Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

RzkQiJVf8qjWF1

Ćwiczenie 1

RIz8JrKYWttTH1

Ćwiczenie 2

R1eGJbeJi9bMl2

Ćwiczenie 3

Połącz w pary: szereg geometryczny o podanych wyrazach oraz sumę tego szeregu. a indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, trzy, przecinek, a indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, jeden Możliwe odpowiedzi: 1. S, równa się, minus, początek ułamka, dwieście czterdzieści trzy, mianownik, dziesięć, koniec ułamka, 2. S, równa się, początek ułamka, osiemdziesiąt jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, 3. S, równa się, początek ułamka, szesnaście, mianownik, trzy, koniec ułamka, 4. S, równa się, początek ułamka, dziewięć, mianownik, dwa, koniec ułamka a indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, dwadzieścia siedem, przecinek, a indeks dolny, cztery, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, jeden Możliwe odpowiedzi: 1. S, równa się, minus, początek ułamka, dwieście czterdzieści trzy, mianownik, dziesięć, koniec ułamka, 2. S, równa się, początek ułamka, osiemdziesiąt jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, 3. S, równa się, początek ułamka, szesnaście, mianownik, trzy, koniec ułamka, 4. S, równa się, początek ułamka, dziewięć, mianownik, dwa, koniec ułamka a indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, cztery, przecinek, a indeks dolny, trzy, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa Możliwe odpowiedzi: 1. S, równa się, minus, początek ułamka, dwieście czterdzieści trzy, mianownik, dziesięć, koniec ułamka, 2. S, równa się, początek ułamka, osiemdziesiąt jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, 3. S, równa się, początek ułamka, szesnaście, mianownik, trzy, koniec ułamka, 4. S, równa się, początek ułamka, dziewięć, mianownik, dwa, koniec ułamka a indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, dwadzieścia siedem, przecinek, a indeks dolny, pięć, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, osiem Możliwe odpowiedzi: 1. S, równa się, minus, początek ułamka, dwieście czterdzieści trzy, mianownik, dziesięć, koniec ułamka, 2. S, równa się, początek ułamka, osiemdziesiąt jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, 3. S, równa się, początek ułamka, szesnaście, mianownik, trzy, koniec ułamka, 4. S, równa się, początek ułamka, dziewięć, mianownik, dwa, koniec ułamka

R1T8R31BkZaOc2

Ćwiczenie 4

RV5F2iV8y6Ki32

Ćwiczenie 5

R1Miq7xn9jM1V2

Ćwiczenie 6

Ćwiczenie 7

Pierwszy wyraz nieskończonego ciągu geometrycznego $(a_{n})$ jest równy $2$ , natomiast suma pierwszych trzech jego wyrazów jest równa $3, 5$ . Szereg nieskończony $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ jest zbieżny. Oblicz jego sumę.

Jeżeli $q$ jest ilorazem ciągu geometrycznego $(a_{n})$ . Wówczas:

$2 + 2 q + 2 q^{2} = 3, 5$

$4 q^{2} + 4 q - 3 = 0$

$Δ = 64$

$q_{1} = \frac{- 4 - 8}{8} = - \frac{3}{2}$ lub $q_{2} = \frac{- 4 + 8}{8} = \frac{1}{2}$

Ponieważ szereg $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ jest zbieżny, zatem $|q| < 1$ , czyli $q = \frac{1}{2}$ .

Zatem suma szeregu jest równa $\frac{2}{1 - \frac{1}{2}} = 4$ .

Ćwiczenie 8

Wyznacz szereg geometryczny, którego suma jest równa $2$ , a suma sześcianów wyrazów tego szeregu jest równa $24$ .

Oznaczmy szukany szereg jako: $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ .

Zadanie sprowadza się do znalezienia dwóch parametrów tego ciągu: pierwszego wyrazu $a_{1}$ i iloraz $q$ .

Ponieważ szereg $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ jest zbieżny, więc $|q| < 1$ .

W takim razie szereg o pierwszym wyrazie $a_{1}^{3}$ i ilorazie $q^{3}$ też jest zbieżny.

Zapiszmy układ warunków:

$\{\begin{cases} \frac{a_{1}}{1 - q} = 2 \\ \frac{a_{1}^{3}}{1 - q^{3}} = 24 \end{cases}$

Wyliczmy $a_{1}$ z pierwszego równania: $a_{1} = 2 (1 - q)$ i podstawmy do drugiego:

$\frac{{(2 (1 - q))}^{3}}{1 - q^{3}} = 24$

$\frac{8 {(1 - q)}^{2}}{1 + q + q^{2}} = 24$

${(1 - q)}^{2} = 3 (1 + q + q^{2})$

$2 q^{2} + 5 q + 2 = 0$

$Δ = 9$

$q = - \frac{1}{2}$ lub $q = - 2$

Tylko wyliczona wartość $q = - \frac{1}{2}$ spełnia warunek zbieżności.

Wyliczamy $a_{1} = 2 (1 - (- \frac{1}{2})) = 2 \cdot \frac{3}{2} = 3$ .

Gra edukacyjna

Dla nauczyciela