Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

RSWhyxg4cQPMM1

Ćwiczenie 1

Zaznacz poprawną odpowiedź. Miara liniowa kąta dwuściennego między ścianami bocznymi w graniastosłupie prostym o podstawie trójkąta równobocznego:

jest trzy razy mniejsza od miary kąta półpełnego
stanowi czwartą część kąta pełnego
wynosi zawsze $90 °$

Ćwiczenie 2

Na rysunku przedstawiono kąt dwuścienny wraz z punktem $A$ , który należy do ściany tego kąta.

R1YS3ey92ArgD

Ilustracja przedstawia kąt dwuścienny z miarą liniową kąta alfa. Na jednej z dwóch półprostych wyznaczających liniową miarę kąta dwuściennego znajduje się punkt A, od którego poprowadzono półprostą przechodzącą przez drugą półprostą wyznaczającą miarę liniową kąta dwuściennego tak, że został utworzony trójkąt, w którym dwa ramiona należące do półpłaszczyzn wyznaczających kąt dwuścienny mają długość a. Zatem pomiędzy ramionami a znajduje się wspomniany kąt alfa. Z punktu A poprowadzona została półprosta przechodząca przez drugą półprostą należącą do drugiej półpłaszczyzny pod kątem prostym.

R1Y8tdP6coVbM

Zaznacz zależności, które są prawdziwe.

$\sin α = \frac{x}{a}$
$x = a$
jeżeli $α = 60 °$ , to $x = \frac{a}{2}$
jeżeli $α = 30 °$ , to $x = \frac{a}{2}$

Ćwiczenie 3

Na rysunkach przedstawiono kąty dwuścienne $α$ i $β$ .

RQYWzrRtHfrNX

Ilustracja przedstawia dwa rodzaje kątów dwuściennych. W pierwszym kącie po stronie lewej kąt beta zaznaczony jest po stronie zewnętrznej, czyli tam gdzie jest okładka, natomiast po stronie prawej kąt alfa znajduje się wewnątrz dwóch ścian, czyli tam gdzie znajdują się kartki.

R1MzW8tQLQGjL

Pogrupuj elementy, zgodnie z podanym opisem.

ma miarę większą niż <math><mn>180</mn><mo>°</mo></math>, ma miarę mniejszą niż <math><mn>180</mn><mo>°</mo></math>, jest kątem wypukłym, jest kątem wklęsłym

Kąt dwuścienny $α$ :
Kąt dwuścienny $β$ :

R1GqoH8aLEtuC2

Ćwiczenie 4

Wstaw w tekst odpowiednie zwroty.

krawędzią, miarą, prostopadłe, równoległe, część wspólną, półpłaszczyzną, ścianą, prostą

Wspólna część płaszczyzn tworzących kąt dwuścienny nazywa się .................................... kąta dwuściennego. Do wyznaczenia miary liniowej kąta dwuściennego wskazujemy proste .................................... do jego krawędzi, które leżą na obu ścianach.
Kątem liniowym kąta dwuściennego nazywamy .................................... kąta dwuściennego i płaszczyzny prostopadłej do jego krawędzi. Miara kąta liniowego jest .................................... kąta dwuściennego.

R3IBTKBwE1lkM2

Ćwiczenie 5

Połącz w pary nazwę graniastosłupa prostego z miarą liniową kąta między jego ścianami bocznymi: graniastosłup prawidłowy czworokątny Możliwe odpowiedzi: 1.

90 °

, 2.

144 °

, 3.

135 °

, 4.

108 °

, 5.

120 °

graniastosłup prawidłowy pięciokątny Możliwe odpowiedzi: 1.

90 °

, 2.

144 °

, 3.

135 °

, 4.

108 °

, 5.

120 °

graniastosłup prawidłowy sześciokątny Możliwe odpowiedzi: 1.

90 °

, 2.

144 °

, 3.

135 °

, 4.

108 °

, 5.

120 °

graniastosłup prawidłowy ośmiokątny Możliwe odpowiedzi: 1.

90 °

, 2.

144 °

, 3.

135 °

, 4.

108 °

, 5.

120 °

graniastosłup prawidłowy dziesięciokątny Możliwe odpowiedzi: 1.

90 °

, 2.

144 °

, 3.

135 °

, 4.

108 °

, 5.

120 °

Połącz w pary nazwę graniastosłupa prostego z miarą liniową kąta między jego sąsiednimi ścianami bocznymi:

graniastosłup prawidłowy czworokątny
graniastosłup prawidłowy pięciokątny
graniastosłup prawidłowy sześciokątny
graniastosłup prawidłowy ośmiokątny
graniastosłup prawidłowy dziesięciokątny

Ćwiczenie 6

Miara liniowa kąta dwuściennego jest równa $45 °$ . Na jednej ze ścian leży punkt $A$ , którego odległość od drugiej ściany jest równa $10$ . Obliczymy odległość punktu $A$ od krawędzi kąta dwuściennego.

