Przeczytaj
Na tej lekcji zapoznamy się z typowymi metodami sprawdzania, czy szereg liczbowyszereg liczbowy jest rozbieżny.
Zaczniemy od następującego przykładu.
Szereg jest rozbieżny. Uzasadnimy, że dla szereg jest także rozbieżny.
Rozwiązanie
Ciąg sum częściowych szeregu
jest następującej postaci:
.
Ciąg sum częściowych szeregu
jest następującej postaci:
.
Ponieważ ciąg jest rozbieżny, zatem ciąg jest także rozbieżny.
Zatem udowodniliśmy, że szereg jest także rozbieżny.
Sformułujmy zatem twierdzenie:
Jeżeli szereg jest rozbieżny oraz k jest różne od 0, to szereg jest także rozbieżny.
Sformułujemy teraz twierdzenie, które pozwala stwierdzić, że szereg nie jest zbieżny.
Jeżeli ciąg jest rozbieżny lub granicą ciągu jest liczba niezerowa, to szereg jest rozbieżny.
Zbadamy zbieżność szeregu .
Rozwiązanie
Obliczamy granicę
.
Ponieważ ciąg jest zbieżny do liczby różnej od 0, zatem szereg jest rozbieżny.
Zbadamy zbieżność szeregu .
Rozwiązanie
Przekształćmy ciąg do postaci .
Jeżeli , gdzie , to i
.
Jeżeli , gdzie , to i
.
Zatem ciąg jest rozbieżny, a zatem szereg jest rozbieżny.
Zbadamy zbieżność ciągu .
Rozwiązanie
Obliczamy granicę ciągu:
Ponieważ granicą ciągu jest , zatem na podstawie warunku wystarczającego rozbieżności szeregu możemy stwierdzić, że szereg jest rozbieżny.
Słownik
szeregiem liczbowym o wyrazach nazywamy ciąg, którego kolejnymi wyrazami są sumy początkowych wyrazów ciągu :
,
,
,
...
jeżeli ciąg sum częściowych szeregu ma granicę, to nazywamy ją sumą szeregu; jeżeli suma szeregu jest skończona, to szereg nazywamy zbieżnym, jeżeli suma szeregu jest nieskończona lub jeżeli ciąg sum częściowych szeregu nie ma granicy, to szereg nazywamy rozbieżnym