Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

RTi9OPoFrH79k1

Ćwiczenie 1

Zaznacz wszystkie prawidłowe odpowiedzi. Chcesz ogrodzić działkę w kształcie prostokąta mając do dyspozycji $50 m$ siatki. Funkcja opisująca pole działki to:

$f (x) = x (25 - x)$
$f (x) = x (50 - x)$
$f (x) = - x^{2} + 50 x$
$f (x) = - x^{2} + 25 x$
$f (x) = x (50 - 2 x)$
$f (x) = - 2 x^{2} + 50 x$

Ćwiczenie 2

Mając $60 m$ siatki ogrodzeniowej należy wykonać ogrodzenie na wybieg dla krów w kształcie prostokąta. Wybieg jednym bokiem ma przylegać do budynku gospodarczego. Wyznacz wymiary tego wybiegu.

Oznaczmy:

RnbtzOMRM3mjo

Obrazek przedstawia prostokątny, zielony wybieg i przylegający do niego budynek gospodarczy patrząc od góry. Boki wybiegu zostały oznaczone kolejno: krótszy x, a dłuższy y.

Zapiszmy równaniem ile siatki potrzebujemy $2 x + y = 60$ . Wyznaczając jedną ze zmiennych np. $y$ otrzymujemy $y = 60 - 2 x$ . Pole prostokąta wynosi $x \cdot y$ . Podstawiając otrzymujemy funkcję zależną od $x$ .

$P (x) = x (60 - 2 x)$

Biorąc pod uwagę, że boki muszą być dodatnie dziedziną jest zbiór $D = (0, 30)$

Pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli $x_{w}$ , jest średnią arytmetyczną miejsc zerowych paraboli, w której zawiera się wykres funkcji $P$ , zatem $x_{w} = \frac{0 + 30}{2} = 15 m$ . Zauważmy, że należy do dziedziny funkcji, zatem funkcja przyjmuje największą wartość w wierzchołku paraboli. Wyznaczymy $y = 60 - 30 = 30 m$ .

Wymiary wybiegu to $15 m \times 30 m$ .

Ćwiczenie 3

R16gQMsC5Xbry

R97IloKOWx7WV

Ćwiczenie 4

Należy zbudować ogrodzenie ograniczające cztery jednakowe boksy w jednym rzędzie (por. rysunek). Posiadasz materiały pozwalające zbudować ogrodzenie o łącznej długości $80 cm$ i chcesz by powierzchnia boksów była jak największa.

RPTMvYazKU0Or

Ilustracja przedstawia cztery kwadraty ułożone kolejno obok siebie tak, że każdy następny posiada wspólny bok z poprzednim.

RyW0ukaQd5DTE2

Wymiary tych boksów wynoszą:

$5 cm \times 8 cm$
$5 cm \times 10 cm$
$4 cm \times 12 cm$
$4 cm \times 9 cm$

RfVrwH4QCbRuO2

Ćwiczenie 5

Drut o długości $56 cm$ należy podzielić na dwie części. Z jednej zrobić kwadratową ramkę, a z drugiej ramkę prostokątną, której jeden bok jest trzy razy dłuższy od drugiego. Jak należy podzielić drut, aby suma pól otrzymanego kwadratu i prostokąta była najmniejsza?

Obwód kwadratu wynosi ............ $cm$ .
Obwód prostokąta wynosi ............ $cm$ .

Ćwiczenie 6

Z prostokątnego arkusza blachy o bokach $52 cm$ i $44 cm$ wycinamy na rogach kwadraty, tak aby po sklejeniu otrzymać otwarte pudełko. Jaka powinna być długość boków wycinanych kwadratów, aby pole powierzchni bocznej pudełka było największe?

Narysuj rysunek opisujący sytuację z zadania. Bok kwadratu oznaczmy $x$ . Podpisz boki prostokąta. Wyznacz wzór funkcji oraz jej dziedzinę. Następnie wyznacz wierzchołek paraboli.

Oznaczmy:

Rez1BD97Hm6Du

Ilustracja przedstawia blaszany prostokąt o bokach 52 i 44 W prostokącie wycięto kwadraciki na każdych czterech rogach o boku x.

