Przeczytaj

W prostokątnym układzie współrzędnych umieścimy w położeniu standardowym kąty o miarach $α$ oraz $π + α$ , gdzie $α \in (0; \frac{π}{2})$ .

Zauważmy, że ponieważ kąt o mierze $α$ jest ostry (drugie ramię leży w $I$ ćwiartce układu), kąt o mierze $π + α$ jest wklęsły (drugie ramię leży w $III$ ćwiartce układu).

RvsJkDuM3AcuV

Ilustracja przedstawia dwuwymiarowy układ współrzędnych. Oś pozioma została oznaczona jako X, znajdują się na niej liczby od minus 6 do siedmiu. Na osi pionowej Y znajdują się liczby od minus 4 do cztery. Początek układu współrzędnych oznaczono jako O. W pierwszej ćwiartce narysowano ukośną półprostą zaczynającą się w punkcie O, poprowadzono kąt skierowany przeciwnie do ruchu wskazówek zegara od dodatniej półosi O X do półprostej. Kąt ten oznaczono jako alfa. W odległości r od punktu O zaznaczono na półprostej punkt A o współrzędnych x;y oraz rzutowano go na oś X. Otrzymano punkt P1 leżący na osi X. Wykonano odbicie półprostej względem początku układu współrzędnych, otrzymano punkty A prim o współrzędnych minus x; minus y oraz punkt P2. Poprowadzono kąt skierowany zgodnie z ruchem wskazówek zegara od półprostej do ujemnej półosi O X. Poprowadzono kąt skierowany przeciwnie do ruchu wskazówek zegara od dodatniej półosi O X, do półprostej otrzymanej z odbicia. Kąt ten ma wartość π + α.

Na drugim ramieniu kąta wybieramy punkt $A$ o współrzędnych $(x; y)$ i promieniu wodzącym $r$ . Na drugim ramieniu kąta o mierze $π + α$ wybieramy taki punkt $A'$ , którego promień wodzący jest również równy $r$ . Wówczas, przy oznaczeniach jak na rysunku powyżej, kąt $A' O P_{2}$ ma miarę $α$ , zaś trójkąty prostokątne $A O P_{1}$ oraz $A' O P_{2}$ są przystające na mocy cechy kąt‑bok‑kąt. Wynika stąd, że współrzędne punktu $A'$ są równe $(- x; - y)$ .

Zauważmy teraz, że wprost z definicji funkcji trygonometrycznych zachodzą następujące równości:

$\sin α = \frac{y}{r}$	$\sin (π + α) = \frac{- y}{r} = - \frac{y}{r}$
$\cos α = \frac{x}{r}$	$\cos (π + α) = \frac{- x}{r} = - \frac{x}{r}$
$tg α = \frac{y}{x}$	$tg (π + α) = \frac{- y}{- x} = \frac{y}{x}$

Otrzymujemy zatem następujące równości:

$\sin (π + α) = - \sin α$ ,

$\cos (π + α) = - \cos α$ ,

$tg (π + α) = tg α$ dla $x \neq \frac{π}{2} + k \cdot π, k \in ℤ$ .

Chociaż powyższy dowód został przeprowadzony dla kąta ostrego $α$ , to wzory redukcyjnewzory redukcyjne pozostają prawdziwe dla kąta o dowolnej mierze, dla której określona jest funkcja tangens.

Powyższe tożsamości można uzyskać, stosując wzory redukcyjne dla kątów $π - α$ . Zauważmy, że $α = - (- α)$ . Wówczas $\sin (π + α) = \sin (π - (- α))$ .

Przypomnijmy, że dla dowolnego kąta $x$ prawdą jest, że $\sin (π - x) = \sin x$ . Jeśli podstawimy $- α = x$ , to otrzymamy $\sin (- α)$ , co z nieparzystości funkcji sinus daje $\sin (- α) = - \sin α$ .

Powyższe rozumowanie możemy zapisać w postaci ciągu równości:

\sin (π + α) = \sin (π - (- α)) = \sin (- α) = - \sin α .

Analogicznie możemy postąpić z funkcją cosinus (pamiętając, że cosinus jest funkcją parzystą oraz $\cos (π - x) = - \cos x$ ):

\cos (π + α) = \cos (π - (- α)) = - \cos (- α) = - \cos α

oraz z funkcją tangens (pamiętając, że tangens jest funkcją nieparzystą oraz $tg (π - x) = - tg x$ ):

tg (π + α) = tg (π - (- α)) = - tg (- α) = - (- tg α) = tg α .

