Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

R1VSv1gZLWKGg1

Ćwiczenie 1

Dopasuj stwierdzenie do danej liczby. Jest liczbą pierwszą i jest liczbą Fermata (ale nie najmniejszą). Możliwe odpowiedzi: 1.

3

, 2.

67

, 3.

258

, 4.

5

, 5.

2

Jest liczbą pierwszą (ale nie najmniejszą) i nie jest liczbą Fermata. Możliwe odpowiedzi: 1.

3

, 2.

67

, 3.

258

, 4.

5

, 5.

2

Nie jest liczbą pierwszą i nie jest liczbą Fermata. Możliwe odpowiedzi: 1.

3

, 2.

67

, 3.

258

, 4.

5

, 5.

2

Jest liczbą pierwszą i jest najmniejszą liczbą Fermata. Możliwe odpowiedzi: 1.

3

, 2.

67

, 3.

258

, 4.

5

, 5.

2

Jest najmniejszą liczbą pierwszą i nie jest liczbą Fermata. Możliwe odpowiedzi: 1.

3

, 2.

67

, 3.

258

, 4.

5

, 5.

2

RdEvY7iaoiEcW1

Ćwiczenie 2

RhE5WwWCJKYPU2

Ćwiczenie 3

R1VZtgA9RoZX92

Ćwiczenie 4

Wśród podanych niżej $n$ –kątów foremnych tylko jednego nie da się skonstruować klasycznymi metodami za pomocą cyrkla i liniału. Wskaż liczbę $n$ –jego boków.

$51$
$68$
$513$
$514$

R1SziJ1mXKJxc2

Ćwiczenie 5

Wybierz zdania prawdziwe. Wielokąt foremny można skonstruować za pomocą cyrkla i liniału, jeśli liczba $n$ jego boków jest równa:

$n = 13$
$n = 14$
$n = 15$
$n = 16$

Ćwiczenie 6

Przeprowadź konstrukcję dwunastokąta foremnego wpisanego w okrąg o promieniu $a$ .

Ćwiczenie 7

Przeprowadź konstrukcję kwadratu wpisanego w okrąg o promieniu $a$ .

Opis konstrukcji.

Wykreśl okrąg o danym promieniu, a następnie poprowadź jego dowolną średnicę – końce tej średnicy oznacz odpowiednio $A$ i $B$ .
Poprowadź symetralną odcinka $A B$ – punkty wspólne symetralnej i odcinka oznacz jako odpowiednio $C$ i $D$ .
Połącz odcinkami kolejne punkty, a otrzymasz kwadrat wpisany w zadany okrąg.

Ćwiczenie 8

Przeprowadź konstrukcję kwadratu opisanego na okręgu o promieniu $a$ .

Opis konstrukcji.

Wykreśl okrąg o danym promieniu, a następnie poprowadź jego dowolną średnicę – końce tej średnicy oznacz odpowiednio $A$ i $B$ .
Przez punkty $A$ i $B$ poprowadź dwie proste prostopadłe do otrzymanej średnicy – w tym celu możesz nakreślić prostą zawierającą tę średnicę, a następnie odłożyć na ten prostej punkty pomocnicze $C$ i $D$ odległe od końców średnicy o $a$ .
Na otrzymanej prostej prostopadłej przechodzącej przez $A$ odkładamy odcinki $A P$ i $A Q$ kreśląc cyrklem łuki o promieniu równym $a$ . Analogiczną operację prowadzimy z punktu $B$ – odkładamy odcinki $B R$ i $B S$ .
Łączymy kolejne punkty otrzymując szukany kwadrat.

Ćwiczenie 9

Oblicz różnicę pól sześciokąta foremnego i trójkąta równobocznego wpisanych w okrąg o promieniu $1$ .

Zauważ, że kreśląc wszystkie przekątne sześciokąta, dzielimy ten sześciokąt na przystające trójkąty równoboczne o boku równym długości promienia danego okręgu.
Zatem pole sześciokąta jest równe $6 \cdot \frac{1^{2} \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ .
Z kolei na bok trójkąta równobocznego, który konstrukcyjnie otrzymaliśmy łącząc co drugi wierzchołek sześciokąta, składają się dwie wysokości trójkątów równobocznych, o których mówiliśmy wcześniej. Ponieważ wysokość trójkątów powstałych w wyniku triangulacji opisanej wyżej ma długość $\frac{\sqrt{3}}{2}$ , zatem „nasz” trójkąt ma bok długości $\sqrt{3}$ . Jego pole jest więc równe $\frac{{\sqrt{3}}^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{3 \sqrt{3}}{4}$ .
Różnica pól obu figur jest więc równa $\frac{3 \sqrt{3}}{2} - \frac{3 \sqrt{3}}{4} = \frac{3 \sqrt{3}}{4}$ .

Uwaga. Gdybyśmy uważnie przyjrzeli się odcinkom i figurom, które powstają w trakcie dzielenia sześciokąta przekątnymi oraz bokom trójkąta równobocznego z wcześniejszych konstrukcji, to mielibyśmy szansę dostrzec, że pole trójkąta równobocznego wpisanego w dowolny okrąg jest równe połowie pola sześciokąta foremnego wpisanego w ten okrąg.

Aplet

Dla nauczyciela