Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Rno0oeNHRExbv

Zaznacz zdanie, które jest prawdziwe.

Miara kąta rozwarcia stożka jest równa podwojonej mierze kąta pomiędzy tworzącą stożka a jego wysokością.
Jeżeli tworząca stożka jest równa średnicy podstawy, to miara kąta pomiędzy tą tworzącą a wysokością stożka wynosi $60 °$ .
W każdym stożku długość promienia podstawy jest równa połowie długości jego tworzącej.

Ćwiczenie 2

Zapoznaj się z poniższym rysunkiem.

R16zR6zRBAcEs

Ilustracja przedstawia stożek z zaznaczonym promieniem o długości sześć i wysokością o długości sześć oraz tworzącą o długości l.

RIS4ggQDBcTQi

Ćwiczenie 3

R1X3t2QAV8D5P

RGvY4QpRa5prQ

Połącz w pary miary kąta z pasującymi do nich opisami.

α = 50 °

Możliwe odpowiedzi: 1. Ilustracja przedstawia stożek z zaznaczonym promieniem o długości pięć i tworzącą o długości dziesięć. Zaznaczono także kąt alfa znajdujący się pomiędzy ramionami trójkąta, który jest przekrojem osiowym stożka., 2. Ilustracja przedstawia stożek z zaznaczoną wysokością o długości osiem i tworzącą o długości dziesięć. Zaznaczono także kąt alfa znajdujący się pomiędzy wysokością a tworzącą stożka., 3. Ilustracja przedstawia stożek z zaznaczonym promieniem o długości pięć i wysokością o długości sześć. Zaznaczono także kąt alfa znajdujący się pomiędzy promieniem a tworzącą stożka.

α = 36 °

α = 60 °

Ćwiczenie 4

RdQQYMEGOOZ68

Wstaw w tekst odpowiednie liczby. Jeżeli w stożku długość tworzącej jest trzy razy większa od promienia podstawy, to kąt pomiędzy wysokością stożka a jego tworzącą ma miarę około 1.

60 °

, 2.

15 °

, 3.

19 °

, 4.

30 °

, 5.

71 °

, 6.

75 °

.
Jeżeli w stożku długość tworzącej jest cztery razy większa od wysokości, to miara kąta pomiędzy wysokością stożka a jego tworzącą wynosi około 1.

60 °

, 2.

15 °

, 3.

19 °

, 4.

30 °

, 5.

71 °

, 6.

75 °

.
Jeżeli w stożku długość promienia podstawy jest dwa razy krótsza od tworzącej, to kąt pomiędzy wysokością stożka a jego tworzącą ma miarę 1.

60 °

, 2.

15 °

, 3.

19 °

, 4.

30 °

, 5.

71 °

, 6.

75 °

Wstaw w tekst odpowiednie liczby.

$75 °$ , $30 °$ , $15 °$ , $19 °$ , $60 °$ , $71 °$

Jeżeli w stożku długość tworzącej jest trzy razy większa od promienia podstawy, to kąt pomiędzy wysokością stożka a jego tworzącą ma miarę około .............
Jeżeli w stożku długość tworzącej jest cztery razy większa od wysokości, to miara kąta pomiędzy wysokością stożka a jego tworzącą wynosi około .............
Jeżeli w stożku długość promienia podstawy jest dwa razy krótsza od tworzącej, to kąt pomiędzy wysokością stożka a jego tworzącą ma miarę .............

Ćwiczenie 5

R1P5BqGbe10IA

Jeżeli pole podstawy stożka wynosi $8 π$ , a kąt między tworzącą stożka a promieniem podstawy ma miarę $60 °$ , to wysokość stożka ma długość:

$2 \sqrt{6}$
$4 \sqrt{3}$
$2 \sqrt{2}$

Ćwiczenie 6

Rp9XJoIawFh4W

Uzupełnij tekst odpowiednimi liczbami. Jeżeli przekrojem osiowym stożka jest trójkąt równoboczny, to kąt rozwarcia stożka ma miarę Tu uzupełnij stopni. Jeżeli przekrojem osiowym stożka jest trójkąt prostokątny równoramienny, to kąt rozwarcia stożka ma miarę Tu uzupełnij stopni. Jeżeli przekrojem osiowym stożka jest trójkąt równoramienny o kącie przy podstawie

40

stopni, to kąt rozwarcia stożka ma miarę Tu uzupełnij stopni.

