Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

R14bm6jXWmdMb1

Ćwiczenie 1

Połącz w pary wyrażenie trygonometryczne i jego wartość.

- \sin \frac{4 π}{3}

Możliwe odpowiedzi: 1.

- \frac{\sqrt{2}}{2}

, 2.

1

, 3.

\frac{\sqrt{3}}{2}

, 4.

\sqrt{3}

, 5.

- \frac{\sqrt{3}}{2}

, 6.

\frac{\sqrt{2}}{2}

, 7.

\frac{1}{2}

, 8.

\frac{\sqrt{3}}{3}

, 9.

- \frac{1}{2}

\sin \frac{7 π}{6}

Możliwe odpowiedzi: 1.

- \frac{\sqrt{2}}{2}

, 2.

1

, 3.

\frac{\sqrt{3}}{2}

, 4.

\sqrt{3}

, 5.

- \frac{\sqrt{3}}{2}

, 6.

\frac{\sqrt{2}}{2}

, 7.

\frac{1}{2}

, 8.

\frac{\sqrt{3}}{3}

, 9.

- \frac{1}{2}

- \sin \frac{5 π}{4}

Możliwe odpowiedzi: 1.

- \frac{\sqrt{2}}{2}

, 2.

1

, 3.

\frac{\sqrt{3}}{2}

, 4.

\sqrt{3}

, 5.

- \frac{\sqrt{3}}{2}

, 6.

\frac{\sqrt{2}}{2}

, 7.

\frac{1}{2}

, 8.

\frac{\sqrt{3}}{3}

, 9.

- \frac{1}{2}

- \cos \frac{4 π}{3}

Możliwe odpowiedzi: 1.

- \frac{\sqrt{2}}{2}

, 2.

1

, 3.

\frac{\sqrt{3}}{2}

, 4.

\sqrt{3}

, 5.

- \frac{\sqrt{3}}{2}

, 6.

\frac{\sqrt{2}}{2}

, 7.

\frac{1}{2}

, 8.

\frac{\sqrt{3}}{3}

, 9.

- \frac{1}{2}

\cos \frac{7 π}{6}

Możliwe odpowiedzi: 1.

- \frac{\sqrt{2}}{2}

, 2.

1

, 3.

\frac{\sqrt{3}}{2}

, 4.

\sqrt{3}

, 5.

- \frac{\sqrt{3}}{2}

, 6.

\frac{\sqrt{2}}{2}

, 7.

\frac{1}{2}

, 8.

\frac{\sqrt{3}}{3}

, 9.

- \frac{1}{2}

\cos \frac{5 π}{4}

Możliwe odpowiedzi: 1.

- \frac{\sqrt{2}}{2}

, 2.

1

, 3.

\frac{\sqrt{3}}{2}

, 4.

\sqrt{3}

, 5.

- \frac{\sqrt{3}}{2}

, 6.

\frac{\sqrt{2}}{2}

, 7.

\frac{1}{2}

, 8.

\frac{\sqrt{3}}{3}

, 9.

- \frac{1}{2}

tg \frac{4 π}{3}

Możliwe odpowiedzi: 1.

- \frac{\sqrt{2}}{2}

, 2.

1

, 3.

\frac{\sqrt{3}}{2}

, 4.

\sqrt{3}

, 5.

- \frac{\sqrt{3}}{2}

, 6.

\frac{\sqrt{2}}{2}

, 7.

\frac{1}{2}

, 8.

\frac{\sqrt{3}}{3}

, 9.

- \frac{1}{2}

tg \frac{7 π}{6}

Możliwe odpowiedzi: 1.

- \frac{\sqrt{2}}{2}

, 2.

1

, 3.

\frac{\sqrt{3}}{2}

, 4.

\sqrt{3}

, 5.

- \frac{\sqrt{3}}{2}

, 6.

\frac{\sqrt{2}}{2}

, 7.

\frac{1}{2}

, 8.

\frac{\sqrt{3}}{3}

, 9.

- \frac{1}{2}

tg \frac{5 π}{4}

Możliwe odpowiedzi: 1.

- \frac{\sqrt{2}}{2}

, 2.

1

, 3.

\frac{\sqrt{3}}{2}

, 4.

\sqrt{3}

, 5.

- \frac{\sqrt{3}}{2}

, 6.

\frac{\sqrt{2}}{2}

, 7.

\frac{1}{2}

, 8.

\frac{\sqrt{3}}{3}

, 9.

