Przeanalizuj wyprowadzenie wzorów redukcyjnych dla kątów .
1
R1ITEbFyDnfD2
Ilustracja pierwsza. Sinus równa się znak zapytania, cosinus równa się znak zapytania, tangens równa się znak zapytania. Naszym celem jest wyrazić funkcje trygonometryczne kąta przy pomocy funkcji trygonometrycznych kąta ostrego .
Ilustracja pierwsza. Sinus równa się znak zapytania, cosinus równa się znak zapytania, tangens równa się znak zapytania. Naszym celem jest wyrazić funkcje trygonometryczne kąta przy pomocy funkcji trygonometrycznych kąta ostrego .
Rq7O8tzgY6RIo
Ilustracja druga. Aby go zrealizować skorzystamy z definicji funkcji trygonometrycznych kąta dowolnego. Umieścimy kąty o miarach oraz w dwuwymiarowym układzie współrzędnych o osi poziomej X oraz osi pionowej Y. Oś pozioma X ma zakres od minus 6 do siedem. Oś pionowa Y ma zakres od minus 3 do trzy.
Ilustracja druga. Aby go zrealizować skorzystamy z definicji funkcji trygonometrycznych kąta dowolnego. Umieścimy kąty o miarach oraz w dwuwymiarowym układzie współrzędnych o osi poziomej X oraz osi pionowej Y. Oś pozioma X ma zakres od minus 6 do siedem. Oś pionowa Y ma zakres od minus 3 do trzy.
R1IevCdJA64Gh
Ilustracja trzecia. Na ramieniu kąta o mierze wybieramy punkt . Oznaczmy jego współrzędne przez , zaś jego promień wodzący przez .
Na drugim ramieniu kąta o mierze wybieramy punkt , którego promień wodzący jest również równy .
Ilustracja trzecia. Na ramieniu kąta o mierze wybieramy punkt . Oznaczmy jego współrzędne przez , zaś jego promień wodzący przez .
Na drugim ramieniu kąta o mierze wybieramy punkt , którego promień wodzący jest również równy .
R18Sx16xhVJ4V
Ilustracja czwarta. Niech i oznaczają rzuty prostokątne odpowiednio punktów i na oś . Łatwo zauważyć, że kąt również ma miarę .
Ilustracja czwarta. Niech i oznaczają rzuty prostokątne odpowiednio punktów i na oś . Łatwo zauważyć, że kąt również ma miarę .
RWeFiZfXIQJsR
Ilustracja piąta. Na mocy cechy kąt, bok, kąt możemy stwierdzić, że trójkąty prostokątne oraz są przystające.
Ilustracja piąta. Na mocy cechy kąt, bok, kąt możemy stwierdzić, że trójkąty prostokątne oraz są przystające.
R1bHMtB2HAkSF
Ilustracja szósta. Z przystawania trójkątów oraz łatwo wywnioskować, że współrzędne punktu są bezpośrednio związane ze współrzędnymi punktu i są równe .
Ilustracja szósta. Z przystawania trójkątów oraz łatwo wywnioskować, że współrzędne punktu są bezpośrednio związane ze współrzędnymi punktu i są równe .
REKokEanOOo2y
Ilustracja siódma. Z definicji sinus kąta to stosunek drugiej współrzędnej punktu wybranego na drugim ramieniu tego kąta do promienia wodzącego tego punktu.
Zatem
zaś
.
.
Ilustracja siódma. Z definicji sinus kąta to stosunek drugiej współrzędnej punktu wybranego na drugim ramieniu tego kąta do promienia wodzącego tego punktu.
Zatem
zaś
.
.
R1XEz3AV0hBNG
Ilustracja ósma. Możemy zauważyć, że jest równy .
Ilustracja ósma. Możemy zauważyć, że jest równy .
Ru0b8MNdLf5ml
Ilustracja dziewiąta. Z definicji kosinus kąta to stosunek pierwszej współrzędnej punktu wybranego na drugim ramieniu tego kąta do promienia wodzącego tego punktu.
Zatem
zaś
.
Ilustracja dziewiąta. Z definicji kosinus kąta to stosunek pierwszej współrzędnej punktu wybranego na drugim ramieniu tego kąta do promienia wodzącego tego punktu.
Zatem
zaś
.
Rp1p18L2rfeeG
Ilustracja dziesiąta. Możemy zauważyć, że jest równy .
Ilustracja dziesiąta. Możemy zauważyć, że jest równy .
RxpXbTFzW3vNI
Ilustracja jedenasta. Z definicji tangens kąta to stosunek drugiej współrzędnej punktu wybranego na drugim ramieniu tego kąta do pierwszej współrzędnej tego punktu.
Zatem
zaś
.
Ilustracja jedenasta. Z definicji tangens kąta to stosunek drugiej współrzędnej punktu wybranego na drugim ramieniu tego kąta do pierwszej współrzędnej tego punktu.
Zatem
zaś
.
R1RdEFc98dUj6
Ilustracja dwunasta. Możemy zauważyć, że jest równy .
Ilustracja dwunasta. Możemy zauważyć, że jest równy .
R1XQhhfDi05fq
Ilustracja trzynasta. Sinus równa się minus sinus alfa, cosinus równa się minus cosinus alfa, tangens równa się tangens alfa. Zauważmy jeszcze tylko, że choć wzory wyprowadziliśmy dla kąta ostrego , to pozostają one prawdziwe dla kątów o dowolnej rozwartości.
Ilustracja trzynasta. Sinus równa się minus sinus alfa, cosinus równa się minus cosinus alfa, tangens równa się tangens alfa. Zauważmy jeszcze tylko, że choć wzory wyprowadziliśmy dla kąta ostrego , to pozostają one prawdziwe dla kątów o dowolnej rozwartości.