Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Na rysunku przedstawiono przekrój graniastosłupa prawidłowego czworokątnego płaszczyzną równoległą do podstawy. Wyznacz pole powierzchni przekroju, jeżeli pole powierzchni całkowitej graniastosłupa z rysunku wynosi $288$ , a krawędź boczna ma długość $9$ .

RezE6OzfntZdA

Ilustracja przedstawia graniastosłup o podstawie kwadratu. Wszystkie krawędzie podstawy podpisano literą a, krawędź boczną ostrosłupa podpisano literą h. W graniastosłupie zaznaczono przekrój, który jest równoległy do postawy graniastosłupa.

ROC3cQ036lppJ

Ćwiczenie 2

Na rysunku przedstawiono przekrój graniastosłupa prawidłowego czworokątnego płaszczyzną przechodzącą przez przekątne przeciwległych ścian bocznych.

R11wD3HKsfg80

Ilustracja przedstawia graniastosłup o podstawie kwadratu. Wszystkie krawędzie podstawy podpisano mają długość 10, krawędź boczną ostrosłupa ma długość dwadzieścia. W graniastosłupie zaznaczono przekrój o kształcie prostokąta. Dwie krawędzie przekroju są przekątnymi ścian bocznych, jedna krawędź pokrywa się z krawędzią dolnej podstawy graniastosłupa, ostatnia krawędź pokrywa się z krawędzią górnej podstawy graniastosłupa.

RnGB0DDQC01dW

Ćwiczenie 3

Na rysunku przedstawiono przekrój graniastosłupa prawidłowego pewną płaszczyzną.

RCFoatnF5NmAD

Ilustracja przedstawia graniastosłup o podstawie kwadratu. Wszystkie krawędzie podstawy podpisano mają długość 12, krawędź boczną ostrosłupa ma długość h. W graniastosłupie zaznaczono przekrój o kształcie prostokąta. Dwie krawędzie przekroju pokrywają się z krawędziami ścian bocznych, a dwie krawędzie są przekątnymi odpowiednio dolnej i górnej podstawy.

RoDwkJ8Ulc69d

Ćwiczenie 4

Na rysunku przedstawiono przekrój graniastosłupa prawidłowego czworokątnego płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i przekątną ściany bocznej.

Rxpr3Aa2sM3GX

Ilustracja przedstawia graniastosłup o podstawie kwadratu. Wszystkie krawędzie podstawy podpisano mają długość 62, krawędź boczną ostrosłupa ma długość siedem. W graniastosłupie zaznaczono przekrój o kształcie trójkąta. Dwie krawędzie przekroju są przekątnymi sąsiadujących ścian bocznych, a jedno ramię jest przekątną dolnej podstawy.

R1PU51kbTYQG5

Ćwiczenie 5

Oblicz pole przekroju graniastosłupa prawidłowego czworokątnego płaszczyzną zawierającą krawędź podstawy i przecinającą przeciwległe krawędzie boczne, jeżeli wiadomo, że płaszczyzna ta jest nachylona do podstawy graniastosłupa pod kątem $30 °$ , krawędź boczna ma długość $10$ , a objętość graniastosłupa wynosi $270$ .

Narysujmy graniastosłup prawidłowy czworokątny, odpowiedni przekrój i wprowadźmy oznaczenia, jak na poniższym rysunku:

R1eRfGtombWy0

IlustracjaIlustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy czworokątny. Wszystkie krawędzie podstawy podpisano literą a, krawędź boczną ostrosłupa podpisano literą h. W graniastosłupie zaznaczono przekrój w kształcie prostokąta. Jedna z krawędzi przekroju pokrywa się z krawędzią dolnej podstawy, a drugi leży w płaszczyźnie naprzeciwległej ściany bocznej. Płaszczyzna przekroju jest pod kątem 30 stopni do krawędzi podstawy. Boki będące pod kątem 30 stopni do płaszczyzny podstawy podpisano literą x.

Przekrój jest prostokątem o bokach $a$ oraz $x$ .

Jeżeli $a$ jest długością krawędzi podstawy graniastosłupa, to do wyznaczenia wartości $a$ rozwiązujemy równanie, korzystając ze wzoru na objętość graniastosłupa:

$V = a^{2} \cdot h$

$270 = a^{2} \cdot 10$

$a^{2} = 27 \Rightarrow a = 3 \sqrt{3}$ .

