Skonstruuj sześciokąt foremny, a następnie zastosuj procedurę opisaną w Przykładzie 1.

Opis konstrukcji.

1. Wykreśl okrąg o danym promieniu, a następnie poprowadź jego dowolną średnicę – końce tej średnicy oznacz odpowiednio $A$ i $B$.

2. Poprowadź symetralną odcinka $AB$ – punkty wspólne symetralnej i odcinka oznacz jako odpowiednio $C$ i $D$.

3. Połącz odcinkami kolejne punkty, a otrzymasz kwadrat wpisany w zadany okrąg.

Opis konstrukcji.

1. Wykreśl okrąg o danym promieniu, a następnie poprowadź jego dowolną średnicę – końce tej średnicy oznacz odpowiednio $A$ i $B$.

2. Przez punkty $A$ i $B$ poprowadź dwie proste prostopadłe do otrzymanej średnicy – w tym celu możesz nakreślić prostą zawierającą tę średnicę, a następnie odłożyć na ten prostej punkty pomocnicze $C$ i $D$ odległe od końców średnicy o $a$.

3. Na otrzymanej prostej prostopadłej przechodzącej przez $A$ odkładamy odcinki $AP$ i $AQ$ kreśląc cyrklem łuki o promieniu równym $a$. Analogiczną operację prowadzimy z punktu $B$ – odkładamy odcinki $BR$ i $BS$.

4. Łączymy kolejne punkty otrzymując szukany kwadrat.

Zauważ, że kreśląc wszystkie przekątne sześciokąta, dzielimy ten sześciokąt na przystające trójkąty równoboczne o boku równym długości promienia danego okręgu.
Zatem pole sześciokąta jest równe $6·\frac{1^2·\sqrt{3}}{4}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$.
Z kolei na bok trójkąta równobocznego, który konstrukcyjnie otrzymaliśmy łącząc co drugi wierzchołek sześciokąta, składają się dwie wysokości trójkątów równobocznych, o których mówiliśmy wcześniej. Ponieważ wysokość trójkątów powstałych w wyniku triangulacji opisanej wyżej ma długość $\frac{\sqrt{3}}{2}$, zatem „nasz” trójkąt ma bok długości $\sqrt{3}$. Jego pole jest więc równe $\frac{{\sqrt{3}}^2\sqrt{3}}{4}=\frac{3\sqrt{3}}{4}$.
Różnica pól obu figur jest więc równa $\frac{3\sqrt{3}}{2}-\frac{3\sqrt{3}}{4}=\frac{3\sqrt{3}}{4}$.

Uwaga. Gdybyśmy uważnie przyjrzeli się odcinkom i figurom, które powstają w trakcie dzielenia sześciokąta przekątnymi oraz bokom trójkąta równobocznego z wcześniejszych konstrukcji, to mielibyśmy szansę dostrzec, że pole trójkąta równobocznego wpisanego w dowolny okrąg jest równe połowie pola sześciokąta foremnego wpisanego w ten okrąg.