Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

R180uFN8GrqrU1

Ćwiczenie 1

Zaznacz wszystkie zdania prawdziwe.

Jeśli obie strony pierwszego równania danego układu równań pomnożymy przez liczbę różną od zera, to nie otrzymamy układu równoważnego danemu.
Jeśli zamienimy kolejność równań w układzie, to otrzymany układ nie jest równoważny danemu.
Jeśli z jednego równania układu równań wyznaczymy jedną niewiadomą i otrzymane wyrażenie podstawimy do drugiego równania, to układ równań złożony z pierwszego równania i tak przekształconego drugiego równania jest równoważny danemu.
Jeśli każde z równań układu przekształcimy równoważnie do najprostszej postaci, to otrzymamy układ równoważny danemu.
Jeśli obie strony pierwszego z równań danego układu równań pomnożymy przez liczbę ujemną, a następnie równania te dodamy stronami i tak otrzymanym równaniem zastąpimy jedno z równań układu, to otrzymamy układ równań równoważny danemu.

RklgHmhauCDh011

Ćwiczenie 2

Połącz w pary układy równań równoważnych.

\{\begin{cases} 2 \cdot (x + 6) + 3 \cdot (y + 2) = 5 \\ x + y - 2 \cdot (x - 2 y) = 4 \end{cases}

Możliwe odpowiedzi: 1.

\{\begin{cases} 2 x + 18 + 3 y = 5 \\ x + y - 2 x + 4 y = 4 \end{cases}

, 2.

\{\begin{cases} y = 6 \\ 4 x - 5 y = 1 \end{cases}

, 3.

\{\begin{cases} - x + y = 1 \\ 6 x + y = 13 \end{cases}

, 4.

\{\begin{cases} 5 x - 7 y = 6 \\ 5 x + y = 30 \end{cases}

\{\begin{cases} 6 \cdot (x - 2 y) - (2 - 5 y) = x + 4 \\ \frac{x + y}{2} + \frac{x - y}{3} = 5 \end{cases}

Możliwe odpowiedzi: 1.

\{\begin{cases} 2 x + 18 + 3 y = 5 \\ x + y - 2 x + 4 y = 4 \end{cases}

, 2.

\{\begin{cases} y = 6 \\ 4 x - 5 y = 1 \end{cases}

, 3.

\{\begin{cases} - x + y = 1 \\ 6 x + y = 13 \end{cases}

, 4.

\{\begin{cases} 5 x - 7 y = 6 \\ 5 x + y = 30 \end{cases}

\{\begin{cases} \frac{2 x - y}{2} - \frac{3 x - 2 y}{3} = 1 \\ \frac{x}{5} - \frac{y}{4} = \frac{1}{20} \end{cases}

Możliwe odpowiedzi: 1.

\{\begin{cases} 2 x + 18 + 3 y = 5 \\ x + y - 2 x + 4 y <mo>= 4 \end{cases}

, 2.

\{\begin{cases} y = 6 \\ 4 x - 5 y = 1 \end{cases}

, 3.

\{\begin{cases} - x + y = 1 \\ 6 x + y = 13 \end{cases}

, 4.

\{\begin{cases} 5 x - 7 y = 6 \\ 5 x + y = 30 \end{cases}

\{\begin{cases} {(x - 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = x^{2} + y^{2} + 4 \\ (x - 2) (x + 2) + y = {(x - 3)}^{2} \end{cases}

Możliwe odpowiedzi: 1.

\{\begin{cases} 2 x + 18 + 3 y = 5 \\ x + y - 2 x + 4 y = 4 \end{cases}

, 2.

\{\begin{cases} y = 6 \\ 4 x - 5 y = 1 \end{cases}

, 3.

\{\begin{cases} - x + y = 1 \\ 6 x + y = 13 \end{cases}

, 4.

\{\begin{cases} 5 x - 7 y = 6 \\ 5 x + y = 30 \end{cases}

Połącz w pary równoważne układy równań .

$"{"\begin{array}{c} 2 \cdot (x + 6) + 3 \cdot (y + 2) = 5 \\ x + y - 2 \cdot (x - 2 y) = 4 \end{array}""$
$"{"\begin{array}{c} 6 \cdot (x - 2 y) - (2 - 5 y) = x + 4 \\ \frac{x + y}{2} + \frac{x - y}{3} = 5 \end{array}""$
$"{"\begin{array}{c} \frac{2 x - y}{2} - \frac{3 x - 2 y}{3} = 1 \\ \frac{x}{5} - \frac{y}{4} = \frac{1}{20} \end{array}""$
$"{"\begin{array}{c} {(x - 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = x^{2} + y^{2} + 4 \\ (x - 2) (x + 2) + y = {(x - 3)}^{2} \end{array}""$

RDPZB1sokUkZX1

Ćwiczenie 3

Ułóż równoważne układy równań w kolejności zgodnej z opisanymi przekształceniami.
1. Mnożymy przez

