Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

RsNOhaU0OlFMA

Jeżeli suma długości krawędzi prostopadłościanu wynosi $152 cm$ , a podstawa jest prostokątem o polu $192 {cm}^{2}$ i wymiarach różniących się o $4 cm$ , to objętość prostopadłościanu wynosi:

$1920 {cm}^{3}$
$1800 {cm}^{3}$
$768 {cm}^{3}$

Ćwiczenie 2

Na rysunku przedstawiono prostopadłościan.

R7dLtwG73namU

Ilustracja przedstawia prostopadłościan o krawędziach podstawy 3 i 4 oraz przekątnej prostopadłościanu o długości dwanaście.

R5I1nQQ0rrlZ1

Zaznacz zdania, które są prawdziwe.

Objętość prostopadłościanu wynosi $12 \sqrt{119}$ .
Krawędź boczna prostopadłościanu ma długość $12$ .
Objętość prostopadłościanu wynosi $144$ .
Krawędź boczna prostopadłościanu ma długość $\sqrt{119}$ .

Ćwiczenie 3

R1ZMIhNFdgCz3

R1RrjCjZZPAqT

V = 112 \sqrt{21}

Możliwe odpowiedzi: 1. Ilustracja przedstawia prostopadłościan o krawędziach podstawy równych a i 4 oraz wysokości równej czternaście. Długość przekątnej wynosi dziesięć., 2. Ilustracja przedstawia prostopadłościan o krawędziach podstawy równych 6 i 4 oraz przekątnej graniastosłupa równej dziesięć., 3. Ilustracja przedstawia prostopadłościan o krawędziach podstawy równych 4 i a. Przekątna graniastosłupa ma długość 16, a przekątna podstawy ma długość równą osiem.

V = 384

V = 96 \sqrt{3}

Ćwiczenie 4

Na rysunku przedstawiono prostopadłościan. Wiadomo, że $tg α = \frac{2}{3}$ .

Rx4C7fBhT4ouU

Ilustracja przedstawia prostopadłościan o krawędzi podstawy 14, wysokości h. Przekątna graniastosłupa ma długość 26 i tworzy z przekątną podstawy kąt alfa.

RZwt8Igfdoigr

Wstaw w tekst odpowiednie liczby.

$224 \sqrt{221}$ , $6 \sqrt{13}$ , $4 \sqrt{13}$ , $4 \sqrt{17}$

Przekątna podstawy prostopadłościanu ma długość .............
Druga krawędź podstawy prostopadłościanu ma długość .............
Krawędź boczna prostopadłościanu ma długość .............
Objętość prostopadłościanu jest równa .............

Ćwiczenie 5

Wiadomo, że suma długości krawędzi prostopadłościanu z rysunku wynosi $192$ .

R1RBsKu8Czjph

Ilustracja przedstawia prostopadłościan o krawędziach podstawy a i 2a oraz wysokości 3a.

RW5LnDAnrO3Pt

Wtedy objętość bryły jest równa:

$3072$
$384$
$196608$

Ćwiczenie 6

R9rr4AUPMLdXz

RHYxxATl9CzNG

Elementy do uszeregowania: 1. Ilustracja przedstawia prostopadłościan o krawędziach podstawy a i

2 \sqrt{7}

oraz wyskości 8 i przekątnej graniastosłupa równej dziesięć., 2. Ilustracja przedstawia prostopadłościan o krawędziach podstawy a i 6. Przekątna podstawy ma długość 8, a przekątna graniastosłupa ma długość dwanaście., 3. Ilustracja przedstawia prostopadłościan o krawędziach podstawy a i 6 oraz wysokości dziesięć. Przekątna podstawy ma długość

6 \sqrt{2}

Ćwiczenie 7

Wykaż, że jeśli przekątna prostopadłościanu o podstawie kwadratu ma długość $d$ oraz kąt nachylenia tej przekątnej do płaszczyny podstawy ma miarę $α$ , to objętość tego prostopadłościanu wyraża się wzorem $V = \frac{d^{3} \cdot \sin α \cdot \cos^{2} α}{2}$ .

Narysujmy prostopadłościan i wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku.

R1Jnp0at74OJo

Ilustracja przedstawia prostopadłościan o krawędziach podstawy równych a i wysokości równej h. Przekątna graniastosłupa ma długość d, a przekątna podstawy ma długość x. Tworzą one ze sobą kąt alfa.

Korzystając z funkcji trygonometrycznych mamy, że:

$\frac{x}{d} = \cos α$ , więc $x = d \cdot \cos α$ ,

$\frac{h}{d} = \sin α$ , więc $h = d \cdot \sin α$ .

Z zależności $x = a \sqrt{2}$ mamy, że:

$a \sqrt{2} = d \cdot \cos α$ , więc $a = \frac{\sqrt{2} \cdot d \cdot \cos α}{2}$ .

Po podstawieniu otrzymanych wielkości do wzoru na objętość prostopadłościanu mamy:

$V = a^{2} \cdot h = {(\frac{\sqrt{2} \cdot d \cdot \cos α}{2})}^{2} \cdot d \cdot \sin α = \frac{d^{3} \cdot \sin α \cdot \cos^{2} α}{2}$ .

Ćwiczenie 8

Krawędzie podstawy prostopadłościanu oraz krawędź boczna, w podanej kolejności tworzą ciąg geometryczny o ilorazie $\frac{3}{2}$ , a suma ich długości wynosi $14 \frac{1}{4}$ . Oblicz objętość tego prostopadłościanu.

Narysujmy prostopadłościan i wprowadźmy odpowiednie oznaczenia.

RkQMpmbiIgVlA

Ilustracja przedstawia prostopadłościan o krawędziach podstawy równych x i y oraz wysokości z.

Korzystając z tego, że liczby $x, y, z$ w podanej kolejności tworzą ciąg geometryczny o ilorazie $\frac{3}{2}$ , mamy:

$y = \frac{3}{2} x$ oraz $z = \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2} x = \frac{9}{4} x$

Ponieważ suma wyrazów tego ciągu wynosi $14 \frac{1}{4}$ , zatem do wyznaczenia wartości $x$ rozwiązujemy równanie:

$x + \frac{3}{2} x + \frac{9}{4} x = 14 \frac{1}{4}$

$4 x + 6 x + 9 x = 57$ , więc $x = 3$

Wobec tego:

$y = \frac{3}{2} \cdot 3 = \frac{9}{2}$

$z = \frac{9}{4} \cdot 3 = \frac{27}{4}$

Objętość tego prostopadłościanu jest równa:

$V = 3 \cdot \frac{9}{2} \cdot \frac{27}{4} = \frac{729}{8} = 91 \frac{1}{8}$

Schemat interaktywny

Dla nauczyciela