Zapisz wzór funkcji opisującej sytuację z zadania. Wyznacz miejsca zerowe, dziedzinę oraz pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli.

Oznaczmy:

RnbtzOMRM3mjo

Obrazek przedstawia prostokątny, zielony wybieg i przylegający do niego budynek gospodarczy patrząc od góry. Boki wybiegu zostały oznaczone kolejno: krótszy x, a dłuższy y.

Zapiszmy równaniem ile siatki potrzebujemy $2x+y=60$. Wyznaczając jedną ze zmiennych np. $y$ otrzymujemy $y=60-2x$. Pole prostokąta wynosi $x·y$. Podstawiając otrzymujemy funkcję zależną od $x$.

$P\left(x\right)=x\left(60-2x\right)$

Biorąc pod uwagę, że boki muszą być dodatnie dziedziną jest zbiór $D=\left(0,30\right)$

Pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli $x_w$, jest średnią arytmetyczną miejsc zerowych paraboli, w której zawiera się wykres funkcji $P$, zatem $x_w=\frac{0+30}{2}=15 \mathrm{m}$. Zauważmy, że należy do dziedziny funkcji, zatem funkcja przyjmuje największą wartość w wierzchołku paraboli. Wyznaczymy $y=60-30=30 \mathrm{m}$.

Wymiary wybiegu to $15 \mathrm{m}\times 30 \mathrm{m}$.

Narysuj rysunek opisujący sytuację z zadania. Bok kwadratu oznaczmy $x$. Podpisz boki prostokąta. Wyznacz wzór funkcji oraz jej dziedzinę. Następnie wyznacz wierzchołek paraboli.

Oznaczmy:

Rez1BD97Hm6Du

Ilustracja przedstawia blaszany prostokąt o bokach 52 i 44 W prostokącie wycięto kwadraciki na każdych czterech rogach o boku x.

Boki muszą być dodatnie więc $x>0$ , $52-2x>0$ oraz $44-2x>0$. Rozwiązując odpowiednio otrzymujemy $x>0$, $x<26 \mathrm{cm}$ oraz $x<22 \mathrm{cm}$. Zatem częścią wspólną jest zbiór $\left(0,22\right)$. W związku z tym dziedziną jest zbiór

$D: x\in \left(0,22\right)$

Następnie wyznaczymy pole powierzchni bocznej, w związku z tym, że dwa razy mamy te same prostokąty możemy zapisać

$P\left(x\right)=2x\left(52-2x\right)+2x\left(44-2x\right)$

Przekształcając $P\left(x\right)=192x-8x^2$ Pierwszą współrzędną wierzchołka policzymy jako $x_w=-\frac{b}{2a}$. Podstawiając $x_w=-\frac{192}{-16}=12 \mathrm{cm}$.

Powinniśmy na rogach wyciąć kwadraty o boku $12 \mathrm{cm}$.

Narysuj rysunek opisujący sytuację. Nanieś miary boków. Oblicz wysokość. Skorzystaj z podobieństwa trójkątów. Wyznacz funkcję opisujacą pole wycinanego prostokąta oraz jej dziedzinę. Następnie oblicz współrzędne wierzchołków paraboli.

Oznaczmy:

R1XwaiRrNYYQa

Rysunek poprzedni trójkąt. W środku został wpisany prostokąt o jak największym możliwym polu powierzchni. Dłuższy bok prostokąta został oznaczony literą x, a krótszy literą y. Na rysunku dodatkowo oznaczono punkty. Trójkąt zawiera się w punktach A, B, C. Prostokąt w punktach D, E, G, H.

Z polecenia wiemy, że $\left|AB\right|=16 \mathrm{cm}$ oraz $\left|AC\right|=\left|BC\right|=10 \mathrm{cm}$. W związku z tym, że trójkąt jest równoramienny to $\left|AF\right|=\left|FB\right|=8 \mathrm{cm}$. Rozpatrzmy trójkąt $AFC$. Trójkąt ten jest prostokątny więc z twierdzenia Pitagorasa obliczymy wysokość

${\left|AC\right|}^2=h^2+{\left|AF\right|}^2$

Stąd $h=\sqrt{{10}^2-8^2}=\sqrt{36}=6 \mathrm{cm}$.

Wiemy, że $\left|EG\right|=x$, więc $\left|AE\right|=\frac{16-x}{2}$. Trójkąt $DAE$ oraz $CAF$ są podobne, cecha bkb. Zapisujemy

$\frac{h}{y}=\frac{\left|AF\right|}{\left|AE\right|}$

Przekształcamy wyznaczając $y$ otrzymujemy

$y=\frac{h·\left|AE\right|}{\left|AF\right|}=6-\frac{3}{8}x$

Następnie wyznaczymy pole prostokąta $P=xy$ jako funkcję zmiennej $x$

$P\left(x\right)=x\left(6-\frac{3}{8}x\right)$

Biorąc pod uwagę, że długości boków muszą być dodatnie dziedziną jest zbiór

$D: x\in \left(0,16\right)$

Pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli $x_w$, jest średnią arytmetyczną miejsc zerowych, zatem $x_w=\frac{0+16}{2}=8 \mathrm{cm}$. Zauważmy, że należy do dziedziny funkcji, zatem funkcja przyjmuje największą wartość w wierzchołku paraboli. Wyznaczymy $y=6-\frac{3}{8}x=3 \mathrm{cm}$.

Wymiary wyciętego prostokąta to $8 \mathrm{cm}\times 3 \mathrm{cm}$.