Narysujmy graniastosłup prawidłowy czworokątny, odpowiedni przekrój i wprowadźmy oznaczenia, jak na poniższym rysunku:

R1eRfGtombWy0

IlustracjaIlustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy czworokątny. Wszystkie krawędzie podstawy podpisano literą a, krawędź boczną ostrosłupa podpisano literą h. W graniastosłupie zaznaczono przekrój w kształcie prostokąta. Jedna z krawędzi przekroju pokrywa się z krawędzią dolnej podstawy, a drugi leży w płaszczyźnie naprzeciwległej ściany bocznej. Płaszczyzna przekroju jest pod kątem 30 stopni do krawędzi podstawy. Boki będące pod kątem 30 stopni do płaszczyzny podstawy podpisano literą x.

Przekrój jest prostokątem o bokach $a$ oraz $x$.

Jeżeli $a$ jest długością krawędzi podstawy graniastosłupa, to do wyznaczenia wartości $a$ rozwiązujemy równanie, korzystając ze wzoru na objętość graniastosłupa:

$V=a^2·h$

$270=a^2·10$

$a^2=27\Rightarrow a=3\sqrt{3}$.

Do wyznaczenia wartości $x$ rozpatrujemy trójkąt prostokątny:

RBEjlBmqMMjeG

Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny, jedna z jego przyprostokątnych jest podpisana literą a, jego przyprostokątna jest podpisana literą x. Kąt pomiędzy ramieniem a i ramieniem x ma miarę 30 stopni.

Zatem $x=2·\frac{a\sqrt{3}}{3}=2·\frac{3\sqrt{3}·\sqrt{3}}{3}=6$.

Wobec tego pole rozpatrywanego przekroju jest równe:

$P=3\sqrt{3}·6=18\sqrt{3}$.

Niech $d$ będzie długością przekątnej ściany bocznej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego z rysunku.

Wobec tego, że krawędź podstawy, krawędź boczna oraz przekątna ściany bocznej w podanej kolejności są wyrazami ciągu arytmetycznego o różnicy $3$, to:

$h=a+3$

$d=a+6$.

Jeżeli wykorzystamy twierdzenie Pitagorasa, to do wyznaczenia wartości $a$ rozwiązujemy równanie:

$a^2+{\left(a+3\right)}^2={\left(a+6\right)}^2$

$a^2+a^2+6a+9=a^2+12a+36$

$a^2-6a-27=0$

$a_1=\frac{6-12}{2}=-3<0$

$a_2=\frac{6+12}{2}=9>0$

Wobec tego $a=9$, $h=12$, $d=15$.

Pole rozpatrywanego przekroju jest równe:

$P=a·d=9·15=135$.

Otrzymany przekrój jest trójkątem równoramiennym, którego podstawą jest przekątna podstawy graniastosłupa, a ramiona przekątnymi ścian bocznych graniastosłupa.

Jeżeli $x$ będzie długością przekątnej ściany bocznej graniastosłupa z rysunku, to korzystając z twierdzenia cosinusów zapisujemy zależność:

${\left(a\sqrt{2}\right)}^2=x^2+x^2-2·x·x·\cos \alpha$

$2a^2=2x^2-2x^2·\cos \alpha$.

Równanie przekształcamy do postaci:

$2a^2=2x^2·\left(1-\cos \alpha \right)$

$a^2=x^2·\left(1-\cos \alpha \right)$

$x^2=\frac{a^2}{1-\cos \alpha }$.

Wobec tego pole powierzchni rozpatrywanego przekroju jest równe:

$P=\frac{1}{2}·x·x·\sin \alpha =\frac{1}{2}·\frac{a^2}{1-\cos \alpha }·\sin \alpha =\frac{a^2·\sin \alpha }{2-2\cos \alpha }$.