Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X oraz pionową osią Y, bez zaznaczonych jednostek. W tym układzie zaznaczono wykres funkcji f, który zaczyna się w trzeciej ćwiartce układu współrzędnych otwartym punktem i rośnie prawie pionowo przecinając oś X do zamalowanego punktu znajdującego się w drugiej ćwiartce układu współrzędnych. Od tego punktu wykres funkcji f maleje do punktu znajdującego się w czwartej ćwiartce układu współrzędnych przecinając oś Y powyżej zera i oś X po stronie dodatnich argumentów. Od tego punktu rośnie do niezamalowanego punktu leżącego w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych powyżej punktu leżącego w drugiej ćwiartce układu. Punkt 1. Współczynnik kierunkowy siecznej wykresu przechodzącej przez punkty $\left(x,f\left(x\right)\right)$ oraz $\left(x+h,f\left(x+h\right)\right)$ jest równy przestawionemu na grafice ilorazowi różnicowemu.
Wielkość ta pokrywa się także z tangensem kąta jaki tworzą sieczna z osią $X$. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X oraz pionową osią Y, bez zaznaczonych jednostek. W tym układzie zaznaczono wykres funkcji f, który zaczyna się w trzeciej ćwiartce układu współrzędnych otwartym punktem i rośnie prawie pionowo przecinając oś X do zamalowanego punktu znajdującego się w drugiej ćwiartce układu współrzędnych. Od tego punktu wykres funkcji f maleje do punktu znajdującego się w czwartej ćwiartce układu współrzędnych przecinając oś Y powyżej zera i oś X po stronie dodatnich argumentów. Od tego punktu rośnie do niezamalowanego punktu leżącego w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych powyżej punktu leżącego w drugiej ćwiartce układu. Na wykresie leżącym w pierwszej ćwiartce zaznaczono pomarańczowy punkt o współrzędnych $\left(x+h,f\left(x+h\right)\right)$ . Na wykresie leżącym w czwartej ćwiartce układu współrzędnych zaznaczono zielony punkt o współrzędnych $\left(x,f\left(x\right)\right)$. Odległość między tymi punktami oznaczono jako h, a różnicę wysokości między tymi punktami oznaczono $f\left(x+h\right)-f\left(x\right)$. Prze zielony i pomarańczowy punkt poprowadzono sieczną g, która jest nachylona do osi X pod kątem alfa. Zapisano również wzór: $tg\alpha =\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}=a$. Punkt 2. Opis alternatywny
Przechodząc z punktami pośrednimi do punktu $x$ obserwujemy dążenie siecznych do stycznej do wykresu funkcji $f$ w punkcie $\left(x,f\left(x\right)\right)$. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X oraz pionową osią Y, bez zaznaczonych jednostek. W tym układzie zaznaczono wykres funkcji f, który zaczyna się w trzeciej ćwiartce układu współrzędnych otwartym punktem i rośnie prawie pionowo przecinając oś X do zamalowanego punktu znajdującego się w drugiej ćwiartce układu współrzędnych. Od tego punktu wykres funkcji f maleje do punktu znajdującego się w czwartej ćwiartce układu współrzędnych przecinając oś Y powyżej zera i oś X po stronie dodatnich argumentów. Od tego punktu rośnie do niezamalowanego punktu leżącego w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych powyżej punktu leżącego w drugiej ćwiartce układu. Na wykresie leżącym w czwartej ćwiartce układu współrzędnych zaznaczono zielony punkt. Przechodzi przez niego sieczna $g\left(x\right)=ax+b$. Na wykresie leżącym w pierwszej ćwiartce zaznaczono dwa szare punkty i dwie sieczne przechodzące przez nie za pomocą przerywanych linii. Punkt 3. Opis alternatywny
