Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

RFOY95q3AjiFW1

Ćwiczenie 1

Liczba bakterii w kolonii na początku jest równa $5$ . Liczba ta podwaja się co $6$ godzin. Odpowiedz na następujące pytania. Możesz użyć kalkulatora.
Wpisz poprawne liczby.

Pytanie	Odpowiedź
Ile bakterii będzie w kolonii po $30$ godzinach?
Ile bakterii będzie w kolonii po $4$ dobach?
Po ilu godzinach w kolonii będzie $1280$ bakterii?
Po ilu dobach w kolonii będzie $20480$ bakterii?

Ćwiczenie 2

Czas połowicznego rozpadu izotopu jodu $^{131} I$ jest równy $8$ dni. Wyznacz najmniejszą liczbę dni, po upływie których z $1 g$ pozostanie nie więcej niż $0, 125 g$ tego pierwiastka.

Po ośmiu dniach z $1 g$ pozostanie $0, 5 g$ tego izotopu jodu.

Po kolejnych ośmiu będzie już tylko $0, 25 g$ , zaś po następnych ośmiu $0, 125 g$ .

Zatem po $24$ dniach z $1 g$ pozostanie nie więcej niż $0, 125 g$ izotopu jodu $^{131} I$ .

Ćwiczenie 3

Bez użycia kalkulatora zapisz w najprostszej postaci wyrażenie $1 + 3 + 3^{2} + 3^{3} + 3^{4} + 3^{5} + 3^{6}$ .

Oznaczmy wyrażenie $1 + 3 + 3^{2} + 3^{3} + 3^{4} + 3^{5} + 3^{6}$ przez $S_{6}$ oraz wyrażenie $1 + 3 + 3^{2} + 3^{3} + 3^{4} + 3^{5} + 3^{6} + 3^{7}$ przez $S_{7}$ .

Zauważmy teraz, że $S_{7} = S_{6} + 3^{7}$ oraz $S_{7} = 1 + 3 + 3^{2} + 3^{3} + 3^{4} + 3^{5} + 3^{6} + 3^{7} =$

$= 1 + 3 \cdot (1 + 3 + 3^{2} + 3^{3} + 3^{4} + 3^{5} + 3^{6}) = 1 + 3 S_{6}$ .

Zatem mamy równania $S_{7} = S_{6} + 3^{7}$ i $S_{7} = 1 + 3 S_{6}$ .

Po porównaniu prawych stron obu równości otrzymujemy $S_{6} + 3^{7} = 1 + 3 S_{6}$ , z czego wynika $3^{7} - 1 = 2 S_{6}$ , czyli $S_{6} = \frac{3^{7} - 1}{2} = 1093$ .

Ćwiczenie 4

Rozwiąż test.

RMdPde6FoKBvr

Po roku odsetki od lokaty w wysokości $1500 zł$ z oprocentowaniem rocznym $1, 5 %$ będą równe:

$2, 25 zł$
$22, 5 zł$
$225 zł$

R4rRZJomSt0Uy

Po dwóch latach odsetki od lokaty w wysokości $1000 zł$ z oprocentowaniem rocznym $1 %$ i roczną kapitalizacją odsetek będą równe:

$20 zł$
$20, 10 zł$
$20, 20 zł$

RWBf6427IWcjQ

$1000 zł$ złożono na lokatę roczną z oprocentowaniem $1 %$ . Po roku całą kwotę wraz z odsetkami złożono na lokatę roczną z oprocentowaniem $5 %$ . Jak musiałaby być oprocentowana lokata roczna z roczną kapitalizacją odsetek, żeby po dwóch latach otrzymać odsetki od kwoty $1000 zł$ takie same jak w przypadku dwóch poprzednich lokat?

$2, 98 %$
$3 %$
$6 %$

R1BrUHRWHXvsN

Pan Sebastian wpłacił $1000 zł$ na lokatę roczną z oprocentowaniem $1 %$ i $1000 zł$ na lokatę roczną z oprocentowaniem $5 %$ . Jak musiałaby być oprocentowana lokata roczna, aby po roku odsetki od kwoty $2000 zł$ były takie same jak w przypadku sumy odsetek w obu lokatach?

$2, 98 %$
$3 %$
$6 %$

RikPhpFdKIzgI2

Ćwiczenie 5

W tabeli podano inflacje w kolejnych latach. W każdym przypadku wyznacz inflację średnią. Przeciągnij i upuść.

