Infografika. Zadanie. Wykażemy, że szereg $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{\sqrt{n^2+2n}}$ jest rozbieżny. Dowód. Wiadomo, że szereg $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{1+n}$ jest rozbieżny. Jest to szereg harmoniczny. Zauważmy, że dla wszystkich naturalnych dodatnich n zachodzi następująca nierówność: $\sqrt{n^2+2n}<n+1$. Nierówność zachodzi, gdyż $n+1=\sqrt{{\left(n+1\right)}^2}=\sqrt{n^2+2n+1}$. Na mocy powyższej nierówności mozemy zapisać następującą nierówność: $\frac{1}{n+1}<\frac{1}{\sqrt{n^2+2n}}$. Zatem wyrazy szeregu $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{\sqrt{n^2+2n}}$ są większe od wyrazów szeregu $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n+1}$. Zatem szereg $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{\sqrt{n^2+2n}}$ jest rozbieżny. Na podstawie kryterium porównawczego wykazaliśmy, że szereg $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{\sqrt{n^2+2n}}$ też jest rozbieżny.