Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

R1P2I4RXWLw5s1

Ćwiczenie 1

W ciągu arytmetycznym $(a_{n})$ wyraz $a_{100} = 8$ i wyraz $a_{102} = 18$ . Zatem wyraz $a_{101}$ jest równy:

$10$
$12$
$13$
$14$

Ri4Vm5leS7tsB1

Ćwiczenie 2

Zaznacz poprawną odpowiedź. Ciąg $(- 24, x, y, 3)$ jest ciągiem arytmetycznym. Zatem:

$x - y = - 6$
$x - y = 3$
$x - y = 9$
$x - y = - 9$

RyvlWmSMgE6zH2

Ćwiczenie 3

W każde wolne pole wpisz taką liczbę dodatnią, aby uzyskany ciąg był ciągiem arytmetycznym.

$(18,$ ............ $, 2)$

$(64,$ ............ $, 36)$

$(3,$ ............ $, 13,$ ............ $)$

$($ ............ $, 10,$ ............ $, 26)$

R4lCA0JR2sN9o2

Ćwiczenie 4

Połącz w pary wyrazy ciągu i liczbę $n$ , dla której dany ciąg jest ciągiem arytmetycznym.

$(n, 5, n + 24)$
$(- 4, n, 4 n + 2)$
$(n - 1, 5, n - 9)$
$(n + 6, 2 n + 3, 27)$

RvmIHhAngaCIS2

Ćwiczenie 5

Łączenie par. Dany jest nieskończony ciąg arytmetyczny

(a_{n})

. . ., a_{8}, (- 2), a_{10}, a_{11}, a_{12}, a_{13}, a_{14}, (- 3 \frac{1}{2}), a_{16}, . . .

Zaznacz, które zdanie jest prawdziwe, a które fałszywe.. Wyraz

a_{12}

tego ciągu wyraża się liczbą całkowitą.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Różnica tego ciągu jest liczbą dodatnią.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Prawdziwa jest równość

{a_{9}}^{2} = - a_{17}

.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Ciąg

(a_{n})

jest ciągiem rosnącym.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz

RjCjeZj4NcMFs2

Ćwiczenie 6

Dostępne opcje do wyboru:

3

49

7

- 1 + 7

7

3

. Polecenie: Uzupełnij rozwiązanie podanego zadania, przeciągając odpowiednie wyrażenia. Dla jakiej wartości

x

ciąg

(a, b, c)

jest ciągiem arytmetycznym, jeśli

a = 3 x^{2} - 4

b = x^{2} + 3

c = x - 2

.
Rozwiązanie:
Korzystając ze związku między trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, zapisujemy równanie:

\frac{3 x^{2} - 4 + x - 2}{2} = x^{2} + 3

Przekształcamy otrzymane równanie kwadratowe do postaci ogólnej.

x^{2} + x - 12 = 0

Rozwiązujemy równanie.

∆ =

luka do uzupełnienia ,

\sqrt{∆} =

luka do uzupełnienia

x_{1} = (- 1 -

luka do uzupełnienia

) : 2 = - 4

x_{2} = (

luka do uzupełnienia

) : 2 =

luka do uzupełnienia
Odpowiedź:
Ciąg

(a, b, c)

jest ciągiem arytmetycznym dla

x =

luka do uzupełnienia lub

x = - 4

Uzupełnij rozwiązanie podanego zadania, przeciągając odpowiednie wyrażenia.

