Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

R123aebomvbg8

Ćwiczenie 1

RcCnyf8NQmQG2

Ćwiczenie 2

RyqW4WA88i9GM

Suma długości wysokości trapezu równoramiennego i obu jego podstaw jest równa $20 cm$ . Największe możliwe pole wynosi:

$50 {cm}^{2}$
$60 {cm}^{2}$
$25 {cm}^{2}$
$100 {cm}^{2}$

RzGWAotXsSz0h2

Ćwiczenie 3

Trapez równoramienny opisano na okręgu o promieniu $2$ . Uzupełnij tabelę wiedząc, że pole trapezu jest najmniejsze z możliwych. Przyjmij, że $a$ - długość krótszej podstawy.

MAX, BRAK, $↘$ , $↗$ , $+$ , $-$ , $(0, 2)$ , $2$ , $(2, \infty)$ , $(8, \infty)$ , $8$ , $(0, 8)$

$a$	$P' (a)$	$P (a)$

Ćwiczenie 4

Dane są punkty $A (- 4, 0)$ i $B (0, - 2)$ . Na paraboli o równaniu $y = x^{2} + 2$ znajdź taki punkt $C$ , aby pole trójkąta $A B C$ było najmniejsze.

Punkt $C$ należy do paraboli o równaniu $y = x^{2} + 2$ , więc $C (x, x^{2} + 2)$ . Wyznaczymy równanie prostej $A B$ .

\{\begin{cases} 0 = - 4 a + b \\ - 2 = b \end{cases}

Po podstawieniu do pierwszego równania niewiadomej $b$ przekształcając otrzymujemy $a = - \frac{1}{2}$ .

Zapisując równanie prostej $A B$

y = - \frac{1}{2} x - 2

Przekształcając do postaci ogólnej mnożąc przez $2$ otrzymujemy

x + 2 y + 4 = 0

Następnie wyznaczymy wysokość trójkąta ze wzoru na odległość punktu od prostej. Odległość punktu $P (x_{0}, y_{0})$ od prostej w postaci ogólnej $A x + B y + C = 0$ możemy obliczyć ze wzoru:

h = \frac{|A x_{0} + B y_{0} + C|}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}}

Zatem odległość punktu $C$ od prostej $A B$ wynosi

h = \frac{|1 \cdot x + 2 (x^{2} + 2) + 4|}{\sqrt{1^{2} + 2^{2}}} = \frac{|2 x^{2} + x + 8|}{\sqrt{5}}

Zauważ, że wyrażenie pod wartością bezwzględną jest dodatnie dla dowolnego $x$ , zatem możemy zapisać

h = \frac{2 x^{2} + x + 8}{\sqrt{5}}

Następnie wyznaczymy długość odcinka $A B$ ze wzoru

|A B| = \sqrt{{(x_{B} - x_{A})}^{2} + {(y_{B} - y_{A})}^{2}}

Stąd $|A B| = \sqrt{2^{2} + 4^{2}} = 2 \sqrt{5}$ . Wyznaczymy pole trójkąta

P (x) = \frac{2 \sqrt{5} \cdot (2 x^{2} + x + 8)}{2 \sqrt{5}} = 2 x^{2} + x + 8

Pochodna funkcji pola

P' (x) = 4 x + 1

Dziedzina

D

x \in ℝ

Miejsce zerowe pochodnej wynosi $x = - \frac{1}{4}$ oraz $P' (x) < 0$ dla $x < - \frac{1}{4}$ i $P' (x) > 0$ dla $x > - \frac{1}{4}$ , więc funkcja $P$ osiąga w punkcie $x = - \frac{1}{4}$ minimum lokalne.

Wyznaczymy współrzędne punktu $C$ podstawiając miejsce zerowe pochodnej, $C (- \frac{1}{4}, \frac{33}{16})$ .

R1JsSTNQ3jMlt2

Ćwiczenie 5

W trójkącie równoramiennym suma długości ramienia i wysokości wynosi $10 c m$ . Uzupełnij tabelę, wiedząc, że pole jest największe z możliwych. Przyjmij oznaczenie $x -$ długość podstawy.

