Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

R1P2I4RXWLw5s1

Ćwiczenie 1

Ri4Vm5leS7tsB1

Ćwiczenie 2

RyvlWmSMgE6zH2

Ćwiczenie 3

R4lCA0JR2sN9o2

Ćwiczenie 4

RvmIHhAngaCIS2

Ćwiczenie 5

RjCjeZj4NcMFs2

Ćwiczenie 6

Ćwiczenie 7

Liczby $a$ , $b$ , $c$ w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny.

Jeżeli drugą z tych liczb podzielimy przez dwa, a trzecią przez trzy, to również otrzymamy ciąg arytmetyczny.

Jeżeli natomiast pierwszą z tych liczb podzielimy przez trzy, a do trzeciej dodamy dwa, to też otrzymamy ciąg arytmetyczny. Znajdź liczby $a$ , $b$ , $c$ .

$(a, b, c)$ – ciąg arytmetyczny, czyli $2 b = a + c$

$(a, \frac{b}{2}, \frac{c}{3})$ – ciąg arytmetyczny, czyli $b = a + \frac{c}{3}$

$(\frac{a}{3}, b, c + 2)$ – ciąg arytmetyczny, czyli $2 b = \frac{a}{3} + c + 2$

Otrzymujemy układ równań.

$\{\begin{cases} 2 b = a + c \\ b = a + \frac{c}{3} \\ 2 b = \frac{a}{3} + c + 2 \end{cases}$

Przekształcamy układ równań, wyznaczając $a$ .

$\{\begin{cases} 2 (a + \frac{c}{3}) = a + c \\ b = a + \frac{c}{3} \\ 2 (a + \frac{c}{3}) = \frac{a}{3} + c + 2 \end{cases}$

$\{\begin{cases} 2 (a + \frac{c}{3}) = a + c \\ b = a + \frac{c}{3} \\ a + c = \frac{a}{3} + c + 2 \end{cases}$

$\{\begin{cases} 2 (a + \frac{c}{3}) = a + c \\ b = a + \frac{c}{3} \\ a = 3 \end{cases}$

Znajdujemy liczbę $c$ .

$\{\begin{cases} 2 (3 + \frac{c}{3}) = 3 + c \\ b = a + \frac{c}{3} \\ a = 3 \end{cases}$

$\{\begin{cases} c = 9 \\ b = a + \frac{c}{3} \\ a = 3 \end{cases}$

Wyznaczamy liczbę $b$ .

$\{\begin{cases} c = 9 \\ b = 3 + \frac{9}{3} \\ a = 3 \end{cases}$

$\{\begin{cases} a = 3 \\ b = 6 \\ c = 9 \end{cases}$

Odpowiedź:

Szukane liczby to: $a = 3$ , $b = 6$ , $c = 9$ .

Ćwiczenie 8

Wykaż, że jeśli w ciągu arytmetycznym $(a_{n})$ średnia arytmetyczna wyrazów $a_{4}$ i $a_{6}$ jest równa wyrazowi $a_{2}$ , to ciąg ten jest ciągiem stałym.

Na podstawie zależności między trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, możemy zapisać, że

$\frac{a_{4} + a_{6}}{2} = a_{5}$

Z treści zadania wynika, że

$\frac{a_{4} + a_{6}}{2} = a_{2}$

Zatem:

$a_{5} = \frac{a_{4} + a_{6}}{2} = a_{2}$

$a_{5} = a_{2}$

Czyli:

$a_{5} = a_{2}$

Oznaczmy:
$r$ – różnica ciągu

Wtedy:

$a_{1} + 4 r = a_{1} + 2 r$

$r = 0$

Jeśli różnica ciągu arytmetycznego jest równa $0$ , to ciąg jest stały, co należało wykazać.

Film samouczek

Dla nauczyciela