$3$ , $3$ , $- 1 + 7$ , $49$ , $7$ , $7$

Dla jakiej wartości $x$ ciąg $(a, b, c)$ jest ciągiem arytmetycznym, jeśli
$a = 3 x^{2} - 4$ , $b = x^{2} + 3$ , $c = x - 2$ .
Rozwiązanie:
Korzystając ze związku między trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, zapisujemy równanie:
$\frac{3 x^{2} - 4 + x - 2}{2} = x^{2} + 3$
Przekształcamy otrzymane równanie kwadratowe do postaci ogólnej.
$x^{2} + x - 12 = 0$
Rozwiązujemy równanie.
$∆ =$ , $\sqrt{∆} =$
$x_{1} = (- 1 -$ $) : 2 = - 4$
$x_{2} = ($ $) : 2 =$
Odpowiedź:
Ciąg $(a, b, c)$ jest ciągiem arytmetycznym dla $x =$ lub $x = - 4$ .

Ćwiczenie 7

Liczby $a$ , $b$ , $c$ w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny.

Jeżeli drugą z tych liczb podzielimy przez dwa, a trzecią przez trzy, to również otrzymamy ciąg arytmetyczny.

Jeżeli natomiast pierwszą z tych liczb podzielimy przez trzy, a do trzeciej dodamy dwa, to też otrzymamy ciąg arytmetyczny. Znajdź liczby $a$ , $b$ , $c$ .

$(a, b, c)$ – ciąg arytmetyczny, czyli $2 b = a + c$

$(a, \frac{b}{2}, \frac{c}{3})$ – ciąg arytmetyczny, czyli $b = a + \frac{c}{3}$

$(\frac{a}{3}, b, c + 2)$ – ciąg arytmetyczny, czyli $2 b = \frac{a}{3} + c + 2$

Otrzymujemy układ równań.

$\{\begin{cases} 2 b = a + c \\ b = a + \frac{c}{3} \\ 2 b = \frac{a}{3} + c + 2 \end{cases}$

Przekształcamy układ równań, wyznaczając $a$ .

$\{\begin{cases} 2 (a + \frac{c}{3}) = a + c \\ b = a + \frac{c}{3} \\ 2 (a + \frac{c}{3}) = \frac{a}{3} + c + 2 \end{cases}$

$\{\begin{cases} 2 (a + \frac{c}{3}) = a + c \\ b = a + \frac{c}{3} \\ a + c = \frac{a}{3} + c + 2 \end{cases}$

$\{\begin{cases} 2 (a + \frac{c}{3}) = a + c \\ b = a + \frac{c}{3} \\ a = 3 \end{cases}$

Znajdujemy liczbę $c$ .

$\{\begin{cases} 2 (3 + \frac{c}{3}) = 3 + c \\ b = a + \frac{c}{3} \\ a = 3 \end{cases}$

$\{\begin{cases} c = 9 \\ b = a + \frac{c}{3} \\ a = 3 \end{cases}$

Wyznaczamy liczbę $b$ .

$\{\begin{cases} c = 9 \\ b = 3 + \frac{9}{3} \\ a = 3 \end{cases}$

$\{\begin{cases} a = 3 \\ b = 6 \\ c = 9 \end{cases}$

Odpowiedź:

Szukane liczby to: $a = 3$ , $b = 6$ , $c = 9$ .

Ćwiczenie 8

Wykaż, że jeśli w ciągu arytmetycznym $(a_{n})$ średnia arytmetyczna wyrazów $a_{4}$ i $a_{6}$ jest równa wyrazowi $a_{2}$ , to ciąg ten jest ciągiem stałym.

Na podstawie zależności między trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, możemy zapisać, że

$\frac{a_{4} + a_{6}}{2} = a_{5}$

Z treści zadania wynika, że

$\frac{a_{4} + a_{6}}{2} = a_{2}$

Zatem:

$a_{5} = \frac{a_{4} + a_{6}}{2} = a_{2}$

$a_{5} = a_{2}$

Czyli:

$a_{5} = a_{2}$

Oznaczmy:
$r$ – różnica ciągu

Wtedy:

$a_{1} + 4 r = a_{1} + 2 r$

$r = 0$

Jeśli różnica ciągu arytmetycznego jest równa $0$ , to ciąg jest stały, co należało wykazać.

Film samouczek

Dla nauczyciela