Obliczamy granicę ciągu:

$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n\left(\sqrt{n^2+1}-n\right)}=$

$=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\left(\sqrt{n^2+1}+n\right)}{n\left(\sqrt{n^2+1}-n\right)\left(\sqrt{n^2+1}-n\right)}=$

$=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\left(\sqrt{n^2+1}+n\right)}{n}=\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}+1=2$.

Zatem na podstawie warunku wystarczającego rozbieżności szeregu, szereg $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n\left(\sqrt{n^2+1}-n\right)}$ jest rozbieżny.

$\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\sqrt[3]{n^3+4n^2}-n\right)=$

$=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\left(\sqrt[3]{n^3+4n^2}-n\right)\left({\left(\sqrt[3]{n^3+4n^2}\right)}^2+n\sqrt[3]{n^3+4n^2}+n^2\right)}{\left({\left(\sqrt[3]{n^3+4n^2}\right)}^2+n\sqrt[3]{n^3+4n^2}+n^2\right)}=$

$=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{4n^2}{{\left(\sqrt[3]{n^3+4n^2}\right)}^2+n\sqrt[3]{n^3+4n^2}+n^2}=$

$=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{4}{{\left(\sqrt[3]{1+\frac{4}{n}}\right)}^2+\sqrt[3]{1+\frac{4}{n}}+1}=\frac{4}{3}$.

Zatem na podstawie warunku wystarczającego rozbieżności szeregu, szereg $\sum _{n=1}^{\infty }\left(\sqrt[3]{n^3+4n^2}-n\right)$ jest rozbieżny.