Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

R7fSFjck8Mx6v

Wskaż prawidłowe dokończenie zdania.
Jeżeli w ośrodku, w którym rozchodzi się fala harmoniczna masa m ulega wychyleniu równemu średniej arytmetycznej wychyleń sąsiednich mas, to siła wypadkowa działająca na taką masę:

jest odwrotnie proporcjonalna do wychylenia
ma wartość maksymalną
wynosi zero

Kiedy każda z mas porusza się ruchem harmonicznym, w takim ruchu wartość siły jest proporcjonalna do wychylenia, ale ma przeciwny zwrot.

F_{n} = - B U_{n} = - B A sin [2 π (\frac{x_{n}}{λ} - \frac{t}{T})]

Można oczekiwać, że współczynnik B zależy od długości fali, ponieważ jeżeli przy niezmienionej amplitudzie A długość fali wzrośnie, odkształcenia sąsiednich sprężyn zmaleją. B powinno więc maleć ze wzrostem długości fali. Jeżeli ze wzrostem lambda maleje siła działająca na masę, powinna zmaleć również częstotliwość kołowa ruchu $ω = \frac{2 π}{T}$ .

R1M0rlHrETOEA1

Ćwiczenie 2

Określ prawdziwość zdań. Przy zdaniach prawdziwych zaznacz literę P, a przy fałszywych literę F.

Wzrost długości fali rozchodzącej się w ośrodku spowoduje wzrost wartości siły działającej na masy. {P}/{#F}
Siła działająca na masy nigdy nie przyjmuje wartości równej 0. {P}/{#F}
Siła działająca na element ośrodka zależy od jego wychylenia. {#P}/{F}

RKDROQPtA3ptU1

Ćwiczenie 3

Trzy sąsiednie masy zostały wychylone o odpowiednio: U_l, U_s i U_p. Połącz wzory na wartość siły wypadkowej działającej na środkową masę z przypadkami, które im odpowiadają. Wszystkie wychylenia mają różne wartości Możliwe odpowiedzi: 1.

F_{w} = k U_{p}

, 2.

F_{w} = 0

, 3.

F_{w} = 2 k (U_{p} - U_{s})

, 4.

F_{w} = 2 k (\frac{U_{p} + U_{l}}{2} - U_{s})

Wychylenia wszystkich mas są identyczne Możliwe odpowiedzi: 1.

F_{w} = k U_{p}

, 2.

F_{w} = 0

, 3.

F_{w} = 2 k (U_{p} - U_{s})

, 4.

F_{w} = 2 k (\frac{U_{p} + U_{l}}{2} - U_{s})

Wychylenie środkowej masy jest dwa razy mniejsze od wychylenia masy lewej Możliwe odpowiedzi: 1.

F_{w} = k U_{p}

, 2.

F_{w} = 0

, 3.

F_{w} = 2 k (U_{p} - U_{s} <mo stretchy="false" form="postfix">)

, 4.

F_{w} = 2 k (\frac{U_{p} + U_{l}}{2} - U_{s})

Wychylenie lewej masy jest równe wychyleniu prawej masy Możliwe odpowiedzi: 1.

F_{w} = k U_{p}

, 2.

F_{w} = 0

, 3.

F_{w} = 2 k (U_{p} - U_{s})

, 4.

F_{w} = 2 k (\frac{U_{p} + U_{l}}{2} - U_{s})

Trzy sąsiednie masy zostały wychylone o odpowiednio: U_l, U_s i U_p. Połącz wzory na wartość siły wypadkowej działającej na środkową masę z przypadkami, które im odpowiadają.

Wszystkie wychylenia mają różne wartości
Wychylenia wszystkich mas są identyczne
Wychylenie środkowej masy jest dwa razy mniejsze od wychylenia masy lewej
Wychylenie lewej masy jest równe wychyleniu prawej masy

Ćwiczenie 4

Wyprowadź wzór na siłę działającą na n-tą masę, kiedy biegnie w nim fala wywołująca wychylenia w postaci

U_{n} = A sin [2 π (\frac{x_{n}}{λ} - \frac{t}{T})]

Przydatne będą tożsamości trygonometryczne:

sin α + sin β = 2 sin (\frac{α + β}{2}) cos (\frac{α - β}{2})

oraz

{1 - c o s α = 2 s i n}^{2} (\frac{α}{2})

Siła wypadkowa opisana jest wzorem:

F_{w} = 2 k (\frac{U_{p} + U_{l}}{2} - U_{s})

Kolejne położenia xIndeks dolny n‑1Indeks dolny ,xIndeks dolny n i xIndeks dolny n+1 różnią się o d:

x_{n - 1} = x_{n} - d, x_{n + 1} = x_{n} + d

Najpierw obliczamy sumę $U_{p} + U_{l}$ jako sumę $U_{n + 1} + U_{n - 1}$ , korzystając z wzoru na sumę sinusów:

