Wyznacz zysk jaki daje jedna sztuka trzody chlewnej, załóż, że $n$ będzie liczbą zakupionych sztuk trzody chlewnej. Następnie wyznacz ile będzie miał sztuk trzody chlewnej po dokupieniu, oraz zysk jednej trzody po dokupieniu.

Niech $n$ będzie liczbą zakupionych sztuk trzody chlewnej. Po dokupieniu $n$ sztuk trzody przez rolnika będzie hodował $n+500$ świń. Z treści zadania możemy wyznaczyć średni dochód dziennych z jednej sztuki trzody, wynosi on $5 \mathrm{zł}$. Po dokupieniu trzody chlewnej średni zysk jaki generuje jedna sztuka trzody będzie wynosił $5-0,005n$.

Określimy funkcje zysku

$Z\left(n\right)=\left(5-0,005n\right)\left(n+500\right)$

Upraszczając

$Z\left(n\right)=-0,005n^2+2,5n+2500$

Dziedziną będzie zbiór liczb naturalnych, ponieważ rolnik nie może dokupić np. pół sztuki trzody chlewnej

$D:n\in {\mathrm{\mathbb{N}}}_{\mathbb{+}}$

Wyznaczymy pochodną

$Z\text{'}\left(n\right)=-0,01n+2,5$

Miejscem zerowym pochodnej jest $n=250$, możemy zauważyć, że należy do dziedziny.

Naszkicujemy wykres pochodnej.

R1RJCrZ4jYYCm

Ilustracja przedstawia poziomą oś n z zaznaczonym na niej punktem 250; Przez punkt ten przebiega ukośna prosta podpisana Z prim nawias n zamknięcie nawiasu. Prosta biegnie od lewego górnego rogu ilustracji do prawego dolnego rogu. Część prostej biegnącą poniżej osi n opisano minusem, a część nad osią plusem.

Możemy zaobserwować, że funkcja rośnie w przedziale $n\in \left(0,250\right)$, oraz maleje w przedziale $n\in \left(250,\infty \right)$. Zatem dla $n=250$ funkcja osiąga największą wartość.

Gdy rolnik dokupi $250$ sztuk dochód osiągnie największą wartość.

Z danej objętości wyznacz wysokość, następnie uzależnij boki od jednej zmiennej korzystając z z twierdzenia Pitagorasa. Dane wyznaczone podstaw do pola powierzchni całkowitej.

Objętość stożka wynosi $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}H$, podstawiając objętość z zadania oraz wyznaczając wysokość otrzymujemy $H=\frac{12}{r^2}$. Z twierdzenia Pitagorasa mamy zależność $l=\sqrt{H^2+r^2}$.

Pole powierzchni całkowitej świeczki wynosi $P_c=\pi r^2+\pi rl$. Podstawiając otrzymujemy

$P_c\left(r\right)=\pi \left(r^2+r\sqrt{\frac{144}{r^4}+r^2}\right)$

Uprościmy

$P_c\left(r\right)=\pi \left(r^2+\sqrt{\frac{144}{r^2}+r^4}\right)$

Pamiętajmy, że długość promienia musi być liczbą dodatnią, więc dziedziną funkcji jest zbiór liczb nieujemnych:

$D:r\in \left(0,\infty \right)$

Następnie wyznaczymy pochodną, pod pierwiastkiem mamy pochodną złożoną

$P_c^{\text{'}}\left(r\right)=\pi \left(2r+\frac{1}{2\sqrt{\frac{144}{r^2}+r^4}}{\left(\frac{144}{r^2}+r^4\right)}^{\text{'}}\right)$

Kontynuując

$P_c^{\text{'}}\left(r\right)=\pi \left(2r+\frac{-\frac{144}{r^3}+2r^3}{\sqrt{\frac{144}{r^2}+r^4}}\right)$

Zapisując wyrażanie pod jedną kreską ułamkową

$P_c^{\text{'}}\left(r\right)=\pi \frac{2r\sqrt{\frac{144}{r^2}+r^4}-\frac{144}{r^3}+2r^3}{\sqrt{\frac{144}{r^2}+r^4}}$

Aby wyznaczyć miejsce zerowe wystarczy licznik ułamka przyrównać do zera, co można równoważnie zapisać równaniem:

$2r\sqrt{\frac{144}{r^2}+r^4}=\frac{144}{r^3}-2r^3$

Dzieląc przez $2r$ oraz podnosząc do kwadratu po uproszczeniu dostajemy

$\frac{288}{r^2}=\frac{5184}{r^8}$

Promień wynosi $\sqrt[6]{18}$.

Naszkicujemy wykres

R14u3wf9dBLSq

Ilustracja przedstawia poziomą oś X z zaznaczonym punktem pierwiastek szóstego stopnia z osiemnastu. Przez punkt ten przebiega łukowaty wykres funkcji rosnącej. Część wykresu znajdująca się pod osią X opisana jest minusem, a część nad osią opisana jest plusem.

Możemy zauważyć, że funkcja najpierw maleje a później rośnie, więc dla $r=\sqrt[6]{18}$ funkcja osiąga minimum. Wyznaczymy $H=\frac{2\sqrt[3]{18}}{3}$.

Pole powierzchni całkowitej przyjmuje najmniejszą wartość dla $r=\sqrt[6]{18}$ oraz $H=\frac{2\sqrt[3]{18}}{3}$.