Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Na rysunku przedstawiono graniastosłup prawidłowy trójkątny.

Rz4HRxylcvMel

Ilustracja przedstawia graniastosłup o podstawie trójkąta. Wierzchołki dolnej podstawy to A B oraz C, a wierzchołki górnej podstawy podpisano D E F. W ścianie bocznej graniastosłupa zaznaczono jej przekątną AF, ma ona długość trzynaście. Wszystkie krawędzie podstawy podpisano mają długość 5, krawędź boczną ostrosłupa podpisano literą h.

RUcYCyJUWSNNT

Na podstawie danych z rysunku oblicz pole powierzchni całkowitej i zaznacz prawidłową odpowiedź.

$P_{c} = \frac{25}{2} \sqrt{3} + 180$
$P_{c} = \frac{25}{4} \sqrt{3} + 180$
$P_{c} = \frac{25}{4} \sqrt{3} + 36$

Ćwiczenie 2

Na rysunku przedstawiono graniastosłup prawidłowy trójkątny.

R41NiMZ66Dge2

RGZwKu6uQQIT0

Na podstawie danych z rysunku oblicz pole powierzchni całkowitej i zaznacz prawidłową odpowiedź.

$P_{c} = 3 \sqrt{3} + 9$
$P_{c} = \frac{3}{2} \sqrt{3} (1 + 12 \sqrt{2})$
$P_{c} = \frac{3}{2} \sqrt{3} (1 + 12 \sqrt{6})$

Ćwiczenie 3

Na rysunku przedstawiono graniastosłup prawidłowy trójkątny.

RLRofhqB0oyAz

RxSwNOlyVOKr8

Na podstawie danych z rysunku oblicz pole powierzchni całkowitej i zaznacz prawidłową odpowiedź.

$P_{c} = \frac{9 \sqrt{3}}{2} + 36$
$P_{c} = \frac{3 \sqrt{3}}{4} + 60$
$P_{c} = \frac{3 \sqrt{3}}{2} + 36$

R1Rck37x4xTuV2

Ćwiczenie 4

Łączenie par. . Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego trójkątnego o krawędzi podstawy równej

\sqrt{2}

i wysokości

\sqrt{6}

jest równa

7 \sqrt{3}

.. Możliwe odpowiedzi: TAK, NIE. Wysokość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego o krawędzi podstawy

2 \sqrt{6}

i polu powierzchni całkowitej

36 \sqrt{3}

jest równa

2 \sqrt{2}

.. Możliwe odpowiedzi: TAK, NIE. Pole powierzchni bocznej graniastosłupa prawidłowego trójkątnego o krawędzi podstawy

3

i przekątnej

3 \sqrt{3}

wynosi

27 \sqrt{2}

.. Możliwe odpowiedzi: TAK, NIE. Długość krawędzi podstawy graniastosłupa prawidłowego trójkątnego o wysokości

5 \sqrt{2}

i polu powierzchni bocznej

120

wynosi

4 \sqrt{3}

.. Możliwe odpowiedzi: TAK, NIE

Zaznacz tak lub nie, w zależności od tego czy podane stwierdzenie jest prawdziwe lub fałszywe.

Zdanie	TAK	NIE
Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego trójkątnego o krawędzi podstawy równej $\sqrt{2}$ i wysokości $\sqrt{6}$ jest równe $7 \sqrt{3}$ .	□	□
Wysokość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego o krawędzi podstawy $2 \sqrt{6}$ i polu powierzchni całkowitej $36 \sqrt{3}$ jest równa $2 \sqrt{2}$ .	□	□
Pole powierzchni bocznej graniastosłupa prawidłowego trójkątnego o krawędzi podstawy $3$ i przekątnej ściany bocznej $3 \sqrt{3}$ wynosi $27 \sqrt{2}$ .	□	□
Długość krawędzi podstawy graniastosłupa prawidłowego trójkątnego o wysokości $5 \sqrt{2}$ i polu powierzchni bocznej $120$ wynosi $4 \sqrt{3}$ .	□	□

RMW7fRZN2Fk3a2

Ćwiczenie 5

Uzupełnij podany tekst, przeciągając poprawną odpowiedź w puste pole . 1. pola trójkątów i prostokątów, 2. prostokątami, 3. Polem podstaw, 4. polem całkowitym, 5. pól podstaw i pola powierzchni bocznej, 6. podstaw, 7. Polem powierzchni bocznej, 8. Trójkątami równoramiennymi, 9.

