Sprawdź, czy funkcja ma pochodną w punkcie $x=0$.

$\mathrm{-}1$, $1$, $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{-x^2-0}{x-0}$, " close="">x2, gdy x≥0-x2, gdy x<0 . Aby sprawdzić istnienie pochodnej w punkcie $x=0$ policzymy granice jednostronne ilorazu różnicowego:

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}=${$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{x^2-0}{x-0}$, istnieje, $0$, $0$, nie istnieje

Zauważmy, że $=$........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ oraz

$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}=$........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ $=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\mathrm{-}x$$=$.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

Zatem ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ pochodna funkcji $f$ w punkcie $0$.

Korzystając z definicji pochodnej funkcji w punkcie oblicz pochodną funkcji $f\left(x\right)=x^4$ w punktach $x_1=1$ oraz $x_2=-1$.

$2$, $-1$, $1$, $-2$, $\mathrm{-}4$, $4$

$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^4-1}{x-1}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\left(x^2-1\right)\left(x^2+1\right)}{x-1}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)}{x-1}=\underset{x\to 1}{\lim }\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)=$

$\underset{x\to -1}{\lim }\frac{x^4-1}{x+1}=\underset{x\to -1}{\lim }\frac{\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)}{x+1}=\underset{x\to -1}{\lim }\left(x-1\right)\left(x^2+1\right)=$

Połącz w pary funkcję oraz wartość jej pochodnej w punkcie.

<span aria-label="f ' nawias, zero, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, dwa" role="math"><math><mi>f</mi><mo>'</mo><mfenced><mn>0</mn></mfenced><mo>=</mo><mo>-</mo><mn>2</mn></math></span>, <span aria-label="f ' nawias, zero, zamknięcie nawiasu, równa się, zero" role="math"><math><mi>f</mi><mo>'</mo><mfenced><mn>0</mn></mfenced><mo>=</mo><mn>0</mn></math></span>, <span aria-label="f ' nawias, zero, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, jeden" role="math"><math><mi>f</mi><mo>'</mo><mfenced><mn>0</mn></mfenced><mo>=</mo><mo>-</mo><mn>1</mn></math></span>

Uzupełnij tabelę wstawiając wartość pochodnej każdej z funkcji w poszczególnych punktach.

Sprawdź z definicji, czy istnieje pochodna funkcji $f\left(x\right)=\frac{1}{x}$ w punkcie $x_0=1$.

$1$, nie istnieje, $-1$, $0$, istnieje

$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\frac{1}{x}-1}{x-1}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\frac{1-x}{x}}{x-1}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\frac{-\left(-1+x\right)}{x}}{x-1}=\underset{x\to 1}{\lim }-\frac{1}{x}=$ .........................

Zatem ........................ pochodna funkcji $f\left(x\right)=\frac{1}{x}$ w punkcie $x_0=1$.