Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Na rysunku przedstawiono graniastosłup prawidłowy trójkątny.

Rz4HRxylcvMel

Ilustracja przedstawia graniastosłup o podstawie trójkąta. Wierzchołki dolnej podstawy to A B oraz C, a wierzchołki górnej podstawy podpisano D E F. W ścianie bocznej graniastosłupa zaznaczono jej przekątną AF, ma ona długość trzynaście. Wszystkie krawędzie podstawy podpisano mają długość 5, krawędź boczną ostrosłupa podpisano literą h.

RUcYCyJUWSNNT

Ćwiczenie 2

Na rysunku przedstawiono graniastosłup prawidłowy trójkątny.

R41NiMZ66Dge2

RGZwKu6uQQIT0

Ćwiczenie 3

Na rysunku przedstawiono graniastosłup prawidłowy trójkątny.

RLRofhqB0oyAz

RxSwNOlyVOKr8

R1Rck37x4xTuV2

Ćwiczenie 4

RMW7fRZN2Fk3a2

Ćwiczenie 5

Uzupełnij podany tekst, przeciągając poprawną odpowiedź w puste pole . 1. pola trójkątów i prostokątów, 2. prostokątami, 3. Polem podstaw, 4. polem całkowitym, 5. pól podstaw i pola powierzchni bocznej, 6. podstaw, 7. Polem powierzchni bocznej, 8. Trójkątami równoramiennymi, 9. początek ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, plus, trzy a h, 10. początek ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, plus, trzy a h, 11. trójkątami równobocznymi, 12. początek ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, cztery, koniec ułamka, plus, trzy a h, 13. pól ścian bocznych, 14. trójkątami prostokątnymi, 15. początek ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, plus, cztery a h graniastosłupa prawidłowego trójkątnego nazywamy sumę pól jego 1. pola trójkątów i prostokątów, 2. prostokątami, 3. Polem podstaw, 4. polem całkowitym, 5. pól podstaw i pola powierzchni bocznej, 6. podstaw, 7. Polem powierzchni bocznej, 8. Trójkątami równoramiennymi, 9. początek ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, plus, trzy a h, 10. początek ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, plus, trzy a h, 11. trójkątami równobocznymi, 12. początek ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, cztery, koniec ułamka, plus, trzy a h, 13. pól ścian bocznych, 14. trójkątami prostokątnymi, 15. początek ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, plus, cztery a h, które są 1. pola trójkątów i prostokątów, 2. prostokątami, 3. Polem podstaw, 4. polem całkowitym, 5. pól podstaw i pola powierzchni bocznej, 6. podstaw, 7. Polem powierzchni bocznej, 8. Trójkątami równoramiennymi, 9. początek ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, plus, trzy a h, 10. początek ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, plus, trzy a h, 11. trójkątami równobocznymi, 12. początek ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, cztery, koniec ułamka, plus, trzy a h, 13. pól ścian bocznych, 14. trójkątami prostokątnymi, 15. początek ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, plus, cztery a h. 1. pola trójkątów i prostokątów, 2. prostokątami, 3. Polem podstaw, 4. polem całkowitym, 5. pól podstaw i pola powierzchni bocznej, 6. podstaw, 7. Polem powierzchni bocznej, 8. Trójkątami równoramiennymi, 9. początek ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, plus, trzy a h, 10. początek ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, plus, trzy a h, 11. trójkątami równobocznymi, 12. początek ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, cztery, koniec ułamka, plus, trzy a h, 13. pól ścian bocznych, 14. trójkątami prostokątnymi, 15. początek ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, plus, cztery a h graniastosłupa prawidłowego trójkątnego nazywamy sumę 1. pola trójkątów i prostokątów, 2. prostokątami, 3. Polem podstaw, 4. polem całkowitym, 5. pól podstaw i pola powierzchni bocznej, 6. podstaw, 7. Polem powierzchni bocznej, 8. Trójkątami równoramiennymi, 9. początek ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, plus, trzy a h, 10. początek ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, plus, trzy a h, 11. trójkątami równobocznymi, 12. początek ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, cztery, koniec ułamka, plus, trzy a h, 13. pól ścian bocznych, 14. trójkątami prostokątnymi, 15. początek ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, plus, cztery a h tego graniastosłupa, które są 1. pola trójkątów i prostokątów, 2. prostokątami, 3. Polem podstaw, 4. polem całkowitym, 5. pól podstaw i pola powierzchni bocznej, 6. podstaw, 7. Polem powierzchni bocznej, 8. Trójkątami równoramiennymi, 9. początek ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, plus, trzy a h, 10. początek ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, plus, trzy a h, 11. trójkątami równobocznymi, 12. początek ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, cztery, koniec ułamka, plus, trzy a h, 13. pól ścian bocznych, 14. trójkątami prostokątnymi, 15. początek ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, plus, cztery a h. Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego trójkątnego to suma 1. pola trójkątów i prostokątów, 2. prostokątami, 3. Polem podstaw, 4. polem całkowitym, 5. pól podstaw i pola powierzchni bocznej, 6. podstaw, 7. Polem powierzchni bocznej, 8. Trójkątami równoramiennymi, 9. początek ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, plus, trzy a h, 10. początek ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, plus, trzy a h, 11. trójkątami równobocznymi, 12. początek ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, cztery, koniec ułamka, plus, trzy a h, 13. pól ścian bocznych, 14. trójkątami prostokątnymi, 15. początek ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, plus, cztery a h. Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego trójkątnego o krawędzi a i wysokości h obliczamy ze wzoru 1. pola trójkątów i prostokątów, 2. prostokątami, 3. Polem podstaw, 4. polem całkowitym, 5. pól podstaw i pola powierzchni bocznej, 6. podstaw, 7. Polem powierzchni bocznej, 8. Trójkątami równoramiennymi, 9. początek ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, plus, trzy a h, 10. początek ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, plus, trzy a h, 11. trójkątami równobocznymi, 12. początek ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, cztery, koniec ułamka, plus, trzy a h, 13. pól ścian bocznych, 14. trójkątami prostokątnymi, 15. początek ułamka, a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, plus, cztery a h.

