Czy masa jest w tym zadaniu potrzebna?

$t=\sqrt{\frac{2\cdot 15m}{3,71\frac{m}{s^2}}}=2,84s$

Wypisz dane z zadania, zapisz wzór na drogę w ruchu jednostajnie przyspieszonym i wyznacz z niego stosunek czasu spadku obu piłeczek $\frac{t_2}{t_1}$

$\frac{t_2}{t_1}=\frac{\sqrt{\frac{2h_2}{g}}}{\sqrt{\frac{2h_1}{g}}}=\sqrt{\frac{h_2}{h_1}}=\sqrt{\frac{900cm}{400cm}}=1,5$

Wynika z tego, że druga piłeczka spadała 1,5 raza dłużej.

Wypisz dane z zadania i zapisz równania ruchu oraz wzór na prędkość w ruchu jednostajnie przyspieszonym.

$V\left(t_1\right)=2\frac{m}{s}$

$V\left(t_2\right)=10\frac{m}{s}$

$g=9,81\frac{m}{s^2}$

$h\left(t\right)=h-\frac{g{t}^2}{2}$

$V\left(t\right)=gt$

Wyznacz tIndeks dolny 1₁ oraz tIndeks dolny 2₂, a następnie różnicę hIndeks dolny 1₁ – hIndeks dolny 2₂.

$t=\frac{V\left(t\right)}{g}$

$t_1=\frac{V\left(t_1\right)}{g}$

$t_2=\frac{V\left(t_2\right)}{g}$

$h\left(t_1\right)-h\left(t_2\right)=h-\frac{g{t}_1^2}{2}-(h-\frac{g{t}_2^2}{2})=h-\frac{g{t}_1^2}{2}-h+\frac{g{t}_2^2}{2}=\frac{g{t}_2^2}{2}-\frac{g{t}_1^2}{2}=\frac{g}{2}(t_2^2-t_1^2)$

$h\left(t_1\right)-h\left(t_2\right)=\frac{g}{2}\left[\right(\frac{V\left(t_2\right)}{g}{)}^2-\left(\frac{V\left(t_1\right)}{2}{)}^2\right]$

$h\left(t_1\right)-h\left(t_2\right)=\frac{9,81\frac{m}{s^2}}{2}\left[\right(\frac{10\frac{m}{s}}{9,81\frac{m}{s^2}}{)}^2-\left(\frac{2\frac{m}{s}}{9,81\frac{m}{s^2}}{)}^2\right]\approx 5m$

R1M36M9jKTbrX

Rysunek przedstawia niebieski walec ustawiony pionowo. Wysokość walca opisuje mała litera h. Wysokość walca podzielono poziomymi, przerywanymi liniami na dwie części, górną i dolną. Dolną część oznaczono jako trzy piąte wysokości mała litera h. Górną część walca oznaczono jako dwie piąte wysokości walca mała litera h.

$\frac{2}{5}h=\frac{g(t-1{)}^2}{2}$

Całą drogę pokonała zaś w czasie t. Zatem;

$\frac{2}{5}\frac{g{t}^2}{2}=\frac{g(t-1{)}^2}{2}$

Rozwiązujemy równanie i wyznaczamy wysokość h.

$2t^2=5(t-1{)}^2$

$2t^2=5(t^2-2t+1)$

$2t^2=5t^2-10t+5$

$3t^2-10t+5=0$

$\Delta =(-10{)}^2-4\cdot 3\cdot 5=100-60=40$

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{40}\approx 6,3$

$t_1=\frac{-(-10)-6,3}{2\cdot 3}\approx 0,62s$

$t_1=\frac{-(-10)+6,3}{2\cdot 3}\approx 2,72s$

Rozwiązanie tIndeks dolny 1₁ nie spełnia warunków zadania, zatem t = 2,72 s.

Obliczamy zatem h:

$h=\frac{g{t}^2}{2}$

$h=\frac{9,81\cdot 2,{72}^2}{2}\approx 36m$

Wypisz dane z zadania oraz zapisz wzór na gęstość i siłę grawitacyjną

$R=\frac{d}{2}=d=209\cdot {10}^{5}ft=6370320m$

$g=9,81\frac{m}{s^2}=9,81\frac{N}{kg}$

$\rho =\frac{M}{V}=\frac{M}{\frac{4}{3}\pi R^3}$

$mg=G\frac{mM}{R^2}\to g=\frac{GM}{R^2}$

$g=\frac{GM}{R^2}\to M=\frac{g{R}^2}{G}$

$\rho =\frac{3M}{4\pi R^3}=\frac{g{R}^2}{G}\frac{3}{4\pi R^3}=\frac{3g}{4\pi GR}$

$\rho =\frac{3\cdot 9,81N/kg}{4\cdot 3,1415\cdot 6,754\cdot {10}^{-11}N{m}^2/k{g}^2\cdot 6370320m}\approx 5,44\cdot {10}^3\frac{kg}{m^3}=5,44\frac{g}{c{m}^3}$

Niewielka różnica pomiędzy otrzymaną wartością, a tą tablicową nie powinna nas niepokoić, w końcu wykorzystana przez nas wartość stałej G różniła się od najdokładniejszej znanej obecnie wartości. Doceńmy precyzję Cavendisha sprzed ponad 200 lat, który, choć nie dysponował satelitami i zegarami atomowymi uzyskał wynik bardzo bliski obecnego. Zwróćmy też uwagę, że opisane zadanie można odwrócić, przyjąć tablicową wartość gęstości i na jej podstawie obliczyć stałą G.