Uzupełnij tekst odpowiednimi liczbami.

Jeżeli przekrojem osiowym stożka jest trójkąt równoboczny, to kąt rozwarcia stożka ma miarę ............ stopni.
Jeżeli przekrojem osiowym stożka jest trójkąt prostokątny równoramienny, to kąt rozwarcia stożka ma miarę ............ stopni.
Jeżeli przekrojem osiowym stożka jest trójkąt równoramienny o kącie przy podstawie $40$ stopni, to kąt rozwarcia stożka ma miarę ............ stopni.

Ćwiczenie 7

Oblicz miarę kąta rozwarcia stożka, w którym promień podstawy ma długość $6$ , a tworząca długość $8$ .

Narysujmy stożek, zaznaczmy odpowiedni kąt oraz wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku.

R1dLG5ydyve89

Ilustracja przedstawia stożek o promieniu podstawy r oraz kąt alfa będącym kątem rozwarcia stożka. Został zaznaczony przy wierzchołku stożka, pomiędzy ramionami trójkąta o długości l, który jest przekrojem osiowym stożka.

Z zadania wiadomo, że $r = 6$ oraz $l = 8$ . Do wyznaczenia miary kąta użyjemy twierdzenia cosinusów.

Zatem:

${(2 r)}^{2} = l^{2} + l^{2} - 2 \cdot l \cdot l \cdot \cos α$

$12^{2} = 8^{2} + 8^{2} - 2 \cdot 8 \cdot 8 \cdot \cos α$

$144 = 64 + 64 - 128 \cdot \cos α$

$16 = - 128 \cdot \cos α$

$\cos α = - \frac{16}{128} = - \frac{1}{8} = - 0, 125$ .

Jeżeli skorzystamy z zależności $\cos (180 ° - α) = - \cos α$ dla $α \in (0 °, 90 °)$ , to $α \approx 97 °$ .

Ćwiczenie 8

Kąt rozwarcia stożka ma miarę $α$ , a pole trójkąta o bokach $l$ , $l$ i $2 r$ , gdzie $l$ jest długością tworzącej stożka, a $r$ długością promienia podstawy, jest równe $S$ .

Oblicz pole powierzchni całkowitej tego stożka.

Narysujmy stożek, zaznaczmy odpowiedni kąt oraz wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku.

R1dLG5ydyve89

Ponieważ pole trójkąta o bokach $l$ , $l$ i $2 r$ jest równe $S$ , zatem:

$S = \frac{1}{2} \cdot l^{2} \cdot \sin α$

$l = \sqrt{\frac{2 S}{\sin α}}$ .

Korzystając z twierdzenia cosinusów, mamy:

${(2 r)}^{2} = 2 l^{2} - 2 l^{2} \cdot \cos α$

$r = l \cdot \sqrt{\frac{1 - \cos α}{2}}$

$r = \sqrt{\frac{2 S}{\sin α} \cdot} \sqrt{\frac{1 - \cos α}{2}} = \sqrt{\frac{S \cdot (1 - \cos α)}{\sin α}}$ .

Zatem pole powierzchni całkowitej stożka wynosi:

$P_{c} = π \cdot {(\sqrt{\frac{S \cdot (1 - \cos α)}{\sin α}})}^{2} + π \cdot \sqrt{\frac{S \cdot (1 - \cos α)}{\sin α}} \cdot \sqrt{\frac{2 S}{\sin α}} =$

$= π \cdot \frac{S (1 - \cos α)}{\sin α} + π \cdot \frac{S}{\sin α} \sqrt{2 - 2 \cos α} =$

$= \frac{π S}{\sin α} \cdot (1 - \cos α + \sqrt{2 - 2 \cos α})$ .

Galeria zdjęć interaktywnych

Dla nauczyciela