Załóżmy, że płaszczyzna $\pi$ zawierająca $k$ przecina prostą $l$ w punkcie $A$. Gdyby ta płaszczyzna miała jeszcze jeden punkt wspólny z $l$, to cała prosta leżałaby na tej płaszczyźnie. Ale proste $k$, $l$ są skośne więc nie mogą leżeć w jednej płaszczyźnie. Stąd $\pi$ przecina prostą $l$ tylko w punkcie $A$.

Ponieważ proste $l\text{'}$ i $l\text{'}\text{'}$ są równoległe do prostej $l$, to są równoległe do siebie, więc leżą w jednej płaszczyźnie $\pi$. Na tej płaszczyźnie leżą też punkty $A$ i $B$ prostej $k$. Stąd cała prosta $k$ leży na płaszczyźnie $\pi$. Stąd ${\pi }_1=\pi ={\pi }_2$.

Ściany $ABCD$ i $EFGH$ leżą w płaszczyznach równoległych zawierających podane krawędzie $AD$ i $FG$, odpowiednio. Zatem kąt między tymi krawędziami jest równy kątowi między prostą $AD$ i prostą równoległą do $FG$ poprowadzoną przez punkt $D$. Ta prosta jest równoległa do $BC$. Niech $D\text{'}$ będzie punktem przecięcia tej prostej z $AB$.

RgZj2r57WUyXU

Ilustracja

Przy oznaczeniach z rysunku $\mathrm{tg}\alpha =0,04=\frac{\left|AD\text{'}\right|}{\left|DD\text{'}\right|}=\frac{\left|AD\text{'}\right|}{\left|BC\right|}=\frac{\left|AD\text{'}\right|}{50}$. Stąd $\left|AD\text{'}\right|=50·0,04=2$.

Ponieważ $BCDD\text{'}$ jest prostokątem, to $\left|BD\text{'}\right|=\left|CD\right|=2$. Ostatecznie największa głębokość basenu odpowiada długości $\left|AB\right|=2+2=4$, czyli $4$ metry.

Sposób 1.

R1J8swA7Z6spE

Ilustracja

Objętość basenu jest sumą objętości prostopadłościanu o bokach długości $50 \mathrm{m}$, $25 \mathrm{m}$, $2 \mathrm{m}$ oraz objętości bryły powstałej z przecięcia prostopadłościanu o bokach długości $50 \mathrm{m}$, $25 \mathrm{m}$, $2 \mathrm{m}$ płaszczyzną przechodzącą przez przekątne jego przeciwległych ścian bocznych. Objętość tej bryły jest połową objętości prostopadłościanu. Ostatecznie, objętość basenu jest równa $V=50·25·2+\frac{1}{2}·50·25·2=3750$ metrów sześciennych, czyli $3750000$ litrów.

Sposób 2.

Objętość basenu jest równa objętości graniastosłupa o podstawie trapezu $ABCD$ i wysokości $25 \mathrm{m}$, czyli $\mathrm{V}=\frac{2+4}{2}·50·25=3750$ metrów sześciennych, czyli $3750000$ litrów.

Proste skośne do $AD$, to $FG$, $GH$, $EF$, $BF$, $CG$.

Rrb3aGPBk631t

Ilustracja przedstawia prostopadłościan z odciętą częścią dolnej podstawy. Płaszczyzna cięcia jest prostokątem przechodzącym przez krótszą krawędź dolnej podstawy oraz środek naprzeciwległej krótszej ściany bocznej prostopadłościanu. Ścianami bocznymi bryły stał się trapez prostokątny o podstawie dłuższej podstawie A B oraz krótszej podstawie C D. Z drugiej strony ściana boczna jest również trapezem prostokątnym o dłuższej podstawie E F oraz krótszej podstawie G H. Przez odcinek A D poprowadzono pomarańczową prostą, natomiast przez odcinek F G poprowadzono zieloną prostą. Zaznaczono również proste skośne do prostej A D, są nimi prosta F G, prosta G H, prosta E F, prosta B F oraz prosta C G.

