Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Rno0oeNHRExbv

Ćwiczenie 2

Zapoznaj się z poniższym rysunkiem.

R16zR6zRBAcEs

Ilustracja przedstawia stożek z zaznaczonym promieniem o długości sześć i wysokością o długości sześć oraz tworzącą o długości l.

RIS4ggQDBcTQi

Ćwiczenie 3

R1X3t2QAV8D5P

RGvY4QpRa5prQ

Połącz w pary miary kąta z pasującymi do nich opisami. alfa, równa się, pięćdziesiąt stopni Możliwe odpowiedzi: 1. Ilustracja przedstawia stożek z zaznaczonym promieniem o długości pięć i tworzącą o długości dziesięć. Zaznaczono także kąt alfa znajdujący się pomiędzy ramionami trójkąta, który jest przekrojem osiowym stożka., 2. Ilustracja przedstawia stożek z zaznaczoną wysokością o długości osiem i tworzącą o długości dziesięć. Zaznaczono także kąt alfa znajdujący się pomiędzy wysokością a tworzącą stożka., 3. Ilustracja przedstawia stożek z zaznaczonym promieniem o długości pięć i wysokością o długości sześć. Zaznaczono także kąt alfa znajdujący się pomiędzy promieniem a tworzącą stożka. alfa, równa się, trzydzieści sześć stopni Możliwe odpowiedzi: 1. Ilustracja przedstawia stożek z zaznaczonym promieniem o długości pięć i tworzącą o długości dziesięć. Zaznaczono także kąt alfa znajdujący się pomiędzy ramionami trójkąta, który jest przekrojem osiowym stożka., 2. Ilustracja przedstawia stożek z zaznaczoną wysokością o długości osiem i tworzącą o długości dziesięć. Zaznaczono także kąt alfa znajdujący się pomiędzy wysokością a tworzącą stożka., 3. Ilustracja przedstawia stożek z zaznaczonym promieniem o długości pięć i wysokością o długości sześć. Zaznaczono także kąt alfa znajdujący się pomiędzy promieniem a tworzącą stożka. alfa, równa się, sześćdziesiąt stopni Możliwe odpowiedzi: 1. Ilustracja przedstawia stożek z zaznaczonym promieniem o długości pięć i tworzącą o długości dziesięć. Zaznaczono także kąt alfa znajdujący się pomiędzy ramionami trójkąta, który jest przekrojem osiowym stożka., 2. Ilustracja przedstawia stożek z zaznaczoną wysokością o długości osiem i tworzącą o długości dziesięć. Zaznaczono także kąt alfa znajdujący się pomiędzy wysokością a tworzącą stożka., 3. Ilustracja przedstawia stożek z zaznaczonym promieniem o długości pięć i wysokością o długości sześć. Zaznaczono także kąt alfa znajdujący się pomiędzy promieniem a tworzącą stożka.

Ćwiczenie 4

RdQQYMEGOOZ68

Ćwiczenie 5

R1P5BqGbe10IA

Ćwiczenie 6

Rp9XJoIawFh4W

Ćwiczenie 7

Oblicz miarę kąta rozwarcia stożka, w którym promień podstawy ma długość $6$ , a tworząca długość $8$ .

Narysujmy stożek, zaznaczmy odpowiedni kąt oraz wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku.

R1dLG5ydyve89

Ilustracja przedstawia stożek o promieniu podstawy r oraz kąt alfa będącym kątem rozwarcia stożka. Został zaznaczony przy wierzchołku stożka, pomiędzy ramionami trójkąta o długości l, który jest przekrojem osiowym stożka.

Z zadania wiadomo, że $r = 6$ oraz $l = 8$ . Do wyznaczenia miary kąta użyjemy twierdzenia cosinusów.

Zatem:

${(2 r)}^{2} = l^{2} + l^{2} - 2 \cdot l \cdot l \cdot \cos α$

$12^{2} = 8^{2} + 8^{2} - 2 \cdot 8 \cdot 8 \cdot \cos α$

$144 = 64 + 64 - 128 \cdot \cos α$

$16 = - 128 \cdot \cos α$

$\cos α = - \frac{16}{128} = - \frac{1}{8} = - 0, 125$ .

Jeżeli skorzystamy z zależności $\cos (180 ° - α) = - \cos α$ dla $α \in (0 °, 90 °)$ , to $α \approx 97 °$ .

Ćwiczenie 8

Kąt rozwarcia stożka ma miarę $α$ , a pole trójkąta o bokach $l$ , $l$ i $2 r$ , gdzie $l$ jest długością tworzącej stożka, a $r$ długością promienia podstawy, jest równe $S$ .

Oblicz pole powierzchni całkowitej tego stożka.

Narysujmy stożek, zaznaczmy odpowiedni kąt oraz wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku.

R1dLG5ydyve89

Ponieważ pole trójkąta o bokach $l$ , $l$ i $2 r$ jest równe $S$ , zatem:

$S = \frac{1}{2} \cdot l^{2} \cdot \sin α$

$l = \sqrt{\frac{2 S}{\sin α}}$ .

Korzystając z twierdzenia cosinusów, mamy:

${(2 r)}^{2} = 2 l^{2} - 2 l^{2} \cdot \cos α$

$r = l \cdot \sqrt{\frac{1 - \cos α}{2}}$

$r = \sqrt{\frac{2 S}{\sin α} \cdot} \sqrt{\frac{1 - \cos α}{2}} = \sqrt{\frac{S \cdot (1 - \cos α)}{\sin α}}$ .

Zatem pole powierzchni całkowitej stożka wynosi:

$P_{c} = π \cdot {(\sqrt{\frac{S \cdot (1 - \cos α)}{\sin α}})}^{2} + π \cdot \sqrt{\frac{S \cdot (1 - \cos α)}{\sin α}} \cdot \sqrt{\frac{2 S}{\sin α}} =$

$= π \cdot \frac{S (1 - \cos α)}{\sin α} + π \cdot \frac{S}{\sin α} \sqrt{2 - 2 \cos α} =$

$= \frac{π S}{\sin α} \cdot (1 - \cos α + \sqrt{2 - 2 \cos α})$ .

Galeria zdjęć interaktywnych

Dla nauczyciela