Zapoznaj się z infografiką i odpowiedz na zamieszczone poniżej pytanie.
RgZYWkVjEi4lj1
Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X oraz pionową osią Y, bez zaznaczonych jednostek. W tym układzie zaznaczono wykres funkcji f, który zaczyna się w trzeciej ćwiartce układu współrzędnych otwartym punktem i rośnie prawie pionowo przecinając oś X do zamalowanego punktu znajdującego się w drugiej ćwiartce układu współrzędnych. Od tego punktu wykres funkcji f maleje do punktu znajdującego się w czwartej ćwiartce układu współrzędnych przecinając oś Y powyżej zera i oś X po stronie dodatnich argumentów. Od tego punktu rośnie do niezamalowanego punktu leżącego w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych powyżej punktu leżącego w drugiej ćwiartce układu. Punkt 1. Współczynnik kierunkowy siecznej wykresu przechodzącej przez punkty nawias, x, przecinek, f nawias, x, zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu oraz nawias, x, plus, h, przecinek, f nawias, x, plus, h, zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu jest równy przestawionemu na grafice ilorazowi różnicowemu. Wielkość ta pokrywa się także z tangensem kąta jaki tworzą sieczna z osią X. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X oraz pionową osią Y, bez zaznaczonych jednostek. W tym układzie zaznaczono wykres funkcji f, który zaczyna się w trzeciej ćwiartce układu współrzędnych otwartym punktem i rośnie prawie pionowo przecinając oś X do zamalowanego punktu znajdującego się w drugiej ćwiartce układu współrzędnych. Od tego punktu wykres funkcji f maleje do punktu znajdującego się w czwartej ćwiartce układu współrzędnych przecinając oś Y powyżej zera i oś X po stronie dodatnich argumentów. Od tego punktu rośnie do niezamalowanego punktu leżącego w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych powyżej punktu leżącego w drugiej ćwiartce układu. Na wykresie leżącym w pierwszej ćwiartce zaznaczono pomarańczowy punkt o współrzędnych nawias, x, plus, h, przecinek, f nawias, x, plus, h, zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu . Na wykresie leżącym w czwartej ćwiartce układu współrzędnych zaznaczono zielony punkt o współrzędnych nawias, x, przecinek, f nawias, x, zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu. Odległość między tymi punktami oznaczono jako h, a różnicę wysokości między tymi punktami oznaczono f nawias, x, plus, h, zamknięcie nawiasu, minus, f nawias, x, zamknięcie nawiasu. Prze zielony i pomarańczowy punkt poprowadzono sieczną g, która jest nachylona do osi X pod kątem alfa. Zapisano również wzór:
t g alfa, równa się, początek ułamka, f nawias, x, plus, h, zamknięcie nawiasu, minus, f nawias, x, zamknięcie nawiasu, mianownik, h, koniec ułamka, równa się, a.
Punkt 2. Opis alternatywny Przechodząc z punktami pośrednimi do punktu x obserwujemy dążenie siecznych do stycznej do wykresu funkcji f w punkcie nawias, x, przecinek, f nawias, x, zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X oraz pionową osią Y, bez zaznaczonych jednostek. W tym układzie zaznaczono wykres funkcji f, który zaczyna się w trzeciej ćwiartce układu współrzędnych otwartym punktem i rośnie prawie pionowo przecinając oś X do zamalowanego punktu znajdującego się w drugiej ćwiartce układu współrzędnych. Od tego punktu wykres funkcji f maleje do punktu znajdującego się w czwartej ćwiartce układu współrzędnych przecinając oś Y powyżej zera i oś X po stronie dodatnich argumentów. Od tego punktu rośnie do niezamalowanego punktu leżącego w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych powyżej punktu leżącego w drugiej ćwiartce układu. Na wykresie leżącym w czwartej ćwiartce układu współrzędnych zaznaczono zielony punkt. Przechodzi przez niego sieczna g nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, a x, plus, b. Na wykresie leżącym w pierwszej ćwiartce zaznaczono dwa szare punkty i dwie sieczne przechodzące przez nie za pomocą przerywanych linii. Punkt 3. Opis alternatywny Przechodząc z punktami pośrednimi do punktu x ze strony lewej otrzymujemy taką samą styczną jak w punkcie 2. Oznacz to, że pochodna funkcji f w punkcie x istnieje oraz że jest ona równa współczynnikowi kierunkowemu stycznej g. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X oraz pionową osią Y, bez zaznaczonych jednostek. W tym układzie zaznaczono wykres funkcji f, który zaczyna się w trzeciej ćwiartce układu współrzędnych otwartym punktem i rośnie prawie pionowo przecinając oś X do zamalowanego punktu znajdującego się w drugiej ćwiartce układu współrzędnych. Od tego punktu wykres funkcji f maleje do punktu znajdującego się w czwartej ćwiartce układu współrzędnych przecinając oś Y powyżej zera i oś X po stronie dodatnich argumentów. Od tego punktu rośnie do niezamalowanego punktu leżącego w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych powyżej punktu leżącego w drugiej ćwiartce układu. Na wykresie leżącym w czwartej ćwiartce układu współrzędnych zaznaczono zielony punkt. Przechodzi przez niego sieczna g nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, a x, plus, b. Na wykresie leżącym w tej samej ćwiartce zaznaczono dwa szare punkty i dwie sieczne przechodzące przez nie za pomocą przerywanych linii. Obok znajduje się wzór f prim nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, a. Punkt 4. Opis alternatywny Przechodząc z punktami pośrednimi do punktu x ze strony lewej otrzymujemy widoczną na grafice prostą. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X oraz pionową osią Y, bez zaznaczonych jednostek. W tym układzie zaznaczono wykres funkcji f, który zaczyna się w trzeciej ćwiartce układu współrzędnych otwartym punktem i rośnie prawie pionowo przecinając oś X do zamalowanego punktu znajdującego się w drugiej ćwiartce układu współrzędnych. Od tego punktu wykres funkcji f maleje do punktu znajdującego się w czwartej ćwiartce układu współrzędnych przecinając oś Y powyżej zera i oś X po stronie dodatnich argumentów. Od tego punktu rośnie do niezamalowanego punktu leżącego w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych powyżej punktu leżącego w drugiej ćwiartce układu. Na wykresie leżącym w drugiej ćwiartce układu współrzędnych zaznaczono zielony punkt. Przechodzi przez niego sieczna g. Na wykresie leżącym w tej samej ćwiartce zaznaczono dwa szare punkty i dwie sieczne przechodzące przez nie oraz zielony punkt za pomocą przerywanych linii. Punkt 5. Opis alternatywny Przechodząc z punktami pośrednimi do punktu x ze strony prawej otrzymujemy widoczną na grafice prostą. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X oraz pionową osią Y, bez zaznaczonych jednostek. W tym układzie zaznaczono wykres funkcji f, który zaczyna się w trzeciej ćwiartce układu współrzędnych otwartym punktem i rośnie prawie pionowo przecinając oś X do zamalowanego punktu znajdującego się w drugiej ćwiartce układu współrzędnych. Od tego punktu wykres funkcji f maleje do punktu znajdującego się w czwartej ćwiartce układu współrzędnych przecinając oś Y powyżej zera i oś X po stronie dodatnich argumentów. Od tego punktu rośnie do niezamalowanego punktu leżącego w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych powyżej punktu leżącego w drugiej ćwiartce układu. Na wykresie leżącym w drugiej ćwiartce układu współrzędnych zaznaczono zielony punkt. Przechodzi przez niego sieczna g. Na wykresie leżącym w drugiej i czwartej ćwiartce zaznaczono dwa szare punkty i dwie sieczne przechodzące przez nie oraz zielony punkt za pomocą przerywanych linii. Punkt 6. Opis alternatywny Proste otrzymane w punktach 4 i 5 różnią się od siebie. Oznacza to, że funkcja f nie posiada pochodnej w punkcie x. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X oraz pionową osią Y, bez zaznaczonych jednostek. W tym układzie zaznaczono wykres funkcji f, który zaczyna się w trzeciej ćwiartce układu współrzędnych otwartym punktem i rośnie prawie pionowo przecinając oś X do zamalowanego punktu znajdującego się w drugiej ćwiartce układu współrzędnych. Od tego punktu wykres funkcji f maleje do punktu znajdującego się w czwartej ćwiartce układu współrzędnych przecinając oś Y powyżej zera i oś X po stronie dodatnich argumentów. Od tego punktu rośnie do niezamalowanego punktu leżącego w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych powyżej punktu leżącego w drugiej ćwiartce układu. Na wykresie leżącym w drugiej ćwiartce układu współrzędnych zaznaczono zielony punkt, w którym dochodzi do zmiany monotoniczności funkcji f. Przechodzą przez niego dwie sieczne prostopadłe do siebie.
Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X oraz pionową osią Y, bez zaznaczonych jednostek. W tym układzie zaznaczono wykres funkcji f, który zaczyna się w trzeciej ćwiartce układu współrzędnych otwartym punktem i rośnie prawie pionowo przecinając oś X do zamalowanego punktu znajdującego się w drugiej ćwiartce układu współrzędnych. Od tego punktu wykres funkcji f maleje do punktu znajdującego się w czwartej ćwiartce układu współrzędnych przecinając oś Y powyżej zera i oś X po stronie dodatnich argumentów. Od tego punktu rośnie do niezamalowanego punktu leżącego w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych powyżej punktu leżącego w drugiej ćwiartce układu. Punkt 1. Współczynnik kierunkowy siecznej wykresu przechodzącej przez punkty nawias, x, przecinek, f nawias, x, zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu oraz nawias, x, plus, h, przecinek, f nawias, x, plus, h, zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu jest równy przestawionemu na grafice ilorazowi różnicowemu. Wielkość ta pokrywa się także z tangensem kąta jaki tworzą sieczna z osią X. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X oraz pionową osią Y, bez zaznaczonych jednostek. W tym układzie zaznaczono wykres funkcji f, który zaczyna się w trzeciej ćwiartce układu współrzędnych otwartym punktem i rośnie prawie pionowo przecinając oś X do zamalowanego punktu znajdującego się w drugiej ćwiartce układu współrzędnych. Od tego punktu wykres funkcji f maleje do punktu znajdującego się w czwartej ćwiartce układu współrzędnych przecinając oś Y powyżej zera i oś X po stronie dodatnich argumentów. Od tego punktu rośnie do niezamalowanego punktu leżącego w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych powyżej punktu leżącego w drugiej ćwiartce układu. Na wykresie leżącym w pierwszej ćwiartce zaznaczono pomarańczowy punkt o współrzędnych nawias, x, plus, h, przecinek, f nawias, x, plus, h, zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu . Na wykresie leżącym w czwartej ćwiartce układu współrzędnych zaznaczono zielony punkt o współrzędnych nawias, x, przecinek, f nawias, x, zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu. Odległość między tymi punktami oznaczono jako h, a różnicę wysokości między tymi punktami oznaczono f nawias, x, plus, h, zamknięcie nawiasu, minus, f nawias, x, zamknięcie nawiasu. Prze zielony i pomarańczowy punkt poprowadzono sieczną g, która jest nachylona do osi X pod kątem alfa. Zapisano również wzór:
t g alfa, równa się, początek ułamka, f nawias, x, plus, h, zamknięcie nawiasu, minus, f nawias, x, zamknięcie nawiasu, mianownik, h, koniec ułamka, równa się, a.
Punkt 2. Opis alternatywny Przechodząc z punktami pośrednimi do punktu x obserwujemy dążenie siecznych do stycznej do wykresu funkcji f w punkcie nawias, x, przecinek, f nawias, x, zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X oraz pionową osią Y, bez zaznaczonych jednostek. W tym układzie zaznaczono wykres funkcji f, który zaczyna się w trzeciej ćwiartce układu współrzędnych otwartym punktem i rośnie prawie pionowo przecinając oś X do zamalowanego punktu znajdującego się w drugiej ćwiartce układu współrzędnych. Od tego punktu wykres funkcji f maleje do punktu znajdującego się w czwartej ćwiartce układu współrzędnych przecinając oś Y powyżej zera i oś X po stronie dodatnich argumentów. Od tego punktu rośnie do niezamalowanego punktu leżącego w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych powyżej punktu leżącego w drugiej ćwiartce układu. Na wykresie leżącym w czwartej ćwiartce układu współrzędnych zaznaczono zielony punkt. Przechodzi przez niego sieczna g nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, a x, plus, b. Na wykresie leżącym w pierwszej ćwiartce zaznaczono dwa szare punkty i dwie sieczne przechodzące przez nie za pomocą przerywanych linii. Punkt 3. Opis alternatywny Przechodząc z punktami pośrednimi do punktu x ze strony lewej otrzymujemy taką samą styczną jak w punkcie 2. Oznacz to, że pochodna funkcji f w punkcie x istnieje oraz że jest ona równa współczynnikowi kierunkowemu stycznej g. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X oraz pionową osią Y, bez zaznaczonych jednostek. W tym układzie zaznaczono wykres funkcji f, który zaczyna się w trzeciej ćwiartce układu współrzędnych otwartym punktem i rośnie prawie pionowo przecinając oś X do zamalowanego punktu znajdującego się w drugiej ćwiartce układu współrzędnych. Od tego punktu wykres funkcji f maleje do punktu znajdującego się w czwartej ćwiartce układu współrzędnych przecinając oś Y powyżej zera i oś X po stronie dodatnich argumentów. Od tego punktu rośnie do niezamalowanego punktu leżącego w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych powyżej punktu leżącego w drugiej ćwiartce układu. Na wykresie leżącym w czwartej ćwiartce układu współrzędnych zaznaczono zielony punkt. Przechodzi przez niego sieczna g nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, a x, plus, b. Na wykresie leżącym w tej samej ćwiartce zaznaczono dwa szare punkty i dwie sieczne przechodzące przez nie za pomocą przerywanych linii. Obok znajduje się wzór f prim nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, a. Punkt 4. Opis alternatywny Przechodząc z punktami pośrednimi do punktu x ze strony lewej otrzymujemy widoczną na grafice prostą. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X oraz pionową osią Y, bez zaznaczonych jednostek. W tym układzie zaznaczono wykres funkcji f, który zaczyna się w trzeciej ćwiartce układu współrzędnych otwartym punktem i rośnie prawie pionowo przecinając oś X do zamalowanego punktu znajdującego się w drugiej ćwiartce układu współrzędnych. Od tego punktu wykres funkcji f maleje do punktu znajdującego się w czwartej ćwiartce układu współrzędnych przecinając oś Y powyżej zera i oś X po stronie dodatnich argumentów. Od tego punktu rośnie do niezamalowanego punktu leżącego w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych powyżej punktu leżącego w drugiej ćwiartce układu. Na wykresie leżącym w drugiej ćwiartce układu współrzędnych zaznaczono zielony punkt. Przechodzi przez niego sieczna g. Na wykresie leżącym w tej samej ćwiartce zaznaczono dwa szare punkty i dwie sieczne przechodzące przez nie oraz zielony punkt za pomocą przerywanych linii. Punkt 5. Opis alternatywny Przechodząc z punktami pośrednimi do punktu x ze strony prawej otrzymujemy widoczną na grafice prostą. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X oraz pionową osią Y, bez zaznaczonych jednostek. W tym układzie zaznaczono wykres funkcji f, który zaczyna się w trzeciej ćwiartce układu współrzędnych otwartym punktem i rośnie prawie pionowo przecinając oś X do zamalowanego punktu znajdującego się w drugiej ćwiartce układu współrzędnych. Od tego punktu wykres funkcji f maleje do punktu znajdującego się w czwartej ćwiartce układu współrzędnych przecinając oś Y powyżej zera i oś X po stronie dodatnich argumentów. Od tego punktu rośnie do niezamalowanego punktu leżącego w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych powyżej punktu leżącego w drugiej ćwiartce układu. Na wykresie leżącym w drugiej ćwiartce układu współrzędnych zaznaczono zielony punkt. Przechodzi przez niego sieczna g. Na wykresie leżącym w drugiej i czwartej ćwiartce zaznaczono dwa szare punkty i dwie sieczne przechodzące przez nie oraz zielony punkt za pomocą przerywanych linii. Punkt 6. Opis alternatywny Proste otrzymane w punktach 4 i 5 różnią się od siebie. Oznacza to, że funkcja f nie posiada pochodnej w punkcie x. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X oraz pionową osią Y, bez zaznaczonych jednostek. W tym układzie zaznaczono wykres funkcji f, który zaczyna się w trzeciej ćwiartce układu współrzędnych otwartym punktem i rośnie prawie pionowo przecinając oś X do zamalowanego punktu znajdującego się w drugiej ćwiartce układu współrzędnych. Od tego punktu wykres funkcji f maleje do punktu znajdującego się w czwartej ćwiartce układu współrzędnych przecinając oś Y powyżej zera i oś X po stronie dodatnich argumentów. Od tego punktu rośnie do niezamalowanego punktu leżącego w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych powyżej punktu leżącego w drugiej ćwiartce układu. Na wykresie leżącym w drugiej ćwiartce układu współrzędnych zaznaczono zielony punkt, w którym dochodzi do zmiany monotoniczności funkcji f. Przechodzą przez niego dwie sieczne prostopadłe do siebie.
Polecenie 2
Na podstawie zamieszczonego wykresu zaznacz te punkty spośród wyróżnionych, w których funkcja jest różniczkowalna.
R1Tlof2aLHQjW
Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X na której zaznaczone są wartości 3, 9 oraz trzynaście oraz pionową osią Y, bez zaznaczonych jednostek. W tym układzie zaznaczono wykres funkcji f w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych. Funkcja zaczyna się w najwyżej położonym niezamalowanym punkcie i maleje do argumentu powyżej trzech. Następnie rośnie do argumentu mniejszego niż dziewięć, a następnie maleje do argumentu równego dziewięć. Następnie rośnie do argumentu mniejszego od 13 i maleje aż do argumentu większego od 13. Ostatecznie rośnie do punktu niezamalowanego, leżącego poniżej poziomu pierwszego punktu.
RDoGa658cNMpX
Możliwe odpowiedzi: 1. trzy, 2. dziewięć, 3. trzynaście
