Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

RzkQiJVf8qjWF1

Ćwiczenie 1

Pierwszy wyraz nieskończonego ciągu geometrycznego $(a_{n})$ jest równy $4$ , natomiast suma pierwszych dwóch jego wyrazów jest równa $3$ . Szereg nieskończony $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ jest zbieżny. Jego suma jest równa:

$\frac{16}{5}$
$\frac{16}{3}$
$\frac{8}{5}$
$\frac{8}{3}$

RIz8JrKYWttTH1

Ćwiczenie 2

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny taki, że pierwszy wyraz jest równy $3$ , a suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa $2$ . Iloraz tego ciągu jest równy:

$- \frac{1}{2}$
$- \frac{2}{3}$
$- \frac{3}{4}$
$- \frac{7}{13}$

R1eGJbeJi9bMl2

Ćwiczenie 3

R1T8R31BkZaOc2

Ćwiczenie 4

Dany jest taki nieskończony ciąg geometryczny, że pierwszy wyraz jest równy $\frac{3}{4}$ , a trzeci wyraz $a_{3}$ jest równy $\frac{1}{3}$ . Jaka może być suma wszystkich wyrazów tego ciągu?

$\frac{9}{4}$
$\frac{9}{20}$
$\frac{3}{2}$
$\frac{3}{10}$

RV5F2iV8y6Ki32

Ćwiczenie 5

R1Miq7xn9jM1V2

Ćwiczenie 6

Wyznacz szereg geometryczny, którego suma jest równa $\frac{3}{2},$ a suma kwadratów wyrazów tego szeregu wynosi $\frac{9}{2}$ . Iloraz tego szeregu jest równy:

$q = - \frac{1}{3}$
$q = - \frac{2}{3}$
$q = \frac{2}{3}$
$q = \frac{1}{3}$

Ćwiczenie 7

Pierwszy wyraz nieskończonego ciągu geometrycznego $(a_{n})$ jest równy $2$ , natomiast suma pierwszych trzech jego wyrazów jest równa $3, 5$ . Szereg nieskończony $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ jest zbieżny. Oblicz jego sumę.

Jeżeli $q$ jest ilorazem ciągu geometrycznego $(a_{n})$ . Wówczas:

$2 + 2 q + 2 q^{2} = 3, 5$

$4 q^{2} + 4 q - 3 = 0$

$Δ = 64$

$q_{1} = \frac{- 4 - 8}{8} = - \frac{3}{2}$ lub $q_{2} = \frac{- 4 + 8}{8} = \frac{1}{2}$

Ponieważ szereg $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ jest zbieżny, zatem $|q| < 1$ , czyli $q = \frac{1}{2}$ .

Zatem suma szeregu jest równa $\frac{2}{1 - \frac{1}{2}} = 4$ .

Ćwiczenie 8

Wyznacz szereg geometryczny, którego suma jest równa $2$ , a suma sześcianów wyrazów tego szeregu jest równa $24$ .

Oznaczmy szukany szereg jako: $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ .

Zadanie sprowadza się do znalezienia dwóch parametrów tego ciągu: pierwszego wyrazu $a_{1}$ i iloraz $q$ .

Ponieważ szereg $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ jest zbieżny, więc $|q| < 1$ .

W takim razie szereg o pierwszym wyrazie $a_{1}^{3}$ i ilorazie $q^{3}$ też jest zbieżny.

Zapiszmy układ warunków:

$\{\begin{cases} \frac{a_{1}}{1 - q} = 2 \\ \frac{a_{1}^{3}}{1 - q^{3}} = 24 \end{cases}$

Wyliczmy $a_{1}$ z pierwszego równania: $a_{1} = 2 (1 - q)$ i podstawmy do drugiego:

$\frac{{(2 (1 - q))}^{3}}{1 - q^{3}} = 24$

$\frac{8 {(1 - q)}^{2}}{1 + q + q^{2}} = 24$

${(1 - q)}^{2} = 3 (1 + q + q^{2})$

$2 q^{2} + 5 q + 2 = 0$

$Δ = 9$

$q = - \frac{1}{2}$ lub $q = - 2$

Tylko wyliczona wartość $q = - \frac{1}{2}$ spełnia warunek zbieżności.

Wyliczamy $a_{1} = 2 (1 - (- \frac{1}{2})) = 2 \cdot \frac{3}{2} = 3$ .

Gra edukacyjna

Dla nauczyciela