A B$ ma długość $8$ , a sinus kąta $C A D$ jest równy $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

RWkNKcEKvws1O

Ilustracja przedstawia trapez prostokątny ABCD o podstawie długości osiem. Przekątna tworzy z wierzchołkiem C, kąt prosty.

Z własności kątów naprzemianległych otrzymujemy, że w trapezie $A B C D$ , kąty $C A B$ i $D C A$ mają tę samą miarę, a więc kąty $A B C$ oraz $C A D$ także mają tę samą miarę.

R1eEeW2wqF36u

Ilustracja przedstawia trapez prostokątny ABCD o podstawie długości osiem. Przekątna tworzy z wierzchołkiem C, kąt prosty oraz kąt o mierze alfa. Przekątna dzieli kąt przy wierzchołku a na dwa kąty alfa oraz beta. Kąt przy wierzchołku B ma miarę beta.

Z definicji funkcji sinus wyznaczymy długość przekątnej $A C$ .

$\sin β = \frac{|A C|}{|A B|}$

$\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{|A C|}{8}$

$|A C| = 4 \sqrt{2}$ .

Następnie z definicji funkcji sinus wyznaczymy długość podstawy $C D$ .

$\sin β = \frac{|C D|}{|A C|}$

$\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{|C D|}{4 \sqrt{2}}$

$|C D| = 4$ .

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa wyznaczymy długość wysokości trapezu.

$4^{2} + h^{2} = {(4 \sqrt{2})}^{2}$

$h^{2} = 32 - 16$

$h^{2} = 16$

$h = 4$ .

Obliczamy pole trapezu:

$P = \frac{8 + 4}{2} \cdot 4 = 24$ .

Test samosprawdzający

Dla nauczyciela