$i_{1} = 2 %, i_{2} = 4 %$ , $i_{1} = 1 %, i_{2} = 5 %$ , $i_{1} = 2 %, i_{2} = 3 %, i_{3} = 4 %$ , $i_{1} = 1 %, i_{2} = 2 %, i_{3} = 4 %, i_{4} = 5 %$ , $i_{1} = 1 %, i_{2} = 2 %, i_{3} = 3 %, i_{4} = 4 %, i_{5} = 5 %$

Inflacje roczne w kolejnych latach	Przybliżona inflacja średnia
$i_{1} = 2 %, i_{2} = 4 %$
$i_{1} = 1 %, i_{2} = 5 %$
$i_{1} = 2 %, i_{2} = 3 %, i_{3} = 4 %$
$i_{1} = 1 %, i_{2} = 2 %, i_{3} = 4 %, i_{4} = 5 %$
$i_{1} = 1 %, i_{2} = 2 %, i_{3} = 3 %, i_{4} = 4 %, i_{5} = 5 %$

R1SqwCI2NbjEg2

Ćwiczenie 6

Z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku wyznacz średnie podanych zestawów liczb. Która średnia jest najmniejsza, a która największa w każdym przypadku. Możesz użyć kalkulatora. Przeciągnij poprawne liczby.

$2, 8$ , $1, 3, 9$ , $1, 2, 3, 4$ , $2, 2, 3, 4$

Zestaw danych	Średnia kwadratowa	Średnia arytmetyczna	Średnia geometryczna
$2, 8$
$1, 3, 9$
$1, 2, 3, 4$
$2, 2, 3, 4$

RRaBSgU30RmgO3

Ćwiczenie 7

Rozwiąż test. Wskaż wszystkie poprawne odpowiedzi. Spodek wysokości w trójkącie prostokątnym podzielił przeciwprostokątną na odcinki o długościach

1

4

. Wówczas:
Długość tej wysokości to

2

. Jest to trójkąt egipski. Jest to trójkąt pitagorejski.

Podstawy trapezu są równe

12

2 \sqrt{14}

. Odcinek dzielący ten trapez na dwa trapezy o równych polach, którego końce zawarte są w ramionach tego trapezu ma długość:
} { {}

Dany jest trójkąt o bokach

5

\frac{25}{3}

\frac{20}{3}

. Wysokość poprowadzona do boku o długości

\frac{25}{3}

dzieli ten bok na odcinki długości:
} { {}

Dany jest trapez o ramionach długości

\sqrt{17}

5

. Jedna z podstaw ma długość

6

, zaś wysokość to

4

. Odcinek o końcach zawartych w ramionach trapezu dzielący go na dwa trapezy o równych polach może mieć długość:
} { {}

Rozwiąż test. Wskaż wszystkie poprawne odpowiedzi.

Spodek wysokości w trójkącie prostokątnym podzielił przeciwprostokątną na odcinki o długościach $1,8$ i $3,2$ . Wówczas:
{#Długość tej wysokości to $2,4$ .} {#Jest to trójkąt egipski.} {#Jest to trójkąt pitagorejski.}

Podstawy trapezu są równe $12$ i $2 \sqrt{14}$ . Odcinek dzielący ten trapez na dwa trapezy o równych polach, którego końce zawarte są w ramionach tego trapezu ma długość:
{# $10$ } { $10 \sqrt{2}$ } { $20$ }

Dany jest trójkąt o bokach $5$ , $\frac{25}{3}$ , $\frac{20}{3}$ . Wysokość poprowadzona do boku o długości $\frac{25}{3}$ dzieli ten bok na odcinki długości:
{# $3$ } {# $\frac{16}{3}$ } { $4$ }

Dany jest trapez o ramionach długości $\sqrt{17}$ i $5$ . Jedna z podstaw ma długość $6$ , zaś wysokość to $4$ . Odcinek o końcach zawartych w ramionach trapezu dzielący go na dwa trapezy o równych polach może mieć długość:
{# $\sqrt{50}$ } {# $\sqrt{26}$ } {# $\sqrt{68}$ }

Ćwiczenie 8

Rozwiąż zadania:

a) Pan Janusz znalazł bardzo korzystny sposób inwestowania z oprocentowaniem rocznym w wysokości $10 %$ i roczną kapitalizacją odsetek. Zainwestował więc pewną kwotę i po pięciu latach wraz z odsetkami otrzymał $4831, 53 zł$ . Jaką kwotę zainwestował pan Stefan?

b) Pani Grażyna założyła lokatę z oprocentowaniem $4 %$ w skali roku i roczną kapitalizacją odsetek. Kwota, którą zainwestowała to $5000 zł$ . Po kilku latach zamknęła lokatę i otrzymała z tego tytułu kwotę $6842, 85 zł$ . Ile lat pieniądze znajdowały się na lokacie?

a) Jeśli zainwestowaną przez pana Janusza kwotę oznaczymy przez $x$ , to zgodnie ze wzorem na procent składany, otrzymujemy równanie $x {(1 + \frac{10}{100})}^{5} = 4831, 53$ . Stąd wynika, że $x = 3000 zł$ .

b) Po podstawieniu danych z treści zadania do wzoru na procent składany, otrzymujemy równość $5000 \cdot {(1 + \frac{4}{100})}^{n} = 6842, 84$ , czyli $1, 04^{n} = 1, 368568$ , gdzie $n$ to liczba lat trwania lokaty. Stąd wynika, że $n = 8$ .

Gra edukacyjna

Dla nauczyciela