Prosta $AD$ leży w płaszczyźnie wyznaczonej przez ścianę $ABCD$, natomiast proste $FG$, $GH$, $EF$ leżą w płaszczyźnie $EFGH$ równoległej do $ABCD$. Zatem odległość prostej $AD$ od każdej z prostych $FG$, $GH$, $EF$ jest taka sama i jest równa odległości między ścianami $ABCD$ i $EFGH$, czyli $25 \mathrm{m}$. 

Prosta $CG$ leży w płaszczyźnie $CGC\text{'}G\text{'}$ równoległej do płaszczyzny $AEHD$, natomiast prosta $BF$ leży w płaszczyźnie $BFB\text{'}F\text{'}$ równoległej do płaszczyzny $AEHD$. Należy wyznaczyć odległości między tymi płaszczyznami.

RRnquvU8umLtt

Ilustracja przedstawia prostopadłościan z odciętą częścią dolnej podstawy. Płaszczyzna cięcia jest prostokątem przechodzącym przez krótszą krawędź dolnej podstawy oraz środek naprzeciwległej krótszej ściany bocznej prostopadłościanu. Ścianami bocznymi bryły stał się trapez prostokątny o podstawie dłuższej podstawie A B oraz krótszej podstawie C D. Z drugiej strony ściana boczna jest również trapezem prostokątnym o dłuższej podstawie E F oraz krótszej podstawie G H. Przez odcinek A D poprowadzono pomarańczową prostą, natomiast przez odcinek F G poprowadzono zieloną prostą. Zaznaczono również proste skośne do prostej A D, są nimi prosta F G, prosta G H, prosta E F, prosta B F oraz prosta C G. Nad punktem C i G utworzono punkty B prim i F prim. Powstała płaszczyzna B B prim F prim F, równoległa do płaszczyzny w której znajduje się prosta A D. Pod punktami B i F zaznaczono punkty C bis i G bis. Powstała druga płaszczyzna C G G bis C bis, również równoległa do płaszczyzny, w której znajduje się prosta A D.

Rozważmy równoległoboki $ADC\text{'}C$ i $ADB\text{'}B$.

RIN3wXzfDEcNQ

Ilustracja przedstawia równoległobok A D B prim B. Na środku boku A B powstał punkt C prim i został połączony z punktem C znajdującym się na środku boku D B prim. Powstał odcinek B C który jest prostokątny do odcinka A B oraz trójkąt prostokątny C B C prim z kątem prostym w punkcie B. Z punktu C prim poprowadzono prostą styczną w punkcie S z prostą A D. Powstał trójkąt A S C prim.

Odległość płaszczyzny $CGC\text{'}G\text{'}$ od płaszczyzny $AEHD$ jest równa wysokości $C\text{'}S$ równoległoboku $ADCC\text{'}$. Aby wyznaczyć długość tej wysokości zauważamy, że na mocy cechy $kkk$ trójkąty $C\text{'}BC$ i $C\text{'}SA$ są podobne – mają kąt prosty  oraz $\sphericalangle C\text{'}AS=\sphericalangle CC\text{'}B$ jako kąty odpowiadające.

Stąd ${\left|C\text{'}C\right|}^2=2^2+{50}^2=2504$, $\left|C\text{'}C\right|=\sqrt{2504}$ i stąd $\frac{\left|C\text{'}A\right|}{\left|C\text{'}C\right|}=\frac{\left|C\text{'}S\right|}{\left|BC\right|}$, czyli

$\left|C\text{'}S\right|=\frac{2·50}{\sqrt{2504}}=\frac{2·50·\sqrt{2504}}{2504}=\frac{25·2\sqrt{626}}{626}=\frac{25\sqrt{626}}{313}$.

Odległość płaszczyzny $BFB\text{'}F\text{'}$ od płaszczyzny $AEHD$ jest równa podwojonej długości wysokości $C\text{'}S$, czyli $\frac{50\sqrt{626}}{313}$.

Odległość prostej $AD$ od prostych $FG$, $GH$, $EF$ wynosi $25 \mathrm{m}$.

Odległość prostej $AD$ od prostej $CG$ wynosi $\frac{25\sqrt{626}}{313}$, czyli w przybliżeniu $1,998 \mathrm{m}$.

Odległość prostej $AD$ od prostej $BF$ wynosi $\frac{50\sqrt{626}}{313}$, czyli w przybliżeniu $3,997 \mathrm{m}$.