Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Rh2NZYcvdiGgT

Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy trójkąty ABC A prim B prim C prim. Długość podstawy oznaczono jako a, wysokość podstawy oznaczono jako h, przekątną ściany bocznej oznaczono jako d, a przekątną podstawy oznaczono jako h indeks dolny p koniec indeksu

R55eVZmTgcQe3

Dopasuj wielkość związaną z graniastosłupem prawidłowym trójkątnym, której użyjesz rozwiązując zadanie do podanego kontekstu praktycznego. Najdłuższy ołówek włożony do pudełka Możliwe odpowiedzi: 1. Objętość

V = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} \cdot h

, 2. Pole powierzchni bocznej

P_{b} = 3 a h

, 3. Długość przekątnej ściany graniastosłupa

d = \sqrt{a^{2} + h^{2}}

, 4. element Pole powierzchni całkowitej

P = 3 a h + 2 \cdot \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}

Ilość farby potrzebnej do pomalowania ścian pomnika (nie licząc góry) Możliwe odpowiedzi: 1. Objętość

V = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} \cdot h

, 2. Pole powierzchni bocznej

P_{b} = 3 a h

, 3. Długość przekątnej ściany graniastosłupa

d = \sqrt{a^{2} + h^{2}}

, 4. element Pole powierzchni całkowitej

P = 3 a h + 2 \cdot \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}

Pojemność kosza na śmieci Możliwe odpowiedzi: 1. Objętość

V = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} \cdot h

, 2. Pole powierzchni bocznej

P_{b} = 3 a h

, 3. Długość przekątnej ściany graniastosłupa

d = \sqrt{a^{2} + h^{2}}

, 4. element Pole powierzchni całkowitej

P = 3 a h + 2 \cdot \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}

Ilość papieru ozdobnego potrzebnego do opakowania całego pudełka z prezentem Możliwe odpowiedzi: 1. Objętość

V = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} \cdot h

, 2. Pole powierzchni bocznej

P_{b} = 3 a h

, 3. Długość przekątnej ściany graniastosłupa

d = \sqrt{a^{2} + h^{2}}

, 4. element Pole powierzchni całkowitej

P = 3 a h + 2 \cdot \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}

Dopasuj wielkość związaną z graniastosłupem prawidłowym trójkątnym, której użyjesz rozwiązując zadanie do podanego kontekstu praktycznego.

długość przekątnej ściany graniastosłupa <math><mi>d</mi><mo>=</mo><msqrt><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>h</mi><mn>2</mn></msup></msqrt></math>, pole powierzchni bocznej <math><msub><mi>P</mi><mi>b</mi></msub><mo>=</mo><mn>3</mn><mi>a</mi><mi>h</mi></math>, objętość <math><mi>V</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><msqrt><mn>3</mn></msqrt></mrow><mn>4</mn></mfrac><mo>·</mo><mi>h</mi></math>, pole powierzchni całkowitej <math><mi>P</mi><mo>=</mo><mn>3</mn><mi>a</mi><mi>h</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mo>·</mo><mfrac><mrow><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><msqrt><mn>3</mn></msqrt></mrow><mn>4</mn></mfrac></math>

najdłuższy ołówek włożony do pudełka
ilość farby potrzebnej do pomalowania ścian pomnika (nie licząc góry)
pojemność kosza na śmieci
ilość papieru ozdobnego potrzebnego do opakowania całego pudełka z prezentem

Rj2Botubq2JbT1

Ćwiczenie 2

Janek planuje zbudować karmnik dla ptaków w kształcie graniastosłupa prawidłowego trójkątnego, którego krawędź podstawy jest długości $25 cm$ , a krawędź boczna $30 cm$ . Zaczyna od zbudowania stelaża z listewek - wszystkich dziewięciu krawędzi bryły, które w następnej kolejności od góry i od dołu obije deskami. Ile metrów bieżących listewki potrzebuje Janek do tej konstrukcji?

