Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

R1bqwEWqJ4tcV1

Ćwiczenie 1

Zaznacz poprawną odpowiedź. Wskaż liczbę, która należy do zbioru rozwiązań nierówności $1 < {(x + 1)}^{2} - {(x - 1)}^{2} < 12$ .

$- 1$
$0$
$1$
$3$

R11RSJMwgX6VM1

Ćwiczenie 2

Zaznacz poprawną odpowiedź. Zbiór rozwiązań nierówności $- 2 < \sqrt{x^{2} - 4 x + 6} < 0$ to:

$(- 2, - 1)$
$(- \infty, 2)$
$ℝ$
$\emptyset$

R1RoyMD8WW7Rm2

Ćwiczenie 3

Łączenie par. Dana jest nierówność

|\frac{x^{2} - 3 x}{2}| < 1

.
Zaznacz, które zdanie jest prawdziwe, a które fałszywe.. Nierówność ta jest równoważna nierówności

- 2 < x^{2} - 3 x < 2

.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Nierówność tę można zapisać w postaci układu nierówności

x^{2} - 3 x < 2

x^{2} - 3 x < - 1

.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Największa liczba naturalna spełniająca tę nierówność to

3

.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Do zbioru rozwiązań tej nierówności należą tylko liczby dodatnie.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz

Dana jest nierówność $"|"\frac{x^{2} - 3 x}{2}"|" < 1$ .
Zaznacz, które zdanie jest prawdziwe, a które fałszywe.

	Prawda	Fałsz
Nierówność ta jest równoważna nierówności $- 2 < x^{2} - 3 x < 2$ .	□	□
Nierówność tę można zapisać w postaci układu nierówności $x^{2} - 3 x < 2$ i $x^{2} - 3 x < - 1$ .	□	□
Największa liczba naturalna spełniająca tę nierówność to $3$ .	□	□
Do zbioru rozwiązań tej nierówności należą tylko liczby dodatnie.	□	□

RBkZbPcaofFdY2

Ćwiczenie 4

Rozwiąż nierówność $- 1 \leq \frac{x^{2} + 3 - x (3 x - 1)}{1 + x^{2}} \leq 2$ i wpisz najmniejszą liczbę naturalną spełniającą tę nierówność.

Najmniejsza liczba naturalna spełniająca nierówność to .............

R1T57cPafCoIu2

Ćwiczenie 5

Określ, dla jakich wartości parametru $m$ równanie $\cos π x = \frac{m^{3} - 1}{m + 1 + m^{2}}$ ma rozwiązanie. Przeciągnij odpowiedni zbiór.

$"⟨"- 1, 2"⟩"$ , $"("- \infty, - 1"⟩" \cup "⟨"1, \infty")"$ , $"⟨"- 1, 1"⟩"$ , $"⟨"0, 2"⟩"$

$m \in$

Ćwiczenie 6

R18Aeyvtl9PDM

Poukładaj w odpowiedniej kolejności rozwiązanie zadania:
Dane są liczby naturalne dodatnie

a

b

c

d

x

y

takie, że:

\frac{a}{b} < \frac{x}{y} < \frac{c}{d}

b c - a d = 1

.
Wykaż, że

y \geq b + d

. Elementy do uszeregowania: 1.

\frac{c}{d} - \frac{x}{y} > 0

, 2. Przekształcamy drugą z zapisanych nierówności., 3. Aby uzyskane nierówności były prawdziwe, musi być spełniony warunek:

x b - y a > 0

y c - x d > 0

., 4.

\frac{x}{y} - \frac{a}{b} > 0

, 5. Ponieważ

b c - a d = 1

, zatem

y \geq b + d

, co należało wykazać., 6.

\frac{y c - x d}{y d} > 0

, 7. Dodajemy nierówności stronami.

y c b - y a d \geq d + b

y (c b - a d) \geq d + b

, 8. Nierówność

\frac{a}{b} < \frac{x}{y} < \frac{c}{d}

jest równoważna układowi nierówności

\frac{a}{b} < \frac{x}{y}

\frac{x}{y} < \frac{c}{d}

., 9. Przekształcamy pierwszą z zapisanych nierówności., 10. Mnożymy pierwszą nierówność przez

d

, a drugą przez

b

x b d - y a d \geq d

y c b - x d b \geq b

., 11. Ponieważ lewe strony nierówności są liczbami całkowitymi, więc musi być spełniony warunek:

x b - y a \geq 1

y c - x d \geq 1

., 12.