Przechodząc z punktami pośrednimi do punktu $x$ ze strony lewej otrzymujemy taką samą styczną jak w punkcie 2. Oznacz to, że pochodna funkcji $f$ w punkcie $x$ istnieje oraz że jest ona równa współczynnikowi kierunkowemu stycznej $g$. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X oraz pionową osią Y, bez zaznaczonych jednostek. W tym układzie zaznaczono wykres funkcji f, który zaczyna się w trzeciej ćwiartce układu współrzędnych otwartym punktem i rośnie prawie pionowo przecinając oś X do zamalowanego punktu znajdującego się w drugiej ćwiartce układu współrzędnych. Od tego punktu wykres funkcji f maleje do punktu znajdującego się w czwartej ćwiartce układu współrzędnych przecinając oś Y powyżej zera i oś X po stronie dodatnich argumentów. Od tego punktu rośnie do niezamalowanego punktu leżącego w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych powyżej punktu leżącego w drugiej ćwiartce układu. Na wykresie leżącym w czwartej ćwiartce układu współrzędnych zaznaczono zielony punkt. Przechodzi przez niego sieczna $g\left(x\right)=ax+b$. Na wykresie leżącym w tej samej ćwiartce zaznaczono dwa szare punkty i dwie sieczne przechodzące przez nie za pomocą przerywanych linii. Obok znajduje się wzór $f\text{'}\left(x\right)=a$. Punkt 4. Opis alternatywny
Przechodząc z punktami pośrednimi do punktu $x$ ze strony lewej otrzymujemy widoczną na grafice prostą. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X oraz pionową osią Y, bez zaznaczonych jednostek. W tym układzie zaznaczono wykres funkcji f, który zaczyna się w trzeciej ćwiartce układu współrzędnych otwartym punktem i rośnie prawie pionowo przecinając oś X do zamalowanego punktu znajdującego się w drugiej ćwiartce układu współrzędnych. Od tego punktu wykres funkcji f maleje do punktu znajdującego się w czwartej ćwiartce układu współrzędnych przecinając oś Y powyżej zera i oś X po stronie dodatnich argumentów. Od tego punktu rośnie do niezamalowanego punktu leżącego w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych powyżej punktu leżącego w drugiej ćwiartce układu. Na wykresie leżącym w drugiej ćwiartce układu współrzędnych zaznaczono zielony punkt. Przechodzi przez niego sieczna g. Na wykresie leżącym w tej samej ćwiartce zaznaczono dwa szare punkty i dwie sieczne przechodzące przez nie oraz zielony punkt za pomocą przerywanych linii. Punkt 5. Opis alternatywny
Przechodząc z punktami pośrednimi do punktu $x$ ze strony prawej otrzymujemy widoczną na grafice prostą. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X oraz pionową osią Y, bez zaznaczonych jednostek. W tym układzie zaznaczono wykres funkcji f, który zaczyna się w trzeciej ćwiartce układu współrzędnych otwartym punktem i rośnie prawie pionowo przecinając oś X do zamalowanego punktu znajdującego się w drugiej ćwiartce układu współrzędnych. Od tego punktu wykres funkcji f maleje do punktu znajdującego się w czwartej ćwiartce układu współrzędnych przecinając oś Y powyżej zera i oś X po stronie dodatnich argumentów. Od tego punktu rośnie do niezamalowanego punktu leżącego w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych powyżej punktu leżącego w drugiej ćwiartce układu. Na wykresie leżącym w drugiej ćwiartce układu współrzędnych zaznaczono zielony punkt. Przechodzi przez niego sieczna g. Na wykresie leżącym w drugiej i czwartej ćwiartce zaznaczono dwa szare punkty i dwie sieczne przechodzące przez nie oraz zielony punkt za pomocą przerywanych linii. Punkt 6. Opis alternatywny
Proste otrzymane w punktach 4 i 5 różnią się od siebie. Oznacza to, że funkcja $f$ nie posiada pochodnej w punkcie $x$. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X oraz pionową osią Y, bez zaznaczonych jednostek. W tym układzie zaznaczono wykres funkcji f, który zaczyna się w trzeciej ćwiartce układu współrzędnych otwartym punktem i rośnie prawie pionowo przecinając oś X do zamalowanego punktu znajdującego się w drugiej ćwiartce układu współrzędnych. Od tego punktu wykres funkcji f maleje do punktu znajdującego się w czwartej ćwiartce układu współrzędnych przecinając oś Y powyżej zera i oś X po stronie dodatnich argumentów. Od tego punktu rośnie do niezamalowanego punktu leżącego w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych powyżej punktu leżącego w drugiej ćwiartce układu. Na wykresie leżącym w drugiej ćwiartce układu współrzędnych zaznaczono zielony punkt, w którym dochodzi do zmiany monotoniczności funkcji f. Przechodzą przez niego dwie sieczne prostopadłe do siebie.