2

obie strony pierwszego równania.
2. Dodajemy równania stronami i zapisujemy tak otrzymane równanie jako pierwsze równanie w układzie. Drugie równanie pozostaje bez zmian.
3. Redukujemy wyrażenia podobne w pierwszym równaniu. Obliczamy wartość niewiadomej

y

.
4. Podstawienie otrzymanej wartości

y

do drugiego równania. Zmiana kolejności równań w układzie.
5. Obliczamy wartość niewiadomej

x

\{\begin{cases} 0, 5 x - 2 y = - 10 \\ x + 3 y = 22 \end{cases}

Elementy do uszeregowania:

Ułóż równoważne układy równań w kolejności zgodnej z opisanymi przekształceniami.
1. Mnożymy przez $2$ obie strony pierwszego równania.
2. Dodajemy równania stronami i zapisujemy tak otrzymane równanie jako pierwsze równanie w układzie. Drugie równanie pozostaje bez zmian.
3. Redukujemy wyrażenia podobne w pierwszym równaniu. Obliczamy wartość niewiadomej $y$ .
4. Podstawienie otrzymanej wartości $y$ do drugiego równania. Zmiana kolejności równań w układzie.
5. Obliczamy wartość niewiadomej $x$ .

$"{"\begin{array}{c} - 0, 5 x + 2 y = 10 \\ x + 3 y = 22 \end{array}""$

$"{"\begin{array}{c} - x + 4 y = 20 \\ x + 3 y = 22 \end{array}""$
$"{"\begin{array}{c} x = 4 \\ y = 6 \end{array}""$
$"{"\begin{array}{c} 4 y + 3 y = 20 + 22 \\ x + 3 y = 22 \end{array}""$
$"{"\begin{array}{c} y = 6 \\ x + 3 y = 22 \end{array}""$
$"{"\begin{array}{c} x + 3 \cdot 6 = 22 \\ y = 6 \end{array}""$

R1bcmkmoz7qDa2

Ćwiczenie 4

Przyciągnij opis przekształcenia, jakie należało wykonać, aby otrzymać każdy kolejny równoważny układ równań.

$"{"\begin{array}{c} 5 x - 3 x - 3 y - 10 = 8 - x - 4 y \\ - 2 x - 3 y = 16 \end{array}""$ , $"{"\begin{array}{c} 3 x + y = 18 \\ - 2 x - 3 y = 16 \end{array}""$ , $"{"\begin{array}{c} y = 18 - 3 x \\ - 2 x - 3 \cdot (18 - 3 x) = 16 \end{array}""$ , $"{"\begin{array}{c} y = 18 - 3 x \\ - 2 x - 54 + 9 x = 16 \end{array}""$ , $"{"\begin{array}{c} y = 18 - 3 x \\ 7 x = 70 \end{array}""$ , $"{"\begin{array}{c} y = 18 - 3 x \\ x = 10 \end{array}""$ , $"{"\begin{array}{c} x = 10 \\ y = 18 - 3 \cdot 10 \end{array}""$ , $"{"\begin{array}{c} x = 10 \\ y = - 12 \end{array}""$

Przekształcenie	$"{"\begin{array}{c} 5 x - 3 \cdot (x + y) - 10 = 8 - (x + 4 y) \\ - 2 x - 3 y = 16 \end{array}""$
	$"{"\begin{array}{c} 5 x - 3 x - 3 y - 10 = 8 - x - 4 y \\ - 2 x - 3 y = 16 \end{array}""$
	$"{"\begin{array}{c} 3 x + y = 18 \\ - 2 x - 3 y = 16 \end{array}""$
	$"{"\begin{array}{c} y = 18 - 3 x \\ - 2 x - 3 \cdot (18 - 3 x) = 16 \end{array}""$
	$"{"\begin{array}{c} y = 18 - 3 x \\ - 2 x - 54 + 9 x = 16 \end{array}""$
	$"{"\begin{array}{c} y = 18 - 3 x \\ 7 x = 70 \end{array}""$
	$"{"\begin{array}{c} y = 18 - 3 x \\ x = 10 \end{array}""$
	$"{"\begin{array}{c} x = 10 \\ y = 18 - 3 \cdot 10 \end{array}""$
	$"{"\begin{array}{c} x = 10 \\ y = - 12 \end{array}""$

RexdNQNkdsUka2

Ćwiczenie 5

Dany układ równań przekształcano równoważnie, tak aby doprowadzić go do najprostszej postaci i uzyskać jego rozwiązanie.
Podaj poprawną kolejność zapisu.

\{\begin{cases} \frac{2 x - y}{3} - \frac{2 y - x}{2} = \frac{1}{6} \\ 2 \cdot (x + y) - 3 \cdot (y - x) = - 4 \end{cases}

Elementy do uszeregowania: 1.

\{\begin{cases} x = - 1 \\ y = - 1 \end{cases}

, 2.

\{\begin{cases} 7 x - 40 x - 32 = 1 \\ y = 5 x + 4 \end{cases}

, 3.

\{\begin{cases} 4 x - 2 y - 6 y + 3 x = 1 \\ 5 x - y = - 4 \end{cases}

, 4.