Przykład 1

Obliczymy wartości podanych wyrażeń trygonometrycznych.

a) $\sin \frac{4 π}{3} = \sin (π + \frac{π}{3}) = - \sin \frac{π}{3} = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

b) $\cos \frac{7 π}{6} = \cos (π + \frac{π}{6}) = - \cos \frac{π}{6} = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

c) $tg \frac{5 π}{4} = tg (π + \frac{π}{4}) = tg \frac{π}{4} = 1$

Przykład 2

Korzystając z tablic trygonometrycznychjedynka trygonometrycznatrygonometrycznych, obliczymy wartości funkcji trygonometrycznych kąta o mierze $\frac{6 π}{5}$ .

$α [°]$	$\sin α$ $\cos β$	$tg α$	$β [°]$
$0$	$0, 0000$	$0, 0000$	$90$
$1$	$0, 0175$	$0, 0175$	$89$
$2$	$0, 0349$	$0, 0349$	$88$
...
$7$	$0, 1219$	$0, 1228$	$83$
$8$	$0, 1392$	$0, 1405$	$82$
$9$	$0, 1564$	$0, 1584$	$81$
...
$35$	$0, 5736$	$0, 7002$	$55$
$36$	$0, 5878$	$0, 7265$	$54$
$37$	$0, 6018$	$0, 7536$	$53$
...
$46$	$0, 7193$	$1, 0355$	$44$
$47$	$0, 7314$	$1, 0724$	$43$
$48$	$0, 7431$	$1, 1106$	$42$
...
$53$	$0, 7986$	$1, 3270$	$37$
$54$	$0, 8090$	$1, 3764$	$36$
$55$	$0, 8192$	$1, 4281$	$35$
...
$81$	$0, 9877$	$6, 3138$	$9$
$82$	$0, 9903$	$7, 1154$	$8$
$83$	$0, 9925$	$8, 1443$	$7$

Rozwiązanie

Zauważmy najpierw, że $\frac{6 π}{5} = π + \frac{π}{5}$ . Zatem przydadzą się nam wartości funkcji trygonometrycznych kąta o mierze $\frac{π}{5}$ , które odczytujemy z tablic trygonometrycznych. Kąt o mierze łukowej równej $\frac{π}{5}$ ma miarę stopniową równą $36 °$ . Stąd mamy:

$\sin \frac{π}{5} \approx 0, 5878$ ,

$\cos \frac{π}{5} \approx 0, 8090$ ,

$tg \frac{π}{5} \approx 0, 7265$ .

Zatem:

$\sin \frac{6 π}{5} = \sin (π + \frac{π}{5}) = - \sin \frac{π}{5} \approx - 0, 5878$ ,

$\cos \frac{6 π}{5} = \cos (π + \frac{π}{5}) = - \cos \frac{π}{5} \approx - 0, 8090$ ,

$tg \frac{6 π}{5} = tg (π + \frac{π}{5}) = tg \frac{π}{5} \approx 0, 7265$ .

Przykład 3

Wiadomo, że $x \in (- \frac{π}{2}, 0)$ oraz $\frac{3 \sin (π + x)}{- \cos (π - x)} + \frac{\cos (π + x)}{\sin (\frac{π}{2} - x)} + tg (π + x) = 2$ .
Obliczymy wartość wyrażenia $\sin x + \cos x$ .

Rozwiązanie

Przekształcimy równość daną w założeniu, korzystając z następujących tożsamości:

$\cos (π - x) = - \cos x$ ,

$\sin (π + x) = - \sin x$ ,

$\cos (π + x) = - \cos x$ ,

$tg (π + x) = tg x$ ,

$\sin (\frac{π}{2} - x) = \cos x$ .

Mamy więc:

$\frac{3 \sin (π + x)}{- \cos (π - x)} + \frac{\cos (π + x)}{\sin (\frac{π}{2} - x)} + tg (π + x) = 2$

$\frac{- 3 \sin x}{\cos x} + \frac{- \cos x}{\cos x} + tg x = 2$

$- 3 tg x - 1 + tg x = 2$

$- 2 tg x = 3$

$tg x = - \frac{3}{2}$

$\frac{\sin x}{\cos x} = - \frac{3}{2}$

$\sin x = - \frac{3}{2} \cos x$ .

Skorzystamy z tożsamości $\sin^{2} x + \cos^{2} x = 1$ .

