Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

R19mg9sjMqlJJ1

Ćwiczenie 1

R1DM1KkgHDY5c1

Ćwiczenie 2

R1okzjYBdmcCu2

Ćwiczenie 3

R1U3Z1YTUxDTB2

Ćwiczenie 4

R1A9rFFX7yjZd2

Ćwiczenie 5

RU56W1ZNVxMry21

Ćwiczenie 6

Połącz w pary: równanie z lewej kolumny, ze zbiorem jego rozwiązań, odnalezionym w prawej kolumnie.

\sqrt{1 - 2 x + x^{2}} + \sqrt{x^{2} + 4 x + 4} = 5

Możliwe odpowiedzi: 1.

\{- 2, - 3\}

, 2. , 3.

\{2, 3\}

, 4.

\{2, - 3\}

, 5.

\{- 2, 3\}

|9 x + 21| + x = |6 x + 14| - 1

Możliwe odpowiedzi: 1.

\{- 2, - 3\}

, 2. , 3.

\{2, 3\}

, 4.

\{2, - 3\}

, 5.

\{- 2, 3\}

|5 - 5 x| + |5 x + 30| = 4 x + 43

Możliwe odpowiedzi: 1.

\{- 2, - 3\}

, 2. , 3.

\{2, 3\}

, 4.

\{2, - 3\}

, 5.

\{- 2, 3\}

|4 x - 6| = \sqrt{4 x^{2} - 12 x + 9} + |4 x - 9|

Możliwe odpowiedzi: 1.

\{- 2, - 3\}

, 2. , 3.

\{2, 3\}

, 4.

\{2, - 3\}

, 5.

\{- 2, 3\}

Możliwe odpowiedzi: 1.

\{- 2, - 3\}

, 2. , 3.

\{2, 3\}

, 4.

\{2, - 3\}

, 5.

\{- 2, 3\}

R3OZIWQ0Umeso2

Ćwiczenie 7

Ćwiczenie 8

R19CCiP6T0cMb3

Zaczniemy od pierwszego składnika równania po lewej stronie.

Zauważmy, że:
$|- (x - 5)| ⩾ - (x - 5)$ , skąd $|x - 5| ⩾ - x + 5$ , $x + |x - 5| ⩾ 5 > 0$ , czyli $|x + |x - 5|| = x + |x - 5|$ .
Zatem
$|x - |x + |x - 5||| = |x - (x + |x - 5|)| = |x - x - |x - 5|| = |- |x - 2||$ .
Ponieważ
$- |x - 5| ⩽ 0$ ,
więc $|- |x - 5|| = - (- |x - 5|) = |x - 5|$ .
Wobec tego
$|x - |x + |x - 5||| = |x - 5|$ dla dowolnej liczby rzeczywistej $x$ .

Przejdziemy do drugiego składnika lewej strony równania.

Zauważmy, że:
$|x + 6| ⩾ x + 6$ , skąd $x - |x + 6| ⩽ - 6 < 0$ , czyli $|x - |x + 6|| = - (x - |x + 6|) = - x + |x + 6|$ .
Wynika stąd, że
$|x + |x - |x + 6||| = |x + (- x + |x + 6|)| = |x - x + |x + 6|| = ||x + 6||$ .
Ponieważ
$|x + 6| ⩾ 0$ ,
więc $||x + 6|| = |x + 6|$ .
Oznacza to, że
$|x + |x - |x + 6||| = |x + 6|$ dla dowolnej liczby rzeczywistej $x$ .

W ten sposób otrzymujemy, że dane równanie
$|x - |x + |x - 5||| + |x + |x - |x + 6||| = x + 20$
jest równoważne równaniu
$|x - 5| + |x + 6| = x + 20$ .

Rozważmy teraz następujące przypadki:

Jeżeli $x - 5 < 0$ oraz $x + 6 < 0$ , czyli $x \in (- \infty, - 6)$ :

$- (x - 5) - (x + 6) = x + 20$

$- 2 x - 1 = x + 20$

$- 3 x = 21$

$x = - 7$ , $- 7 \in (- \infty, - 6)$ .

Jeżeli $x - 5 < 0$ oraz $x + 6 \geq 0$ , to $x \in ⟨- 6, 5)$ :

$- (x - 5) + x + 6 = x + 20$

$11 = x + 20$

$- x = 9$

$x = - 9$ , $- 9 \notin ⟨- 6, 5)$ .

Jeżeli $x - 5 \geq 0$ oraz $x + 6 \geq 0$ , to $x \in ⟨5, \infty)$

$x - 5 + x + 6 = x + 20$

$2 x + 1 = x + 20$

$x = 19$ , $19 \in ⟨5, \infty)$ .

Stąd wynika, że rozwiązaniami równania są liczby $- 7$ oraz $19$ , więc ich iloczyn jest równy $- 133$ .

Test samosprawdzający

Dla nauczyciela