\frac{a^{2} \sqrt{2}}{2} + 3 a h

, 10.

\frac{a^{2} \sqrt{3}}{2} + 3 a h

, 11. trójkątami równobocznymi, 12.

\frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} + 3 a h

, 13. pól ścian bocznych, 14. trójkątami prostokątnymi, 15.

\frac{a^{2} \sqrt{3}}{2} + 4 a h

graniastosłupa prawidłowego trójkątnego nazywamy sumę pól jego 1. pola trójkątów i prostokątów, 2. prostokątami, 3. Polem podstaw, 4. polem całkowitym, 5. pól podstaw i pola powierzchni bocznej, 6. podstaw, 7. Polem powierzchni bocznej, 8. Trójkątami równoramiennymi, 9.

\frac{a^{2} \sqrt{2}}{2} + 3 a h

, 10.

\frac{a^{2} \sqrt{3}}{2} + 3 a h

, 11. trójkątami równobocznymi, 12.

\frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} + 3 a h

, 13. pól ścian bocznych, 14. trójkątami prostokątnymi, 15.

\frac{a^{2} \sqrt{3}}{2} + 4 a h

, które są 1. pola trójkątów i prostokątów, 2. prostokątami, 3. Polem podstaw, 4. polem całkowitym, 5. pól podstaw i pola powierzchni bocznej, 6. podstaw, 7. Polem powierzchni bocznej, 8. Trójkątami równoramiennymi, 9.

\frac{a^{2} \sqrt{2}}{2} + 3 a h

, 10.

\frac{a^{2} \sqrt{3}}{2} + 3 a h

, 11. trójkątami równobocznymi, 12.

\frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} + 3 a h

, 13. pól ścian bocznych, 14. trójkątami prostokątnymi, 15.

\frac{a^{2} \sqrt{3}}{2} + 4 a h

. 1. pola trójkątów i prostokątów, 2. prostokątami, 3. Polem podstaw, 4. polem całkowitym, 5. pól podstaw i pola powierzchni bocznej, 6. podstaw, 7. Polem powierzchni bocznej, 8. Trójkątami równoramiennymi, 9.

\frac{a^{2} \sqrt{2}}{2} + 3 a h

, 10.

\frac{a^{2} \sqrt{3}}{2} + 3 a h

, 11. trójkątami równobocznymi, 12.

\frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} + 3 a h

, 13. pól ścian bocznych, 14. trójkątami prostokątnymi, 15.

\frac{a^{2} \sqrt{3}}{2} + 4 a h

graniastosłupa prawidłowego trójkątnego nazywamy sumę 1. pola trójkątów i prostokątów, 2. prostokątami, 3. Polem podstaw, 4. polem całkowitym, 5. pól podstaw i pola powierzchni bocznej, 6. podstaw, 7. Polem powierzchni bocznej, 8. Trójkątami równoramiennymi, 9.

\frac{a^{2} \sqrt{2}}{2} + 3 a h

, 10.

\frac{a^{2} \sqrt{3}}{2} + 3 a h

, 11. trójkątami równobocznymi, 12.

\frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} + 3 a h

, 13. pól ścian bocznych, 14. trójkątami prostokątnymi, 15.

\frac{a^{2} \sqrt{3}}{2} + 4 a h

tego graniastosłupa, które są 1. pola trójkątów i prostokątów, 2. prostokątami, 3. Polem podstaw, 4. polem całkowitym, 5. pól podstaw i pola powierzchni bocznej, 6. podstaw, 7. Polem powierzchni bocznej, 8. Trójkątami równoramiennymi, 9.