$0, 75 mb$
$1, 8 mb$
$2, 4 mb$
$3 mb$

Rb3zKrYIf2Mp32

Ćwiczenie 3

Konserwator zabytków planuje odświeżyć pomnik w kształcie graniastosłupa prawidłowego trójkątnego o krawędzi podstawy długości $1 m$ i wysokości $3, 5 m$ . Do wyczyszczenia powierzchni (ścian bocznych oraz górnej podstawy) użyje rozpuszczalnika o wydajności $0, 25 \frac{l}{m^{2}}$ . Ile litrów (w przybliżeniu do części dziesiętnych) rozpuszczalnika będzie potrzebował do tego zabiegu?

$2, 7 l$
$2, 8 l$
$43, 7 l$
$45, 5 l$

Ćwiczenie 4

R1T6poR2wfrmC

Jakiej długości pręt zmieści się do pudełka w kształcie graniastosłupa prawidłowego trójkątnego o wszystkich krawędziach tej samej długości i polu powierzchni bocznej równej $48 m^{2}$ ? Wskaż prawidłowe długości spośród podanych propozycji.

$5, 6 m$
$5, 7 m$
$4 m$
$4, 78 m$
$5, 86 m$

Ściany boczne są kwadratami o boku $x$ , zatem $3 x^{2} = 48$ , stąd $x = 4$ . Długość przekątnej ściany bocznej to $4 \sqrt{2} \approx 5, 657$ . Każdy odcinek krótszy od tej długości zmieści się do pudełka.

RUD9DhvNHcGsb2

Ćwiczenie 5

Agnieszka jest na ścisłej diecie. Dziennie może zjeść co najwyżej $200 kcal$ pochodzących z żółtego sera. Znalazła w lodówce kawałek sera w kształcie graniastosłupa prawidłowego trójkątnego o kaloryczności $500 kcal$ w $100 g$ . Przeczytała w internecie, że $10 {cm}^{3}$ tego sera waży $25 g$ . Zmierzyła linijką wymiary sera: trójkąt w podstawie ma bok długości $7 cm$ , a wysokość to $8 cm$ . Agnieszka chce pokroić ten kawałek na równe części. Na ile części może podzielić ser tak, aby każda porcja nie przekraczała $200 kcal$ ? Wybierz wszystkie poprawne odpowiedzi spośród podanych propozycji.

$9$
$10$
$11$
$12$
$13$

Ćwiczenie 6

Oblicz wymiary donicy w kształcie graniastosłupa prawidłowego trójkątnego, która mieści $72$ litry ziemi, a długość jej krawędzi bocznej jest równa wysokości trójkąta w podstawie.

Przez $x$ oznaczmy długość krawędzi bocznej oraz wysokości w podstawie. Wtedy długość krawędzi podstawy wyznaczymy z równania

$\frac{a \sqrt{3}}{2} = x$

$a = \frac{2 x}{\sqrt{3}}$

Objętość donicy wyrażona w litrach, a więc w decymetrach sześciennych, wynosi $72$ , zatem

$\frac{{(\frac{2 x}{\sqrt{3}})}^{2} \sqrt{3}}{4} \cdot x = 72$

$\frac{\frac{4}{3} x^{2} \sqrt{3}}{4} \cdot x = 72$

$\frac{\sqrt{3}}{3} \cdot x^{3} = 72$

$x^{3} \approx 124, 7$

$x \approx 5 [dm]$

Donice będą miały wysokość $50 cm$ oraz długość krawędzi w podstawie $\frac{2 \cdot 50}{\sqrt{3}} \approx 58 cm$ .

Ćwiczenie 7

Kosz na śmieci w kształcie graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest zbudowany z metalowych krawędzi i obudowany cienkimi deseczkami. Na wszystkie krawędzie zużyto łącznie $4, 5 m$ pręta, natomiast najdłuższy patyk, jaki jesteśmy w stanie włożyć do tego kosza tak, aby nie wystawał, ma długość $75 cm$ . Czy w tym koszu zmieści się $50$ litrów śmieci?

Przez $a$ oznaczmy długość krawędzi podstawy, przez $h$ wysokość kosza. Ujednolićmy jednostki do decymetrów. Z informacji o sumie długości wszystkich krawędzi mamy:

$6 a + 3 h = 45$

Najdłuższy odcinek w graniastosłupie to przekątna ściany, zatem:

$a^{2} + h^{2} = 7, 5^{2}$

Wyznaczając z pierwszego równania niewiadomą $h = 15 - 2 a$ i wstawiając do drugiego równania otrzymujemy:

$a^{2} + {(15 - 2 a)}^{2} = 56, 25$

Zwróćmy uwagę, że $a > 0$ oraz $15 - 2 a > 0$ , zatem dziedziną tego równania jest przedział $(0; 7, 5)$ .