\frac{x b - y a}{y b} > 0

Poukładaj w odpowiedniej kolejności rozwiązanie zadania:
Dane są liczby naturalne dodatnie $a$ , $b$ , $c$ , $d$ , $x$ , $y$ takie, że:
$\frac{a}{b} < \frac{x}{y} < \frac{c}{d}$ i $b c - a d = 1$ .
Wykaż, że $y \geq b + d$ .

Dodajemy nierówności stronami.
$y c b - y a d \geq d + b$
$y (c b - a d) \geq d + b$
Nierówność $\frac{a}{b} < \frac{x}{y} < \frac{c}{d}$ jest równoważna układowi nierówności
$\frac{a}{b} < \frac{x}{y}$ i $\frac{x}{y} < \frac{c}{d}$ .
$\frac{x}{y} - \frac{a}{b} > 0$
Przekształcamy pierwszą z zapisanych nierówności.
$\frac{x b - y a}{y b} > 0$
$\frac{c}{d} - \frac{x}{y} > 0$
Aby uzyskane nierówności były prawdziwe musi być spełniony warunek:
$x b - y a > 0$ i $y c - x d > 0$ .
Przekształcamy drugą z zapisanych nierówności.
Ponieważ lewe strony nierówności są liczbami całkowitymi, więc musi być spełniony warunek:
$x b - y a \geq 1$ i $y c - x d \geq 1$ .
Ponieważ $b c - a d = 1$ , zatem $y \geq b + d$ , co należało wykazać.
$\frac{y c - x d}{y d} > 0$
Mnożymy pierwszą nierówność przez $d$ , a drugą przez $b$ :
$x b d - y a d \geq d$ i $y c b - x d b \geq b$ .

RsWA4cTe5hU8l

Uzupełnij dowód poniższego stwierdzenia podanymi sformułowaniami.
Dane są liczby naturalne dodatnie

a

b

c

d

x

y

takie, że:

\frac{a}{b} < \frac{x}{y} < \frac{c}{d}

b c - a d = 1

.
Wykaż, że

y \geq b + d

. Dowód

Nierówność $\frac{a}{b} < \frac{x}{y} < \frac{c}{d}$ jest 1. $>$ , 2. $x b d - y a d \geq d$ i $y c b - x d b \geq b$ , 3. $x b - y a > 0$ i $y c - x d > 0$ , 4. $\geq$ , 5. $>$ , 6. $\geq$ , 7. równoważna, 8. $y \geq b + d$ , 9. $\geq$ , 10. $\geq$ układowi nierówności
$\frac{a}{b} < \frac{x}{y}$ i $\frac{x}{y} < \frac{c}{d}$ .

Przekształcamy pierwszą z zapisanych nierówności.
$\frac{x}{y} - \frac{a}{b} > 0$
$\frac{x b - y a}{y b}$ 1. $>$ , 2. $x b d - y a d \geq d$ i $y c b - x d b \geq b$ , 3. $x b - y a > 0$ i $y c - x d > 0$ , 4. $\geq$ , 5. $>$ , 6. $\geq$ , 7. równoważna, 8. $y \geq b + d$ , 9. $\geq$ , 10. $\geq$ $0$

Przekształcamy drugą z zapisanych nierówności.
$\frac{c}{d} - \frac{x}{y} > 0$
$\frac{y c - x d}{y d}$ 1. $>$ , 2. $x b d - y a d \geq d$ i $y c b - x d b \geq b$ , 3. $x b - y a > 0$ i $y c - x d > 0$ , 4. $\geq$ , 5. $>$ , 6. $\geq$ , 7. równoważna, 8. $y \geq b + d$ , 9. $\geq$ , 10. $\geq$ $0$

Aby uzyskane nierówności były prawdziwe, musi być spełniony warunek:
1. $>$ , 2. $x b d - y a d \geq d$ i $y c b - x d b \geq b$ , 3. $x b - y a > 0$ i $y c - x d > 0$ , 4. $\geq$ , 5. $>$ , 6. $\geq$ , 7. równoważna, 8. $y \geq b + d$ , 9. $\geq$ , 10. $\geq$ .

Ponieważ lewe strony nierówności są liczbami całkowitymi, więc musi być spełniony warunek:
$x b - y a$ 1. $>$ , 2. $x b d - y a d \geq d$ i $y c b - x d b \geq b$ , 3. $x b - y a > 0$ i $y c - x d > 0$ , 4. $\geq$ , 5. $>$ , 6. $\geq$ , 7. równoważna, 8. $y \geq b + d$ , 9. $\geq$ , 10. $\geq$ $1$ i $y c - x d$ 1. $>$ , 2. $x b d - y a d \geq d$ i $y c b - x d b \geq b$ , 3. $x b - y a > 0$ i $y c - x d > 0$ , 4. $\geq$ , 5. $>$ , 6. $\geq$ , 7. równoważna, 8. $y \geq b + d$ , 9. $\geq$ , 10. $\geq$ $1$ .

