Rozwiązujemy równanie:

$\sin 2x=\sin x$ wtedy i tylko wtedy, gdy $2x=x+2k\pi$ lub $2x=\pi -x+2k\pi$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

Punkty wspólne wykresów funkcji $y=\sin x$ i $y=\sin 2x$ są postaci:

$x=2k\pi$ lub $x=\frac{\pi }{3}+\frac{2k\pi }{3}$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

Rysujemy wykresy funkcji: $y=\sin x$ i $y=\sin 2x$.

RhslznedIFnfc

Rysunek przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od zera do dwóch pi oraz z pionową osią Y od minus półtora do dwóch. Na płaszczyźnie narysowano dwa wykresy funkcji, wykres funkcji y równa się sinus x, która ma okres równy dwa pi, a jej miejsca zerowe to punkty o współrzędnych $\left(0;0\right)$, $\left(\pi ;0\right)$, $\left(2\pi ;0\right)$. Druga funkcja określona jest wzorem y równa się 2 x i jest to funkcja sinus ściśnięta pionowo, to znaczy jej okres wynosi pi, natomiast wartości tej funkcji mają taki sam zakres, czyli zawierają się w przedziale obustronnie domkniętym od minus jeden do jeden. Miejsca zerowe tej funkcji to $\left(0;0\right)$, $\left(\frac{\pi }{2};0\right)$, $\left(\pi ;0\right)$, $\left(\frac{3\pi }{2};0\right)$, $\left(2\pi ;0\right)$.

Odczytujemy rozwiązanie nierówności: $x\in (\frac{\pi }{3}+2k\pi ,\pi +2k\pi )\cup (\frac{5\pi }{3}+2k\pi ,2\pi +2k\pi )$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

Wprowadźmy podstawienie: $t=\sin x$.

Rozwiązujemy nierówność wielomianową:

$4t^3+2t^2-2t-1>0$

$2t^2(2t+1)-(2t+1)>0$

$(2t+1)(2t^2-1)>0$

$(2t+1)(\sqrt{2}t-1)(\sqrt{2}t+1)>0$

$-\frac{\sqrt{2}}{2}<t<-\frac{1}{2}$ lub $\frac{\sqrt{2}}{2}<t$

Rozwiązujemy nierówności z funkcją sinus.

$-\frac{\sqrt{2}}{2}<\sin x<-\frac{1}{2}$ lub $\frac{\sqrt{2}}{2}<\sin x$.

$x\in (\frac{\pi }{4}+2k\pi ,\frac{3\pi }{4}+2k\pi )\cup (\frac{5\pi }{6}+2k\pi ,\frac{5\pi }{4}+2k\pi )\cup (\frac{7\pi }{4}+2k\pi ,\frac{13\pi }{6}+2k\pi )$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.