\frac{a^{2} \sqrt{2}}{2} + 3 a h

, 10.

\frac{a^{2} \sqrt{3}}{2} + 3 a h

, 11. trójkątami równobocznymi, 12.

\frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} + 3 a h

, 13. pól ścian bocznych, 14. trójkątami prostokątnymi, 15.

\frac{a^{2} \sqrt{3}}{2} + 4 a h

. Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego trójkątnego to suma 1. pola trójkątów i prostokątów, 2. prostokątami, 3. Polem podstaw, 4. polem całkowitym, 5. pól podstaw i pola powierzchni bocznej, 6. podstaw, 7. Polem powierzchni bocznej, 8. Trójkątami równoramiennymi, 9.

\frac{a^{2} \sqrt{2}}{2} + 3 a h

, 10.

\frac{a^{2} \sqrt{3}}{2} + 3 a h

, 11. trójkątami równobocznymi, 12.

\frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} + 3 a h

, 13. pól ścian bocznych, 14. trójkątami prostokątnymi, 15.

\frac{a^{2} \sqrt{3}}{2} + 4 a h

. Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego trójkątnego o krawędzi

a

i wysokości

h

obliczamy ze wzoru 1. pola trójkątów i prostokątów, 2. prostokątami, 3. Polem podstaw, 4. polem całkowitym, 5. pól podstaw i pola powierzchni bocznej, 6. podstaw, 7. Polem powierzchni bocznej, 8. Trójkątami równoramiennymi, 9.

\frac{a^{2} \sqrt{2}}{2} + 3 a h

, 10.

\frac{a^{2} \sqrt{3}}{2} + 3 a h

, 11. trójkątami równobocznymi, 12.

\frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} + 3 a h

, 13. pól ścian bocznych, 14. trójkątami prostokątnymi, 15.

\frac{a^{2} \sqrt{3}}{2} + 4 a h

\frac{a^{2} \sqrt{2}}{2} + 3 a h

, 10.

\frac{a^{2} \sqrt{3}}{2} + 3 a h

, 11. trójkątami równobocznymi, 12.

\frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} + 3 a h

, 13. pól ścian bocznych, 14. trójkątami prostokątnymi, 15.

\frac{a^{2} \sqrt{3}}{2} + 4 a h

\frac{a^{2} \sqrt{2}}{2} + 3 a h

, 10.

\frac{a^{2} \sqrt{3}}{2} + 3 a h

, 11. trójkątami równobocznymi, 12.

\frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} + 3 a h

, 13. pól ścian bocznych, 14. trójkątami prostokątnymi, 15.

\frac{a^{2} \sqrt{3}}{2} + 4 a h

\frac{a^{2} \sqrt{2}}{2} + 3 a h

, 10.

\frac{a^{2} \sqrt{3}}{2} + 3 a h

, 11. trójkątami równobocznymi, 12.

\frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} + 3 a h

, 13. pól ścian bocznych, 14. trójkątami prostokątnymi, 15.

\frac{a^{2} \sqrt{3}}{2} + 4 a h

\frac{a^{2} \sqrt{2}}{2} + 3 a h

, 10.

\frac{a^{2} \sqrt{3}}{2} + 3 a h

, 11. trójkątami równobocznymi, 12.

\frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} + 3 a h

, 13. pól ścian bocznych, 14. trójkątami prostokątnymi, 15.

\frac{a^{2} \sqrt{3}}{2} + 4 a h

\frac{a^{2} \sqrt{2}}{2} + 3 a h

, 10.

\frac{a^{2} \sqrt{3}}{2} + 3 a h

, 11. trójkątami równobocznymi, 12.

\frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} + 3 a h

, 13. pól ścian bocznych, 14. trójkątami prostokątnymi, 15.

\frac{a^{2} \sqrt{3}}{2} + 4 a h

\frac{a^{2} \sqrt{2}}{2} + 3 a h

, 10.

\frac{a^{2} \sqrt{3}}{2} + 3 a h

, 11. trójkątami równobocznymi, 12.

\frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} + 3 a h

, 13. pól ścian bocznych, 14. trójkątami prostokątnymi, 15.

\frac{a^{2} \sqrt{3}}{2} + 4 a h

\frac{a^{2} \sqrt{2}}{2} + 3 a h

, 10.

\frac{a^{2} \sqrt{3}}{2} + 3 a h

, 11. trójkątami równobocznymi, 12.

\frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} + 3 a h

, 13. pól ścian bocznych, 14. trójkątami prostokątnymi, 15.

\frac{a^{2} \sqrt{3}}{2} + 4 a h

. Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego trójkątnego o krawędzi

a

i wysokości

h

\frac{a^{2} \sqrt{2}}{2} + 3 a h

, 10.

\frac{a^{2} \sqrt{3}}{2} + 3 a h

, 11. trójkątami równobocznymi, 12.

\frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} + 3 a h

, 13. pól ścian bocznych, 14. trójkątami prostokątnymi, 15.

\frac{a^{2} \sqrt{3}}{2} + 4 a h

Uzupełnij podany tekst przeciągając w odpowiednie miejsca właściwy wyraz.

Polem podstaw, pól podstaw i pola powierzchni bocznej, podstaw, pól ścian bocznych, $\frac{a^{2} \sqrt{3}}{2} + 4 a h$ , pola trójkątów i prostokątów, trójkątami prostokątnymi, Trójkątami równoramiennymi, $\frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} + 3 a h$ , polem całkowitym, trójkątami równobocznymi, prostokątami, Polem powierzchni bocznej, $\frac{a^{2} \sqrt{2}}{2} + 3 a h$ , $\frac{a^{2} \sqrt{3}}{2} + 3 a h$

................................................................................ graniastosłupa prawidłowego trójkątnego nazywamy sumę pól jego ................................................................................, które są ................................................................................. ................................................................................ graniastosłupa prawidłowego trójkątnego nazywamy sumę ................................................................................ tego graniastosłupa, które są ................................................................................. Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego trójkątnego to suma ................................................................................. Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego trójkątnego o krawędzi $a$ i wysokości $h$ obliczamy ze wzoru .................................................................................

Ćwiczenie 6

Na rysunku przedstawiono graniastosłup prawidłowy trójkątny.

R256KySIURVzB

lustracja przedstawia graniastosłup o podstawie trójkąta. Wszystkie krawędzie podstawy podpisano literą a, krawędź boczną ostrosłupa podpisano literą h.

R15iMZfhExV4t

Zaznacz wzory prawidłowo opisujące zależności w tym graniastosłupie.

$h = \frac{4 \sqrt{3} V}{3 a^{2}}$
$h = \frac{2 P_{c} - a^{2} \sqrt{3}}{6 a}$
$P_{C} = \frac{3 a^{3} \sqrt{3} + 4 V}{6 a}$
$P_{C} = \frac{\sqrt{3} {P_{b}}^{2}}{h^{2}} + P_{b}$

Ćwiczenie 7

Przekątna ściany bocznej graniastosłupa prawidłowego trójkątnego ma długość $d$ , a kąt jej nachylenia do krawędzi podstawy wynosi $α$ . Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.

R1Qy6oc42bUpN

Z trójkąta $A C F$ mamy $h = d \sin α$ , $a = d \cos α$ . Zatem

$P_{c} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{2} + 3 a h$ , czyli $P_{c} = \frac{\sqrt{3} d^{2} \cos^{2} α}{2} + 3 d^{2} \sin α \cos α$ , stąd $P_{c} = \sqrt{3} d^{2} \cos α (\frac{1}{2} \cos α + \sqrt{3} \sin α)$ .

Ćwiczenie 8

W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym przekątna ściany bocznej ma długość $p$ , a wysokość podstawy ma długość $d$ . Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.