Boki muszą być dodatnie więc $x > 0$ , $52 - 2 x > 0$ oraz $44 - 2 x > 0$ . Rozwiązując odpowiednio otrzymujemy $x > 0$ , $x < 26 cm$ oraz $x < 22 cm$ . Zatem częścią wspólną jest zbiór $(0, 22)$ . W związku z tym dziedziną jest zbiór

$D : x \in (0, 22)$

Następnie wyznaczymy pole powierzchni bocznej, w związku z tym, że dwa razy mamy te same prostokąty możemy zapisać

$P (x) = 2 x (52 - 2 x) + 2 x (44 - 2 x)$

Przekształcając $P (x) = 192 x - 8 x^{2}$ Pierwszą współrzędną wierzchołka policzymy jako $x_{w} = - \frac{b}{2 a}$ . Podstawiając $x_{w} = - \frac{192}{- 16} = 12 cm$ .

Powinniśmy na rogach wyciąć kwadraty o boku $12 cm$ .

Ćwiczenie 7

Z kawałka blachy w kształcie trójkąta równoramiennego o bokach $16 cm$ , $10 cm$ , $10 cm$ należy wyciąć prostokąt o maksymalnym polu (zobacz rysunek). Wyznacz wymiary wyciętego prostokąta.

R1VUfRYBP3gMn

Rysunek przedstawia blachę w kształcie trójkąta. W środku został wpisany prostokąt o jak największym możliwym polu powierzchni. Dłuższy bok prostokąta został oznaczony literą x, a krótszy literą y.

Oznaczmy:

R1XwaiRrNYYQa

Rysunek poprzedni trójkąt. W środku został wpisany prostokąt o jak największym możliwym polu powierzchni. Dłuższy bok prostokąta został oznaczony literą x, a krótszy literą y. Na rysunku dodatkowo oznaczono punkty. Trójkąt zawiera się w punktach A, B, C. Prostokąt w punktach D, E, G, H.

Z polecenia wiemy, że $|A B| = 16 cm$ oraz $|A C| = |B C| = 10 cm$ . W związku z tym, że trójkąt jest równoramienny to $|A F| = |F B| = 8 cm$ . Rozpatrzmy trójkąt $A F C$ . Trójkąt ten jest prostokątny więc z twierdzenia Pitagorasa obliczymy wysokość

${|A C|}^{2} = h^{2} + {|A F|}^{2}$

Stąd $h = \sqrt{10^{2} - 8^{2}} = \sqrt{36} = 6 cm$ .

Wiemy, że $|E G| = x$ , więc $|A E| = \frac{16 - x}{2}$ . Trójkąt $D A E$ oraz $C A F$ są podobne, cecha bkb. Zapisujemy

$\frac{h}{y} = \frac{|A F|}{|A E|}$

Przekształcamy wyznaczając $y$ otrzymujemy

$y = \frac{h \cdot |A E|}{|A F|} = 6 - \frac{3}{8} x$

Następnie wyznaczymy pole prostokąta $P = x y$ jako funkcję zmiennej $x$

$P (x) = x (6 - \frac{3}{8} x)$

Biorąc pod uwagę, że długości boków muszą być dodatnie dziedziną jest zbiór

$D : x \in (0, 16)$

Pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli $x_{w}$ , jest średnią arytmetyczną miejsc zerowych, zatem $x_{w} = \frac{0 + 16}{2} = 8 cm$ . Zauważmy, że należy do dziedziny funkcji, zatem funkcja przyjmuje największą wartość w wierzchołku paraboli. Wyznaczymy $y = 6 - \frac{3}{8} x = 3 cm$ .

Wymiary wyciętego prostokąta to $8 cm \times 3 cm$ .

R6lOY6ZiWJRkY3

Ćwiczenie 8

Zaznacz wszystkie prawidłowe odpowiedzi. Wysokość akwarium jest równa $40 cm$ , a jego podstawą jest prostokąt o obwodzie $180 cm$ . Największa możliwa objętość tego prostopadłościanu to:

$81000 {cm}^{3}$
$144000 {cm}^{3}$
$0, 144 m^{3}$
$0, 081 m^{3}$
$0, 81 m^{3}$
$324000 {cm}^{3}$
$64000 {cm}^{3}$
$0, 64 m^{3}$
$0, 324 m^{3}$

Film edukacyjny

Dla nauczyciela