\{\begin{cases} 7 x - 8 y = 1 \\ y = 5 x + 4 \end{cases}

, 5.

\{\begin{cases} x = - 1 \\ y = 5 \cdot (- 1) + 4 \end{cases}

, 6.

<mfenced open="{" close=""> \begin{array}{l} 7 x - 8 \cdot (5 x + 4) = 1 \\ y = 5 x + 4 \end{array}

, 7.

\{\begin{cases} 2 \cdot (2 x - y) - 3 \cdot (2 y - x) = 1 \\ 2 x + 2 y - 3 y + 3 x = - 4 \end{cases}

, 8.

\{\begin{cases} - 33 x = 33 \\ y = 5 x + 4 \end{cases}

Dany układ równań przekształcano równoważnie, tak aby doprowadzić go do najprostszej postaci i uzyskać jego rozwiązanie.
Podaj poprawną kolejność zapisu.

$"{"\begin{array}{c} \frac{2 x - y}{3} - \frac{2 y - x}{2} = \frac{1}{6} \\ 2 \cdot (x + y) - 3 \cdot (y - x) = - 4 \end{array}""$

$"{"\begin{array}{c} 7 x - 8 y = 1 \\ y = 5 x + 4 \end{array}""$
$"{"\begin{array}{c} 7 x - 40 x - 32 = 1 \\ y = 5 x + 4 \end{array}""$
$"{"\begin{array}{c} 4 x - 2 y - 6 y + 3 x = 1 \\ 5 x - y = - 4 \end{array}""$
$"{"\begin{array}{c} x = - 1 \\ y = - 1 \end{array}""$
$"{"\begin{array}{c} 7 x - 8 \cdot (5 x + 4) = 1 \\ y = 5 x + 4 \end{array}""$
$"{"\begin{array}{c} - 33 x = 33 \\ y = 5 x + 4 \end{array}""$
$"{"\begin{array}{c} 2 \cdot (2 x - y) - 3 \cdot (2 y - x) = 1 \\ 2 x + 2 y - 3 y + 3 x = - 4 \end{array}""$
$"{"\begin{array}{c} x = - 1 \\ y = 5 \cdot (- 1) + 4 \end{array}""$

RcaDKzG0fXKZK2

Ćwiczenie 6

Dany układ równań przekształcano równoważnie, tak aby doprowadzić go do najprostszej postaci i uzyskać jego rozwiązanie.
Podaj poprawną kolejność zapisu.

$"{"\begin{array}{c} {(x - 3)}^{2} - {(y - 2)}^{2} = (x - y) (x + y) + 9 \\ 6 \cdot (x + y) = 1 \end{array}""$

$"{"\begin{array}{c} x = - \frac{1}{3} \\ y = \frac{1}{2} \end{array}""$
$"{"\begin{array}{c} y = \frac{1}{2} \\ 6 x + 6 \cdot \frac{1}{2} = 1 \end{array}""$
$"{"\begin{array}{c} - 6 x + 4 y = 4 \\ 6 x + 6 y = 1 \end{array}""$
$"{"\begin{array}{c} 6 x = 1 - 3 \\ y = \frac{1}{2} \end{array}""$
$"{"\begin{array}{c} 4 y + 6 y = 4 + 1 \\ 6 x + 6 y = 1 \end{array}""$
$"{"\begin{array}{c} 10 y = 5 \\ 6 x + 6 y = 1 \end{array}""$
$"{"\begin{array}{c} - 6 x + 4 y + 5 = 9 \\ 6 x + 6 y = 1 \end{array}""$
$"{"\begin{array}{c} x^{2} - 6 x + 9 - y^{2} + 4 y - 4 = x^{2} - y^{2} + 9 \\ 6 x + 6 y = 1 \end{array}""$

Ćwiczenie 7

Przekształć równoważnie układ równań do najprostszej postaci. Podaj rozwiązanie tego układu.

$\{\begin{cases} 2 \cdot (3 y - x) + 5 \cdot (x - y) = 11 \\ \frac{x + y}{4} - 3 \cdot \frac{1 - x}{2} = \frac{15 + y}{4} \end{cases}$

$\{\begin{cases} 3 x + y = 11 \\ x = 3 \end{cases}$

$\{\begin{cases} x = 3 \\ y = 2 \end{cases}$ .

Ćwiczenie 8

Znajdź rozwiązanie układu równań, dodając do siebie odpowiednio przekształcone jego równania składowe.

$\{\begin{cases} {(2 x - 3)}^{2} - {(1 - 2 x)}^{2} = 3 \cdot (y + 1) \\ {(y - 4)}^{2} - {(3 - y)}^{2} = 2 \cdot (x + 2) \end{cases}$

$\{\begin{cases} 8 x + 3 y = 5 \\ 2 x + 2 y = 3 \end{cases}$

$\{\begin{cases} x = 0, 1 \\ y = 1, 4 \end{cases}$ .

Gra edukacyjna

Dla nauczyciela