$a^{2} + 225 - 60 a + 4 a^{2} = 56, 25$

$5 a^{2} - 60 a + 168, 75 = 0$

$∆ = 3600 - 4 \cdot 5 \cdot 168, 75 = 225$

$a_{1} = \frac{60 + 15}{10} = 7, 5$

$a_{2} = \frac{60 - 15}{10} = 4, 5$

$a_{1}$ nie należy do wyznaczonej dziedziny, zatem jedynym rozwiązaniem jest $a = 4, 5 dm$ oraz $h = 15 - 2 \cdot 4, 5 = 6 [dm]$ .

Pozostaje obliczyć objętość graniastosłupa:

$V = \frac{4, 5^{2} \sqrt{3}}{4} \cdot 6 \approx 52, 6 [l]$

W tym koszu zmieści się $50$ litrów śmieci.

Ćwiczenie 8

Pan Jan konstruuje zamkniętą szkatułę w kształcie graniastosłupa prawidłowego trójkątnego. Postanowił, że zewnętrzna krawędź podstawy będzie miała długość $20 cm$ , a jej waga nie przekroczy $2 kg$ . Do jej zbudowania użyje drewnianej płyty o grubości $2 cm$ i gęstości $600 \frac{kg}{m^{3}}$ . Jaka będzie możliwie największa wysokość tej szkatuły, z dokładnością do $1 cm$ ?

Szkatuła będzie wykonana z płyty o gęstości $600 \frac{kg}{m^{3}}$ , a jej masa ma nie przekraczać $2 kg$ . Możemy ograniczyć objętość użytego materiału:

$V ⩽ \frac{2 kg}{600 \frac{kg}{m^{3}}} = \frac{1}{300} m^{3} = \frac{1000000}{300} {cm}^{3} < 3333, 4 {cm}^{3}$

Z drugiej strony, obliczymy objętość użytego materiału jako różnicę, pomiędzy objętością $V_{Z}$ graniastosłupa o zewnętrznych wymiarach, a objętością $V_{W}$ graniastosłupa obrazującego wnętrze szkatuły.

Przez $h$ oznaczmy zewnętrzną wysokość szkatuły. Wtedy

$V_{Z} = \frac{20^{2} \sqrt{3}}{4} \cdot h \approx 173, 2 h$

RIey2LALQmjFd

Ilustracja przedstawia trójkąt ABC, w którego środku znajduję się trójkąt D E F oddalony o dwie jednostki od krawędzi pierwszego trójkąta. Przy podstawie AB tworzy się prostokąt MKDE o długości boków 20 oraz dwa oraz deltoid AMDN o odcinkach MD oraz ND o długości 2 jednostki. Powstają również dwa przystające trójkąty charakterystyczne BKE oraz BLE

Aby obliczyć objętość $V_{W}$ wyznaczymy długość krawędzi podstawy wewnętrznego graniastosłupa. Jest ona równa długości odcinka $A B$ pomniejszonej o długości odcinków $A M$ i $K B$ . Z własności w trójkącie $K B E$ o kątach $30 °$ , $60 °$ , $90 °$ wynika, że $|K B| = 2 \sqrt{3}$ . Analogicznie $|A M| = 2 \sqrt{3}$ , zatem $|D E| = |M K| = 20 - 4 \sqrt{3}$ .

$V_{W} = \frac{{(20 - 4 \sqrt{3})}^{2} \sqrt{3}}{4} \cdot (h - 4) \approx 74 (h - 4) = 74 h - 296$

Na początku rozwiązania wyliczyliśmy, że różnica wartości $V_{Z}$ i $V_{W}$ musi być mniejsza niż $3333, 4$ , zatem

$173, 2 h - (74 h - 296) < 3333, 4$

$99, 2 h + 296 < 3333, 4$

$99, 2 h < 3037, 4$

$h < 30, 6$

Maksymalna wysokość tej szkatuły to $30 cm$ .

Film samouczek

Dla nauczyciela