${(- \frac{3}{2} \cos x)}^{2} + \cos^{2} x = 1$

$\frac{9}{4} \cos^{2} x + \cos^{2} x = 1$

$\frac{13}{4} \cos^{2} x = 1$

$\cos^{2} x = \frac{4}{13}$

Ponieważ $x \in (0; \frac{π}{2})$ , więc $\cos x > 0$ . Stąd $\cos x = \sqrt{\frac{4}{13}} = \frac{2}{\sqrt{13}} = \frac{2 \sqrt{13}}{13}$ .

Możemy teraz wyznaczyć $\sin x$ :

$\sin x = - \frac{3}{2} \cos x = - \frac{3}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{13}}{13} = - \frac{3 \sqrt{13}}{13}$ .

Zatem $\sin x + \cos x = - \frac{3 \sqrt{13}}{13} + \frac{2 \sqrt{13}}{13} = - \frac{\sqrt{13}}{13}$ .

Przykład 4

Porównamy liczby $\sin \frac{π}{13}$ i $- \sin \frac{13 π}{12}$ .

Rozwiązanie

Zauważmy najpierw, że

$\sin \frac{13 π}{12} = \sin (π + \frac{π}{12}) = - \sin \frac{π}{12}$ , zatem

$- \sin \frac{13 π}{12} = \sin \frac{π}{12}$ .

Zatem mamy do porównania liczby $\sin \frac{π}{13}$ oraz $\sin \frac{π}{12}$ .

Możemy je porównać, korzystając z definicji funkcji sinus dowolnego kąta. Umieśćmy dwa kąty o miarach $α$ i $β$ takie, że $α < β$ .

Na drugich ramionach tych kątów wybierzmy odpowiednio punkty $A$ i $B$ , których promienie wodzące są równe $1$ .

RAshfCyb45Xep

Ilustracja przedstawia dwuwymiarowy układ współrzędnych. Oś poziomą oznaczono jako X, są na niej liczby od -0,4 do 1,4. Oś pionową oznaczono jako Y, są na niej liczby od -0,4 do 1,2. Punkt O to początek układu współrzędnych. W układzie narysowano okrąg o promieniu 1, jego środek znajduje się w punkcie O, w pierwszej ćwiartce naniesiono dwa kąty ostre alfa oraz beta, tak że ich wierzchołek znajduje się w punkcie O. Zachodzi zależność β>α. Jedno z ramion obu kątów alfa oraz beta pokrywa się z dodatnią półosią O X. Drugie ramię kąta alfa spotyka się z okręgiem w punkcie A=xA;yA. Punkt ten jest rzutowany na oś X, wskazując punkt A prim. Drugie ramię kąta beta spotyka się z okręgiem w punkcie B=xB;yB, punkt ten jest rzutowany na oś X. Rzut wskazuje punkt B prim. Odcinek O A ma długość równą odcinkowi O B. Oba te odcinki mają długość r, która wynosi jeden. Zaznaczono kąty proste pomiędzy punktami A prim oraz B prim a osią X.

Zauważmy, że

$\sin α = \frac{y_{A}}{r} = \frac{y_{A}}{1} = y_{A}$

oraz

$\sin β = \frac{y_{B}}{r} = \frac{y_{B}}{1} = y_{B}$ .

Zatem jeśli promienie wodzące punktów $A$ i $B$ są równe $1$ , to drugie współrzędne tych punktów są równe sinusom odpowiednich kątów. Możemy zaobserwować, że w przypadku kątów ostrych $α$ i $β$ zachodzi

$α < β \Rightarrow y_{A} < y_{B} \Rightarrow \sin α < \sin β$ .

W naszym przypadku ponieważ $\frac{π}{13} < \frac{π}{12}$ , więc mamy, że

$\sin \frac{π}{13} < \sin \frac{π}{12} = - \sin \frac{13 π}{12}$ .

Słownik

wzory redukcyjne

zestaw wzorów pozwalających redukować argumenty funkcji trygonometrycznych do miar z przedziału $(0; \frac{π}{2})$ w celu wyliczenia wartości tych funkcji

jedynka trygonometryczna

tożsamość trygonometryczna, która orzeka, że suma kwadratów sinusa i cosinusa dowolnego argumentu jest równa $1$ ; wzór ten nazywamy też trygonometryczną wersją twierdzenia Pitagorasa

Wprowadzenie

Galeria zdjęć interaktywnych

Słownik