RKFe6kvy5dZ3A

Wysokość podstawy

$d = \frac{a^{} \sqrt{3}}{2}$

stąd krawędź podstawy i wysokość

$a = \frac{2 d}{\sqrt{3}}$ , $h = \sqrt{p^{2} - \frac{4 d^{2}}{3}}$

Zatem pole powierzchni całkowitej

$P_{c} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{2} + 3 a h$

czyli

$P_{c} = \frac{2 \sqrt{3} d^{2}}{3} + 2 \sqrt{3} d \sqrt{p^{2} - \frac{4 d^{2}}{3}}$ .

Ostatecznie po przekształceniach otrzymujemy

$P_{c} = 2 d (\frac{\sqrt{3} d}{3} + \sqrt{3 p^{2} - 4 d^{2}})$ .

Ćwiczenie 9

Jaka powinna być długość krawędzi podstawy i wysokości graniastosłupa prawidłowego trójkątnego, którego objętość jest równa $4 \sqrt{3}$ , a pole powierzchni całkowitej $2 \sqrt{3} + 24$ ? Krawędź podstawy i wysokość są liczbami całkowitymi.

Rozważmy graniastosłup prawidłowy trójkątny przedstawiony na rysunku.

R1P5DWjxxt812

Z warunków zadania mamy kolejno

$V = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} h = 4 \sqrt{3}$

$a h = \frac{16}{a}$ ,

Podstawiamy ostatnią zależność do wzoru na pole powierzchni całkowitej. Otrzymujemy

$P_{c} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{2} + 3 a h = 2 \sqrt{3} + 24$ ,

$\frac{a^{2} \sqrt{3}}{2} - 3 \cdot \frac{16}{a} - 2 \sqrt{3} - 24 = 0$ .

Mnożymy równanie obustronnie przez $2 a$ oraz odpowiednio je porządkujemy. Wówczas dostajemy

$a^{3} \sqrt{3} - 4 \sqrt{3} a - 48 a + 96 = 0$ ,

$a^{} \sqrt{3} (a^{2} - 4) - 48 (a - 2) = 0$ ,

$a^{} \sqrt{3} (a - 2) (a + 2) - 48 (a - 2) = 0$ .

Wyciągamy składnik $a - 2$ przed nawias

$(a - 2) (a \sqrt{3} \cdot (a + 2) - 48) = 0$ ,

$(a - 2) (a^{2} \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} a - 48) = 0$ .

Obliczamy deltę dla równania kwadratowego

$△ = {(2 \sqrt{3})}^{2} - 4 \cdot \sqrt{3} \cdot (- 48) = 12 + 192 \sqrt{3}$ , czyli $\sqrt{△} = \sqrt{12 + 192 \sqrt{3}}$ .

Zatem równanie będzie miało dwa rozwiązania

$a_{1} = \frac{- 2 \sqrt{3} - \sqrt{12 + 192 \sqrt{3}}}{2 \sqrt{3}} = - 1 - \sqrt{1 + 16 \sqrt{3}}$ oraz

$a_{2} = \frac{- 2 \sqrt{3} + \sqrt{12 + 192 \sqrt{3}}}{2 \sqrt{3}} = - 1 + \sqrt{1 + 16 \sqrt{3}}$ .

Podsumowując, rozwiązaniami wyjściowego równania są liczby

$a = 2$ , $a = - 1 - \sqrt{1 + 16 \sqrt{3}} \notin ℤ (< 0)$ oraz $a = \sqrt{1 + 16 \sqrt{3}} - 1 \notin ℤ$ .

Krawędź podstawy i wysokość są liczbami całkowitymi, zatem $a = 2$ , $h = 4$ .

Ćwiczenie 10

Objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa $40, 5$ . Pole podstawy graniastosłupa jest równe polu jednej ściany bocznej. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.

Niech $a > 0$ oznacza długość krawędzi podstawy, $h > 0$ długość wysokości rozważanego graniastosłupa. Z treści zadania mamy $V = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} h = \frac{81}{2}$ oraz $\frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} = a h$ , stąd $a = 6$ i $h = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ . Zatem pole całkowite graniastosłupa $P_{c} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{2} + 3 a h = 45 \sqrt{3}$ .

Animacja 3D

Dla nauczyciela