Narysujmy rysunek pomocniczy do zadania i wprowadźmy odpowiednie oznaczenia.

RuTka28761t27

Ilustracja przedstawia kąt dwuścienny z miarą liniową kąta 45 stopni. Na jednej z dwóch półprostych wyznaczających liniową miarę kąta dwuściennego znajduje się punkt A, od którego poprowadzono półprostą przechodzącą przez drugą półprostą wyznaczającą miarę liniową kąta dwuściennego tak, że został utworzony trójkąt, w którym dwa ramiona należące do półpłaszczyzn wyznaczających kąt dwuścienny mają długość a. Zatem pomiędzy ramionami a znajduje się wspomniany kąt 45 stopni. Z punktu A poprowadzona została półprosta przechodząca przez drugą półprostą należącą do drugiej półpłaszczyzny pod kątem prostym.

Zauważmy, że do wyznaczenia odległości punktu $A$ od krawędzi kąta dwuściennego wystarczy rozpatrzeć trójkąt, jak na poniższym rysunku.

R1O1WzOU5QhhG

Ilustracja przedstawia trójkąt równoramienny o długości ramion a. Pomiędzy ramionami znajduje się kąt równy 45 stopni. Od wierzchołka A znajdującego się w podstawie trójkąta poprowadzono wysokość o długości x.

Z treści zadania wynika, że $x = 10$ .

Otrzymany trójkąt jest równoramienny.

Jeżeli $a$ jest długością ramienia tego trójkąta i szukaną odległością, to wartość $a$ wynosi:

$a = x \sqrt{2} = 10 \sqrt{2}$

Zatem szukana odległość wynosi $10 \sqrt{2}$ .

Ćwiczenie 7

Na rysunku przedstawiono graniastosłup prawidłowy czworokątny.

R1E60qx57NsoA

Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy czworokątny. Zaznaczono długości jego boków u podstawy, każda wynosząca 3 oraz wysokość bryły równą 6. Na ilustracji zaznaczono także płaszczyznę zamykającą się pomiędzy dwiema przekątnymi naprzeciwległych boków graniastosłupa oraz dwiema przeciwległych krawędzi obu podstaw bryły.

R1Ma6iDmvJxuZ

Zaznacz poprawną odpowiedź. Miara liniowa kąta dwuściennego pomiędzy zaznaczoną płaszczyzną i płaszczyzną podstawy graniastosłupa wynosi około:

$64 °$
$27 °$
$44 °$

Ćwiczenie 8

Oblicz miarę liniową kąta dwuściennego między sąsiednimi ścianami w czworościanie foremnym.

Czworościan foremny to taki ostrosłup, którego ściany są przystającymi trójkątami równobocznymi.

Narysujmy czworościan foremny, zaznaczmy odpowiedni kąt i wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku.

R1232CwAxvaUh

Ilustracja przedstawia czworościan foremny o długości krawędzi równej a. Z obu końców jednej krawędzi podstawy upuszczone zostały wysokości dwóch trójkątów tworzących ściany boczne bryły. Wysokości łączą się w jednym punkcie i tworzą kąt alfa.

Ponieważ ściany w czworościanie foremnym są trójkątami równobocznymi, to:

$h = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

Wobec tego do wyznaczenia miary kąta $α$ korzystamy z trójkąta równoramiennego, jak na poniższym rysunku.

RAFNPI6hSAKuG

Ilustracja przedstawia trójkąt równoramienny z podanymi długościami boków. Podstawa o długości a oraz ramiona o długości a32. Kat utworzony poprzez dwa ramiona trójkąta oznaczony został jako kąt alfa.

Rozwiązujemy równanie, korzystając z twierdzenia cosinusów:

$a^{2} = {(\frac{a \sqrt{3}}{2})}^{2} + {(\frac{a \sqrt{3}}{2})}^{2} - 2 \cdot \frac{a \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{a \sqrt{3}}{2} \cdot \cos α$

$a^{2} = \frac{3}{4} a^{2} + \frac{3}{4} a^{2} - \frac{3 a^{2}}{2} \cos α$

$- \frac{1}{2} a^{2} = - \frac{3}{2} a^{2} \cdot \cos α$

$\cos α = \frac{1}{3}$

Korzystając z tablic wartości funkcji trygonometrycznych odczytujemy, że $α \approx 71 °$ .

Infografika

Dla nauczyciela