Do wyznaczenia wartości $x$ rozpatrujemy trójkąt prostokątny:

RBEjlBmqMMjeG

Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny, jedna z jego przyprostokątnych jest podpisana literą a, jego przyprostokątna jest podpisana literą x. Kąt pomiędzy ramieniem a i ramieniem x ma miarę 30 stopni.

Zatem $x = 2 \cdot \frac{a \sqrt{3}}{3} = 2 \cdot \frac{3 \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{3} = 6$ .

Wobec tego pole rozpatrywanego przekroju jest równe:

$P = 3 \sqrt{3} \cdot 6 = 18 \sqrt{3}$ .

Ćwiczenie 6

Przekrój graniastosłupa prawidłowego czworokątnego przedstawionego na poniższym rysunku jest trójkątem równobocznym o boku $9$ .

Rw1cBw3wZa1I7

Ilustracja przedstawia graniastosłup o podstawie kwadratu. W graniastosłupie zaznaczono przekrój o kształcie trójkąta. Dwie krawędzie przekroju są przekątnymi sąsiadujących ścian bocznych i mają długość 9, a jedno ramię jest przekątną dolnej podstawy i również ma długość dziewięć.

RGqVTUiPn8gK2

Ćwiczenie 7

Oblicz pole przekroju graniastosłupa prawidłowego czworokątnego z rysunku wiedząc o tym, że krawędź podstawy, krawędź boczna oraz przekątna ściany bocznej w podanej kolejności są wyrazami ciągu arytmetycznego o różnicy $3$ .

RL7oP1Cs8ERTm

Niech $d$ będzie długością przekątnej ściany bocznej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego z rysunku.

Wobec tego, że krawędź podstawy, krawędź boczna oraz przekątna ściany bocznej w podanej kolejności są wyrazami ciągu arytmetycznego o różnicy $3$ , to:

$h = a + 3$

$d = a + 6$ .

Jeżeli wykorzystamy twierdzenie Pitagorasa, to do wyznaczenia wartości $a$ rozwiązujemy równanie:

$a^{2} + {(a + 3)}^{2} = {(a + 6)}^{2}$

$a^{2} + a^{2} + 6 a + 9 = a^{2} + 12 a + 36$

$a^{2} - 6 a - 27 = 0$

$a_{1} = \frac{6 - 12}{2} = - 3 < 0$

$a_{2} = \frac{6 + 12}{2} = 9 > 0$

Wobec tego $a = 9$ , $h = 12$ , $d = 15$ .

Pole rozpatrywanego przekroju jest równe:

$P = a \cdot d = 9 \cdot 15 = 135$ .

Ćwiczenie 8

Wykaż, że jeśli krawędź podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego z rysunku ma długość $a$ , a kąt między ramionami narysowanego przekroju graniastosłupa ma miarę $α$ , to pole tego przekroju jest równe $\frac{a^{2} \cdot \sin α}{2 - 2 \cos α}$ .

R1NQvuoNTldEe

Ilustracja przedstawia graniastosłup o podstawie kwadratu. Wszystkie krawędzie podstawy podpisano literą a. W graniastosłupie zaznaczono przekrój w kształcie trójkąta. Dwa ramiona trójkąta są przekątnymi ścian bocznych, a jedno ramię jest przekątną górnej podstawy graniastosłupa.

Otrzymany przekrój jest trójkątem równoramiennym, którego podstawą jest przekątna podstawy graniastosłupa, a ramiona przekątnymi ścian bocznych graniastosłupa.

Jeżeli $x$ będzie długością przekątnej ściany bocznej graniastosłupa z rysunku, to korzystając z twierdzenia cosinusów zapisujemy zależność:

${(a \sqrt{2})}^{2} = x^{2} + x^{2} - 2 \cdot x \cdot x \cdot \cos α$

$2 a^{2} = 2 x^{2} - 2 x^{2} \cdot \cos α$ .

Równanie przekształcamy do postaci:

$2 a^{2} = 2 x^{2} \cdot (1 - \cos α)$

$a^{2} = x^{2} \cdot (1 - \cos α)$

$x^{2} = \frac{a^{2}}{1 - \cos α}$ .

Wobec tego pole powierzchni rozpatrywanego przekroju jest równe:

$P = \frac{1}{2} \cdot x \cdot x \cdot \sin α = \frac{1}{2} \cdot \frac{a^{2}}{1 - \cos α} \cdot \sin α = \frac{a^{2} \cdot \sin α}{2 - 2 \cos α}$ .

Animacja 3D

Dla nauczyciela