Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Poniższe drzewo opisuje przebieg pewnego doświadczenia losowego polegającego na kolejnym losowaniu trzech kul z urny.

R9SWplVXJFmel

Możliwe cztery główne ścieżki losowania. Ścieżka pierwsza. Losujemy jako pierwszą zieloną kulę z prawdopodobieństwem 0,2, następnie jako drugą losujemy niebieską kulę z prawdopodobieństwem0,5 i w trzecim losowaniu mamy trzy możliwości: kula niebieska z prawdopodobieństwem 0,1, kula zielona bez podanego prawdopodobieństwa i kula pomarańczowa z prawdopodobieństwem 0,7. Ścieżka druga. Losujemy jako pierwszą zieloną kulę z prawdopodobieństwem 0,2, następnie jako drugą losujemy pomarańczową kulę z prawdopodobieństwem 0,5 i w trzecim losowaniu mamy dwie możliwości: kula zielona bez podanego prawdopodobieństwa i kula pomarańczowa z prawdopodobieństwem 0,4. Ścieżka trzecia. Losujemy jako pierwszą fioletową kulę z prawdopodobieństwem 0,8, następnie jako drugą losujemy fioletową kulę z prawdopodobieństwem 0,3 i w trzecim losowaniu mamy dwie możliwości: kula niebieska bez podanego prawdopodobieństwa i kula fioletowa z prawdopodobieństwem 0,1. Ścieżka czwarta. Losujemy jako pierwszą fioletową kulę z prawdopodobieństwem 0,8, następnie jako drugą losujemy zieloną kulę z prawdopodobieństwem 0,7 i w trzecim losowaniu mamy dwie możliwości: kula pomarańczowa bez podanego prawdopodobieństwa i kula zielona z prawdopodobieństwem 0,3.

RloS5kMYmZmpG

Ćwiczenie 2

Poniższe drzewo opisuje przebieg pewnego doświadczenia losowego polegającego na kolejnym losowaniu trzech kul.

ReflvNoiYFWxJ

ReHR51HPg7eAl

Ćwiczenie 3

Drzewo opisuje przebieg pewnego doświadczenia losowego polegającego na kolejnym losowaniu trzech kul.

R4BTcIXCdeyVk

Niech $A$ oznacza zdarzenie: za trzecim razem wylosowano kulę pomarańczową.

RGW8PEBOlmjj8

Ćwiczenie 4

W koszyku znajdują się wiśnie $(W)$ i czereśnie $(C)$ . Na drzewie probabilistycznym zaznaczono wyniki losowania z koszyka dwóch owoców.

R5nt4GmfvlpD6

Ilustracja przedstawia drzewko. Z punktu wyjściowego odchodzą dwie gałęzie. Lewa gałąź ma prawdopodobieństwo 610 i prowadzi do punktu C, z którego narysowano kolejne dwie gałęzie: do kolejnego wierzchołka C prowadzi gałąź z prawdopodobieństwem 59, a do wierzchołka W prowadzi gałąź z prawdopodobieństwem 49. Prawa gałąź w pierwotnego rozgałęzienia prowadzi do wierzchołka C z prawdopodobieństwem 410, od którego odchodzą dwie kolejne gałęzie: do wierzchołka C z prawdopodobieństwem 69, a do wierzchołka W z prawdopodobieństwem 39.

R1e91LH67p8jn

RdT1pFjAFAeE32

Ćwiczenie 5

Spośród liczb

5

6

7

8

9

10

11

12

losujemy dwie.
Połącz w pary opis zdarzenia i prawdopodobieństwo tego zdarzenia. Żadna z wylosowanych liczb nie jest pierwsza. Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{5}{14}

, 2.

\frac{15}{28}

, 3.

\frac{3}{28}

, 4.

\frac{9}{14}

Obydwie wylosowane liczby są pierwsze. Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{5}{14}

, 2.

\frac{15}{28}

, 3.

\frac{3}{28}

, 4.

\frac{9}{14}

Przynajmniej jedna z wylosowanych liczb jest pierwsza. Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{5}{14}

, 2.

\frac{15}{28}

, 3.

\frac{3}{28}

, 4.

\frac{9}{14}

Jedna z wylosowanych liczb jest pierwsza, a druga złożona. Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{5}{14}

, 2.

\frac{15}{28}

, 3.

\frac{3}{28}

, 4.

\frac{9}{14}

Ćwiczenie 6

Rzucamy kostką do gry i symetryczną monetą. Oznaczmy:
$P$ – wypadnie parzysta liczb oczek,
$N$ – wypadnie nieparzysta liczba oczek,
$O$ – wypadnie orzeł,
$R$ – wypadnie reszka.

R1Yd5Lzg5yxbM

Ilustracja przedstawia drzewko. Z punktu startowego odchodzą dwie gałęzie z prawdopodobieństwem 0,5 Lewa strona jest następująca. Pierwsza gałąź prowadzi do kostki sześciennej. Stąd prowadzą dwie gałęzie: do wierzchołka N, z którego nie ma dalszych rozgałęzień i do wierzchołka P, z którego są poprowadzone dwie kolejne gałęzie: P i N. Prawa strona drzewka. Główne rozgałęzienie w punktu startowego prowadzi do monety. Stąd mamy dwie gałęzie do dwóch wierzchołków: O, z której nie ma dalszych rozgałęzień oraz R, z którego poprowadzono dwie gałęzie: do wierzchołka O i wierzchołka R.

RBzkykfHJBWRC

Ćwiczenie 7

Strzelec strzela do tarczy tylko trzy razy. Prawdopodobieństwo trafienia do tarczy za pierwszym razem jest równe $0, 6$ . Po każdym strzale zmniejsza się o $0, 1$ . Sporządź odpowiednie drzewo i oblicz prawdopodobieństwo tego, że przy trzykrotnym strzale strzelec trafi co najmniej raz.

$p = 1 - 0, 4 \cdot 0, 5 \cdot 0, 6 = 1 - 0, 12 = 0, 88$ .

Ćwiczenie 8

W urnie znajduje się $n$ kul ( $n \geq 5$ ), w tym $5$ zielonych. Z urny losujemy kolejno bez zwracania dwie kule.

Znajdź liczbę $n$ , dla której prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kul zielonych jest większe od $\frac{1}{3}$ .

$\frac{20}{n (n - 1)} > \frac{1}{3}$ i $n \geq 5$

Stąd po przekształceniach

$n^{2} - n - 60 < 0$ i $n \geq 5$

$∆ = 241$

$n_{1} = \frac{1 - \sqrt{241}}{2}$ ,

$n_{1} = \frac{1 + \sqrt{241}}{2}$

Odpowiedź:

$n \in \{5, 6, 7, 8\}$ .

Infografika

Dla nauczyciela