Ćwiczenie 6

Na rysunku przedstawiono graniastosłup prawidłowy trójkątny.

R256KySIURVzB

lustracja przedstawia graniastosłup o podstawie trójkąta. Wszystkie krawędzie podstawy podpisano literą a, krawędź boczną ostrosłupa podpisano literą h.

R15iMZfhExV4t

Ćwiczenie 7

Przekątna ściany bocznej graniastosłupa prawidłowego trójkątnego ma długość $d$ , a kąt jej nachylenia do krawędzi podstawy wynosi $α$ . Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.

R1Qy6oc42bUpN

Z trójkąta $A C F$ mamy $h = d \sin α$ , $a = d \cos α$ . Zatem

$P_{c} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{2} + 3 a h$ , czyli $P_{c} = \frac{\sqrt{3} d^{2} \cos^{2} α}{2} + 3 d^{2} \sin α \cos α$ , stąd $P_{c} = \sqrt{3} d^{2} \cos α (\frac{1}{2} \cos α + \sqrt{3} \sin α)$ .

Ćwiczenie 8

W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym przekątna ściany bocznej ma długość $p$ , a wysokość podstawy ma długość $d$ . Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.

RKFe6kvy5dZ3A

Wysokość podstawy

$d = \frac{a^{} \sqrt{3}}{2}$

stąd krawędź podstawy i wysokość

$a = \frac{2 d}{\sqrt{3}}$ , $h = \sqrt{p^{2} - \frac{4 d^{2}}{3}}$

Zatem pole powierzchni całkowitej

$P_{c} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{2} + 3 a h$

czyli

$P_{c} = \frac{2 \sqrt{3} d^{2}}{3} + 2 \sqrt{3} d \sqrt{p^{2} - \frac{4 d^{2}}{3}}$ .