Mnożymy pierwszą nierówność przez $d$ , a drugą przez $b$ :
1. $>$ , 2. $x b d - y a d \geq d$ i $y c b - x d b \geq b$ , 3. $x b - y a > 0$ i $y c - x d > 0$ , 4. $\geq$ , 5. $>$ , 6. $\geq$ , 7. równoważna, 8. $y \geq b + d$ , 9. $\geq$ , 10. $\geq$ .

Dodajemy nierówności stronami.
$y c b - y a d$ 1. $>$ , 2. $x b d - y a d \geq d$ i $y c b - x d b \geq b$ , 3. $x b - y a > 0$ i $y c - x d > 0$ , 4. $\geq$ , 5. $>$ , 6. $\geq$ , 7. równoważna, 8. $y \geq b + d$ , 9. $\geq$ , 10. $\geq$ $d + b$
$y (c b - a d)$ 1. $>$ , 2. $x b d - y a d \geq d$ i $y c b - x d b \geq b$ , 3. $x b - y a > 0$ i $y c - x d > 0$ , 4. $\geq$ , 5. $>$ , 6. $\geq$ , 7. równoważna, 8. $y \geq b + d$ , 9. $\geq$ , 10. $\geq$ $d + b$

Ponieważ $b c - a d = 1$ , zatem 1. $>$ , 2. $x b d - y a d \geq d$ i $y c b - x d b \geq b$ , 3. $x b - y a > 0$ i $y c - x d > 0$ , 4. $\geq$ , 5. $>$ , 6. $\geq$ , 7. równoważna, 8. $y \geq b + d$ , 9. $\geq$ , 10. $\geq$ , co należało wykazać.

Ćwiczenie 7

Cyfra dziesiątek liczby dwucyfrowej jest o $3$ mniejsza od cyfry jedności. Znajdź tę liczbę, jeżeli wiadomo, że jest ona większa od $45$ , ale mniejsza od $69$ .

Oznaczmy:

$x$ – cyfra jedności szukanej liczby,

$x - 3$ – cyfra dziesiątek szukanej liczby,

$10 (x - 3) + x$ – szukana liczba.

Ponieważ $x - 3 > 0$ , zatem $x \in \{4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ .

Zapisujemy i przekształcamy nierówność wynikająca z treści zadania.

$45 < 10 (x - 3) + x < 69$

$45 < 11 x - 30 < 69$

$45 + 30 < 11 x < 69 + 30$

$75 < 11 x < 99 | : 11$

$\frac{75}{11} < x < 9$

$6 \frac{9}{11} < x < 9$

Zatem $x = 7$ lub $x = 8$ .

Szukana liczba to $47$ lub $58$ .

Ćwiczenie 8

Znajdź najmniejszą liczbę naturalną $x$ , dla której wartość wyrażenia $A = \frac{x - 1}{x^{2} - 4}$ jest dodatnia, ale mniejsza od $\frac{1}{4}$ .

Należy rozwiązać nierówność

$0 < \frac{x - 1}{x^{2} - 4} < \frac{1}{4}$

Zatem

$0 < \frac{x - 1}{x^{2} - 4}$ i $\frac{x - 1}{x^{2} - 4} < \frac{1}{4}$

Określamy dziedzinę nierówności: $D = ℝ ∖ \{- 2, 2\}$ .

Rozwiązujemy każdą z nierówności oddzielnie.

$0 < \frac{x - 1}{x^{2} - 4}$

$(x - 2) (x + 2) (x - 1) > 0$

$x \in (- 2, 1) \cup (2, \infty)$

$\frac{x - 1}{x^{2} - 4} < \frac{1}{4}$

$\frac{x - 1}{x^{2} - 4} - \frac{1}{4} < 0$

$\frac{4 x - 4 - x^{2} + 4}{4 (x^{2} - 4)} < 0$

$4 x (x - 2) (x + 2) (4 - x) < 0$

$x \in (- \infty, - 2) \cup (0, 2) \cup (4, \infty)$

Określamy część wspólną rozwiązań.

$\{\begin{cases} x \in (- 2, 1) \cup (2, \infty) \\ x \in (- \infty, - 2) \cup (0, 2) \cup (4, \infty) \end{cases}$

Zatem

$x \in (0, 1) \cup (4, \infty)$

Szukana liczba naturalna to $5$ .

Animacja

Dla nauczyciela