W prostokątnym układzie współrzędnych umieścimy w położeniu standardowym kąty o miarach oraz , gdzie .
Zauważmy, że ponieważ kąt o mierze jest ostry (drugie ramię leży w ćwiartce układu), kąt o mierze jest wklęsły (drugie ramię leży w ćwiartce układu).
RvsJkDuM3AcuV
Na drugim ramieniu kąta wybieramy punkt o współrzędnych i promieniu wodzącym . Na drugim ramieniu kąta o mierze wybieramy taki punkt , którego promień wodzący jest również równy . Wówczas, przy oznaczeniach jak na rysunku powyżej, kąt ma miarę , zaś trójkąty prostokątne oraz są przystające na mocy cechy kąt‑bok‑kąt. Wynika stąd, że współrzędne punktu są równe .
Zauważmy teraz, że wprost z definicji funkcji trygonometrycznych zachodzą następujące równości:
Otrzymujemy zatem następujące równości:
,
,
dla .
Chociaż powyższy dowód został przeprowadzony dla kąta ostrego , to wzory redukcyjnewzory redukcyjne pozostają prawdziwe dla kąta o dowolnej mierze, dla której określona jest funkcja tangens.
Powyższe tożsamości można uzyskać, stosując wzory redukcyjne dla kątów . Zauważmy, że . Wówczas .
Przypomnijmy, że dla dowolnego kąta prawdą jest, że . Jeśli podstawimy , to otrzymamy , co z nieparzystości funkcji sinus daje .
Powyższe rozumowanie możemy zapisać w postaci ciągu równości:
Analogicznie możemy postąpić z funkcją cosinus (pamiętając, że cosinus jest funkcją parzystą oraz ):
oraz z funkcją tangens (pamiętając, że tangens jest funkcją nieparzystą oraz ):
Przykład 1
Obliczymy wartości podanych wyrażeń trygonometrycznych.
a)
b)
c)
Przykład 2
Korzystając z tablic trygonometrycznychjedynka trygonometrycznatrygonometrycznych, obliczymy wartości funkcji trygonometrycznych kąta o mierze .
...
...
...
...
...
Rozwiązanie
Zauważmy najpierw, że . Zatem przydadzą się nam wartości funkcji trygonometrycznych kąta o mierze , które odczytujemy z tablic trygonometrycznych. Kąt o mierze łukowej równej ma miarę stopniową równą . Stąd mamy:
,
,
.
Zatem:
,
,
.
Przykład 3
Wiadomo, że oraz . Obliczymy wartość wyrażenia .
Rozwiązanie
Przekształcimy równość daną w założeniu, korzystając z następujących tożsamości:
,
,
,
,
.
Mamy więc:
.
Skorzystamy z tożsamości .
Ponieważ , więc . Stąd .
Możemy teraz wyznaczyć :
.
Zatem .
Przykład 4
Porównamy liczby i .
Rozwiązanie
Zauważmy najpierw, że
, zatem
.
Zatem mamy do porównania liczby oraz .
Możemy je porównać, korzystając z definicji funkcji sinus dowolnego kąta. Umieśćmy dwa kąty o miarach i takie, że .
Na drugich ramionach tych kątów wybierzmy odpowiednio punkty i , których promienie wodzące są równe .
RAshfCyb45Xep
Zauważmy, że
oraz
.
Zatem jeśli promienie wodzące punktów i są równe , to drugie współrzędne tych punktów są równe sinusom odpowiednich kątów. Możemy zaobserwować, że w przypadku kątów ostrych i zachodzi
.
W naszym przypadku ponieważ , więc mamy, że
.
Słownik
wzory redukcyjne
wzory redukcyjne
zestaw wzorów pozwalających redukować argumenty funkcji trygonometrycznych do miar z przedziału w celu wyliczenia wartości tych funkcji
jedynka trygonometryczna
jedynka trygonometryczna
tożsamość trygonometryczna, która orzeka, że suma kwadratów sinusa i cosinusa dowolnego argumentu jest równa ; wzór ten nazywamy też trygonometryczną wersją twierdzenia Pitagorasa