Ostatecznie po przekształceniach otrzymujemy

$P_{c} = 2 d (\frac{\sqrt{3} d}{3} + \sqrt{3 p^{2} - 4 d^{2}})$ .

Ćwiczenie 9

Jaka powinna być długość krawędzi podstawy i wysokości graniastosłupa prawidłowego trójkątnego, którego objętość jest równa $4 \sqrt{3}$ , a pole powierzchni całkowitej $2 \sqrt{3} + 24$ ? Krawędź podstawy i wysokość są liczbami całkowitymi.

Rozważmy graniastosłup prawidłowy trójkątny przedstawiony na rysunku.

R1P5DWjxxt812

Z warunków zadania mamy kolejno

$V = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} h = 4 \sqrt{3}$

$a h = \frac{16}{a}$ ,

Podstawiamy ostatnią zależność do wzoru na pole powierzchni całkowitej. Otrzymujemy

$P_{c} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{2} + 3 a h = 2 \sqrt{3} + 24$ ,

$\frac{a^{2} \sqrt{3}}{2} - 3 \cdot \frac{16}{a} - 2 \sqrt{3} - 24 = 0$ .

Mnożymy równanie obustronnie przez $2 a$ oraz odpowiednio je porządkujemy. Wówczas dostajemy

$a^{3} \sqrt{3} - 4 \sqrt{3} a - 48 a + 96 = 0$ ,

$a^{} \sqrt{3} (a^{2} - 4) - 48 (a - 2) = 0$ ,

$a^{} \sqrt{3} (a - 2) (a + 2) - 48 (a - 2) = 0$ .

Wyciągamy składnik $a - 2$ przed nawias

$(a - 2) (a \sqrt{3} \cdot (a + 2) - 48) = 0$ ,

$(a - 2) (a^{2} \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} a - 48) = 0$ .

Obliczamy deltę dla równania kwadratowego

$△ = {(2 \sqrt{3})}^{2} - 4 \cdot \sqrt{3} \cdot (- 48) = 12 + 192 \sqrt{3}$ , czyli $\sqrt{△} = \sqrt{12 + 192 \sqrt{3}}$ .

Zatem równanie będzie miało dwa rozwiązania

$a_{1} = \frac{- 2 \sqrt{3} - \sqrt{12 + 192 \sqrt{3}}}{2 \sqrt{3}} = - 1 - \sqrt{1 + 16 \sqrt{3}}$ oraz

$a_{2} = \frac{- 2 \sqrt{3} + \sqrt{12 + 192 \sqrt{3}}}{2 \sqrt{3}} = - 1 + \sqrt{1 + 16 \sqrt{3}}$ .

Podsumowując, rozwiązaniami wyjściowego równania są liczby

$a = 2$ , $a = - 1 - \sqrt{1 + 16 \sqrt{3}} \notin ℤ (< 0)$ oraz $a = \sqrt{1 + 16 \sqrt{3}} - 1 \notin ℤ$ .

Krawędź podstawy i wysokość są liczbami całkowitymi, zatem $a = 2$ , $h = 4$ .

Ćwiczenie 10

Objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa $40, 5$ . Pole podstawy graniastosłupa jest równe polu jednej ściany bocznej. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.

Niech $a > 0$ oznacza długość krawędzi podstawy, $h > 0$ długość wysokości rozważanego graniastosłupa. Z treści zadania mamy $V = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} h = \frac{81}{2}$ oraz $\frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} = a h$ , stąd $a = 6$ i $h = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ . Zatem pole całkowite graniastosłupa $P_{c} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{2} + 3 a h = 45 \sqrt{3}$ .

Animacja 3D

Dla nauczyciela