U_{n + 1} + U_{n - 1} = A s i n [2 π (\frac{x_{n} + d}{λ} - \frac{t}{T})] + A s i n [2 π (\frac{x_{n} - d}{λ} - \frac{t}{T})] =

= 2 A s i n [\frac{2 π (\frac{x_{n} + d}{λ} - \frac{t}{T} + \frac{x_{n} - d}{λ} - \frac{t}{T})}{2}] c o s [\frac{2 π (\frac{x_{n} + d}{λ} - \frac{t}{T} + \frac{x_{n} - d}{λ} + \frac{t}{T})}{2}] =

= 2 A s i n [\frac{2 π (\frac{2 x_{n}}{λ} - \frac{2 t}{T})}{2}] c o s [\frac{2 π (\frac{2 d}{λ})}{2}] =

= 2 A s i n [2 π (\frac{x_{n}}{λ} - \frac{t}{T})] c o s [2 π (\frac{d}{λ})]

Następnie możemy wyliczyć naszą siłę:

F_{w} = 2 k (\frac{U_{p} + U_{l}}{2} - U_{s}) =

= 2 k (A s i n [2 π (\frac{x_{n}}{λ} - \frac{t}{T})] c o s [2 π (\frac{d}{λ})] - A s i n [2 π (\frac{x_{n}}{λ} - \frac{t}{T})]) =

= 2 k A s i n [2 π (\frac{x_{n}}{λ} - \frac{t}{T})] [c o s [2 π (\frac{d}{T})] - 1]

Teraz możemy wykorzystać naszą drugą tożsamość trygonometryczną:

F_{w} = - 2 k A s i n [2 π (\frac{x_{n}}{λ} - \frac{t}{T})] [1 - c o s [2 π (\frac{d}{λ})]] =

= - 4 k A s i n^{2} [\frac{π d}{λ}] s i n [2 π (\frac{x_{n}}{λ} - \frac{t}{T})]

Zauważ, że z tak zapisanego wzoru możemy łatwo odczytać wyrażenie na współczynnik B:

B = 4 {sin}^{2} (\frac{πd}{λ})

Dla lambda >> d możemy sinus przybliżyć funkcją liniową:

B \approx \frac{4 π^{2} d^{2}}{λ^{2}}

Zgodnie z przewidywaniami, wraz ze wzrostem długości fali współczynnik B maleje.

Ćwiczenie 5

Czy w modelu mas połączonych sprężynkami poruszają się one ruchem harmonicznym? Odpowiedź uzasadnij.

Ruch harmoniczny jest to ruch wywołany działaniem siły proporcjonalnej do wychylenia $Δx$ z położenia równowagi i skierowanej przeciwnie do wychylenia. Taką siłę opisuje równanie:

F = - k Δ x

Gdzie k jest pewnym współczynnikiem. Siły działające na nasze masy mają dokładnie taką samą postać, więc poruszają się one ruchem harmonicznym.

RPFsusa45DmQb1

Ćwiczenie 6

Wskaż prawidłowe dokończenie zdania.
Zwiększając amplitudę fali rozchodzącej się w ośrodku, maksymalna możliwa siła działająca na pojedynczą masę:

zwiększy się wprost proporcjonalnie
zmniejszy się wprost proporcjonalnie
pozostanie taka sama

RcW7O691kTLYG1

Ćwiczenie 7

Przez pewien kryształ rozchodziła się fala harmoniczna. Gdy masa o numerze n-1 znajdowała się w swoim skrajnym lewym położeniu, masa o numerze n+1 znajdowała się w swoim skrajnym prawym położeniu. W jakim położeniu znajdowała się masa o numerze n? Wybierz właściwą odpowiedź.

Znajdowała się w skrajnym lewym położeniu.
Znajdowała się pomiędzy skrajnym lewym położeniem, a położeniem równowagi.
Znajdowała się w położeniu równowagi.
Znajdowała się pomiędzy skrajnym położeniem równowagi a skrajnym prawym położeniem.
Znajdowała się w skrajnym prawym położeniu.

RXaAdYClC3Abr1

Ćwiczenie 8

Wskaż właściwe dokończenie zdania oraz jego uzasadnienie.

Zmniejszenie dwukrotnie okresu fali rozchodzącej się w ośrodku spowoduje {#dwukrotne zmniejszenie okresu drgań mas}/{dwukrotne zwiększenie okresu drgań mas}.
Dzieje się tak dlatego, że {te okresy są do siebie odwrotnie proporcjonalne}/{#te okresy są takie same}.

Symulacja interaktywna

Dla nauczyciela