- \frac{1}{2}

Połącz w pary wyrażenie trygonometryczne i jego wartość.

$- \sin \frac{4 π}{3}$
$\sin \frac{7 π}{6}$
$- \sin \frac{5 π}{4}$
$- \cos \frac{4 π}{3}$
$\cos \frac{7 π}{6}$
$\cos \frac{5 π}{4}$
$tg \frac{4 π}{3}$
$tg \frac{7 π}{6}$
$tg \frac{5 π}{4}$

ReiRiA3dqsGyM1

Ćwiczenie 2

Korzystając z tablic trygonometrycznych, dopasuj wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów o podanych miarach.

\sin \frac{8 π}{7} \approx

- 0, 901

, 2.

0, 482

, 3.

- 0, 434

, 4.

1, 376

, 5.

- 0, 588

, 6.

- 0, 809

\cos \frac{8 π}{7} \approx

- 0, 901

, 2.

0, 482

, 3.

- 0, 434

, 4.

1, 376

, 5.

- 0, 588

, 6.

- 0, 809

tg \frac{8 π}{7} \approx

- 0, 901

, 2.

0, 482

, 3.

- 0, 434

, 4.

1, 376

, 5.

- 0, 588

, 6.

- 0, 809

\sin \frac{13 π}{10} \approx

- 0, 901

, 2.

0, 482

, 3.

- 0, 434

, 4.

1, 376

, 5.

- 0, 588

, 6.

- 0, 809

\cos \frac{13 π}{10} \approx

- 0, 901

, 2.

0, 482

, 3.

- 0, 434

, 4.

1, 376

, 5.

- 0, 588

, 6.

- 0, 809

tg \frac{13 π}{10} \approx

- 0, 901

, 2.

0, 482

, 3.

- 0, 434

, 4.

1, 376

, 5.

- 0, 588

, 6.

- 0, 809

Korzystając z tablic trygonometrycznych, dopasuj wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów o podanych miarach.

$1, 376$ , $- 0, 809$ , $- 0, 588$ , $- 0, 434$ , $- 0, 901$ , $0, 482$

$\sin \frac{8 π}{7} \approx$ ............
$\cos \frac{8 π}{7} \approx$ ............
$tg \frac{8 π}{7} \approx$ ............
$\sin \frac{13 π}{10} \approx$ ............
$\cos \frac{13 π}{10} \approx$ ............
$tg \frac{13 π}{10} \approx$ ............

RcXggWULYR4KN2

Ćwiczenie 3

Przyporządkuj podane wyrażenia tak, aby były tożsamościowo równe tym znajdującym się w nagłówkach. Przeciągnij i upuść.

$\sin x$	$- \sin x$	$\cos x$	$- \cos x$	$tg x$	$- tg x$

RqfcV5LdRY0BR2

Ćwiczenie 4

Oblicz wartość wyrażenia $\frac{2 \cos (50 ° - x) + 4 \sin (140 ° - x)}{\sin (40 ° + x) + 3 \sin (220 ° + x)}$
dla $x \neq - 40 ° + k \cdot 180 °, k \in ℤ$ .
Uporządkuj poniższe wyrażenia, aby otrzymać rozwiązanie zadania.

$= \frac{2 \sin (40 ° + x) + 4 \sin (40 ° + x)}{\sin (40 ° + x) - 3 \sin (40 ° + x)} =$
$= \frac{2 \sin (40 ° + x) + 4 \sin (180 ° - (40 ° + x))}{\sin (40 ° + x) + 3 \sin (220 ° + x)} =$
$= \frac{6 \sin (40 ° + x)}{- 2 \sin (40 ° + x)} =$
$= \frac{2 \sin (40 ° + x) + 4 \sin (140 ° - x)}{\sin (40 ° + x) + 3 \sin (220 ° + x)} =$
$= \frac{2 \sin (40 ° + x) + 4 \sin (40 ° + x)}{\sin (40 ° + x) + 3 \sin (180 ° + (40 ° + x))} =$
$= \frac{2 \cos (90 ° - (40 ° + x)) + 4 \sin (140 ° - x)}{\sin (40 ° + x) + 3 \sin (220 ° + x)} =$
$= - 3$
$\frac{2 \cos (50 ° - x) + 4 \sin (140 ° - x)}{\sin (40 ° + x) + 3 \sin (220 ° + x)} =$
$= \frac{2 \sin (40 ° + x) + 4 \sin (40 ° + x)}{\sin (40 ° + x) + 3 \sin (220 ° + x)} =$

R8niR6a1AWS2U2

Ćwiczenie 5

Wskaż wyrażenia prawdziwe.

$\sin \frac{π}{8}$ $=$ $\sin \frac{9 π}{8}$
$\sin \frac{π}{8}$ $>$ $\cos \frac{3 π}{8}$
$\sin \frac{7 π}{8}$ $<$ $\sin \frac{9 π}{8}$
$\cos \frac{11 π}{10}$ $<$ $\cos \frac{π}{10}$
$\cos \frac{8 π}{9}$ $<$ $\cos (- \frac{π}{9})$
$\cos \frac{12 π}{11}$ $=$ $\cos (- \frac{12 π}{11})$
$tg \frac{π}{11}$ $=$ $tg \frac{12 π}{11}$
$tg \frac{π}{11}$ $<$ $tg \frac{2 π}{11}$
$- tg \frac{π}{13}$ $>$ $tg (- \frac{π}{11})$

Ćwiczenie 6

Wykaż, że jeśli tylko $x \neq k \cdot \frac{π}{2}, k \in ℤ$ , to wyrażenie

$\frac{1}{tg (π + x)} \cdot \frac{- 3 \sin (π + x) + 2 \sin (2 π + x) + 4 \cos (\frac{π}{2} - x)}{3 \cos (- x) + 2 \cos (π + x)}$

przyjmuje stałą wartość niezależnie od wartości $x$ .

Przekształcimy poszczególne wyrażenia trygonometryczne wchodzące w skład rozważanego wyrażenia.

Ze wzorów redukcyjnych:

$tg (π + x) = tg x$ ,

$\cos (π + x) = - \cos x$ ,

$\sin (π + x) = - \sin x$ .

Z okresowości funkcji sinus:

$\sin (2 π + x) = \sin x$ .

Z podstawowych tożsamości trygonometrycznych:

$\cos (\frac{π}{2} - x) = \sin x$ ,

$tg x = \frac{\sin x}{\cos x}$ .

Z parzystości funkcji cosinus:

$\cos (- x) = \cos x$ .

Wobec powyższego mamy:

$\frac{1}{tg (π + x)} \cdot \frac{- 3 \sin (π + x) + 2 \sin (2 π + x) + 4 \cos (\frac{π}{2} - x)}{3 \cos (- x) + 2 \cos (π + x)} =$

$= \frac{1}{tg x} \cdot \frac{3 \sin x + 2 \sin x + 4 \sin x}{3 \cos x - 2 \cos x} =$

$= \frac{\cos x}{\sin x} \cdot \frac{9 \sin x}{\cos x} = 9$ ,

co kończy dowód.

Ćwiczenie 7

Aby przekształcić wyrażenie $\sin (\frac{3 π}{2} - x)$ , możemy postąpić następująco: $\sin (\frac{3 π}{2} - x) = \sin (π + \frac{π}{2} - x) = \sin (π + (\frac{π}{2} - x))$ .

Na mocy wzoru redukcyjnego $\sin (π + α) = - \sin α$ , przyjmując, że $α = \frac{π}{2} - x$ , prawdą jest, że $\sin (π + (\frac{π}{2} - x)) = - \sin (\frac{π}{2} - x)$ .

Na mocy wzoru redukcyjnego mamy, że $- \sin (\frac{π}{2} - x) = - \cos x$ .

Zatem $\sin (\frac{3 π}{2} - x) = - \cos x$ .

Na podstawie powyższego rozumowania rozwiąż test umieszczony poniżej. Wskaż poprawne odpowiedzi.

RnpK5ya2F8IFX

Łączenie par. . Wyrażenie

tg (\frac{3 π}{2} - x)

jest dla każdej (o ile tangens istnieje) liczby

x

równe:. Możliwe odpowiedzi:

- \sin x

\sin x

\cos x

. Wyrażenie

\sin (\frac{3 π}{2} - x) \cdot \cos (\frac{3 π}{2} - x)

jest dla każdej liczby

x

równe:. Możliwe odpowiedzi:

- \sin x

\sin x

\cos x

. Wyrażenie

\cos (\frac{π}{2} - x) \cdot \cos (\frac{3 π}{2} - x)

jest dla każdej liczby

x

równe:. Możliwe odpowiedzi:

- \sin x

\sin x

\cos x

. Wyrażenie

tg (π + x) \cdot \sin (\frac{π}{2} - x)

jest dla każdej (o ile tangens istnieje) liczby

x

równe:. Możliwe odpowiedzi:

- \sin x

\sin x

\cos x

Pytanie
Wyrażenie $\cos (\frac{3 π}{2} - x)$ jest dla każdej liczby $x$ równe:	$- \sin x$ □	$\sin x$ □	$\cos x$ □
Wyrażenie $tg (\frac{3 π}{2} - x)$ jest dla każdej (o ile tangens istnieje) liczby $x$ równe:	$tg x$ □	$- tg x$ □	$\frac{1}{tg x}$ □
Wyrażenie $\sin (\frac{3 π}{2} - x) \cdot \cos (\frac{3 π}{2} - x)$ jest dla każdej liczby $x$ równe:	$\sin^{2} x$ □	$\cos^{2} x$ □	$\sin x \cdot \cos x$ □
Wyrażenie $\cos (\frac{π}{2} - x) \cdot \cos (\frac{3 π}{2} - x)$ jest dla każdej liczby $x$ równe:	$- \sin^{2} x$ □	$\sin^{2} x$ □	$1 - \cos^{2} x$ □
Wyrażenie $tg (π + x) \cdot \sin (\frac{π}{2} - x)$ jest dla każdej (o ile tangens istnieje) liczby $x$ równe:	$- \sin x$ □	$\sin x$ □	$\frac{\sin^{2} x}{\cos x}$ □

RJi33ksqNO9lD3

Ćwiczenie 8

Rozwiąż test. Wskaż wszystkie poprawne odpowiedzi. Liczba

\cos 205 °

jest równa:

- \sin 25 °

- \cos 25 °

- \sin 65 °

Wiadomo, że

\cos 15 ° \approx 0, 259

. Wówczas:

\sin 15 ° \approx 0, 259

\cos 195 ° \approx - 0, 966

\sin 195 ° \approx 0, 259

Wskaż prawdziwą relację między podanymi liczbami.

\sin \frac{18 π}{17} > \cos \frac{18 π}{17}

\sin \frac{18 π}{17} = \cos \frac{18 π}{17}

\sin \frac{18 π}{17} < \cos \frac{18 π}{17}

Wskaż wyrażenia tożsamościowo równe wyrażeniu

\sin x

\sin (π - x)

- \sin (π + x)

- \sin (π - x)

Wyrażenie

\cos (π + x) \cdot \sin (π - x)

jest dla każdej liczby

x

równe:

- \sin^{2} x

- \cos^{2} x

- \sin x \cdot \cos x

Wyrażenie

\cos (π + x) \cdot \sin (\frac{3 π}{2} - x)

jest dla każdej liczby

x

równe:

\sin^{2} x

\cos^{2} x

\sin x \cdot \cos x

Rozwiąż test. Wskaż wszystkie poprawne odpowiedzi.

Liczba $\cos 205 °$ jest równa:
{ $- \sin 25 °$ } {# $- \cos 25 °$ } {# $- \sin 65 °$ }

Wiadomo, że $\cos 15 ° \approx 0, 966$ . Wówczas:
{# $\sin 15 ° \approx 0, 259$ } {# $\cos 195 ° \approx - 0, 966$ } { $\sin 195 ° \approx 0, 259$ }

Wskaż prawdziwą relację między podanymi liczbami.
{# $\sin \frac{18 π}{17} > \cos \frac{18 π}{17}$ } { $\sin \frac{18 π}{17} = \cos \frac{18 π}{17}$ } { $\sin \frac{18 π}{17} < \cos \frac{18 π}{17}$ }

Wskaż wyrażenia tożsamościowo równe wyrażeniu $\sin x$ .
{# $\sin (π - x)$ } {# $- \sin (π + x)$ } { $- \sin (π - x)$ }

Wyrażenie $\cos (π + x) \cdot \sin (π - x)$ jest dla każdej liczby $x$ równe:
{ $- \sin^{2} x$ } { $- \cos^{2} x$ } {# $- \sin x \cdot \cos x$ }

Wyrażenie $\cos (π + x) \cdot \sin (\frac{3 π}{2} - x)$ jest dla każdej liczby $x$ równe:
{ $\sin^{2} x$ } {# $\cos^{2} x$ } { $\sin x \cdot \cos x$ }

Galeria zdjęć interaktywnych

Dla nauczyciela