MIN, BRAK, $↘$ , $↗$ , $+$ , $-$ , $(0, \frac{10}{3})$ , $\frac{10}{3}$ , $(\frac{10}{3}, \infty)$ , $(0, \frac{10 \sqrt{3}}{3})$ , $\frac{10 \sqrt{3}}{3}$ , $(\frac{10 \sqrt{3}}{3}, \infty)$ , $(\frac{10}{3}, 20)$ , $(\frac{20 \sqrt{3}}{3}, \infty)$ , $(\frac{10 \sqrt{3}}{3}, 20)$

$x$	$P' (x)$	$P (x)$

Ćwiczenie 6

Dwa wierzchołki prostokąta należą do paraboli o równaniu $y = \frac{4}{9} x^{2} - 6$ , a dwa do prostej o równaniu $y = - 2$ (zobacz rysunek). Wyznacz długości boków prostokąta, którego pole powierzchni jest największe.

R3ZOrI3b7np64

Rysunek przedstawia parabolę w układzie współrzędnym. W paraboli zawiera się prostokąt ograniczony funkcją y równa się minus dwa.

Możemy wyliczyć, że parabola przecina się z prostą w punktach $A (- 3, - 2)$ i $B (3, - 2)$ . Oznaczmy wierzchołki prostokąta

R1PLSMkrqgiYf

Rysunek przedstawia parabolę w układzie współrzędnym. W paraboli zawiera się prostokąt C, D, E, F ograniczony funkcją y równa się minus dwa.

Wierzchołki prostokąta mają współrzędne $C (x, \frac{4}{9} x^{2} - 6)$ , $D (x, - 2)$ , $E (- x, - 2)$ , $F (- x, \frac{4}{9} x^{2} - 6)$ . Możemy zauważyć, że dziedziną jest zbiór:

D

x \in (0, 3)

Długości boków prostokąta wynoszą $4 - \frac{4}{9} x^{2}$ oraz $2 x$ . Wyznaczymy pole prostokąta

P (x) = 2 x (4 - \frac{4}{9} x^{2}) = 8 x - \frac{8}{9} x^{3}

Pochodna pola wynosi

P' (x) = 8 - \frac{8}{3} x^{2}

Rozwiązania równania $P' (x) = 0$ są równe: $x_{1} = - \sqrt{3}$ oraz $x_{2} = \sqrt{3}$ . Możemy zauważyć, że $x_{1}$ nie należy do dziedziny pochodnej, zatem jedynym jej miejscem zerowym jest $x_{2} = \sqrt{3}$ . Narysujemy wykres pochodnej uwzględniając dziedzinę.

R19rfrEUFvEAm

Wykres przedstawia funkcję P prim z miejscami zerowymi w minus pierwiastek z trzech i pierwiastek z trzech. W przedziale od pierwszego miejsca zerowego do drugiego, wartości funkcji są dodatnie.

Aby wyznaczyć ekstremum, stworzymy tabelę, przedziały w tabeli są zależne od dziedziny oraz punktów dla których pochodna się zeruje.

$x$	$\left(0,\sqrt{3}\right)$	$\sqrt{3}$	$\left(\sqrt{3},3\right)$
$P'\left(x\right)$	$+$	$0$	$-$
$P\left(x\right)$	$\nearrow$	MAX	$\searrow$

Funkcja osiąga maksimum w punkcie $\sqrt{3}$ . Długości boków prostokąta wynoszą $2 \sqrt{3}$ oraz $\frac{8}{3}$ .

Ćwiczenie 7

Dane są punkty $A (- 5, 1)$ , $B (- 2, 4)$ , $C (0, t + 2)$ , $D (- t, 0)$ , gdzie $t \in ⟨0, 2⟩$ .

R1ZaRhwwuxbip

a) Uzupełnij prawidłową odpowiedź. Pole czworokąta $A B C D$ wynosi:

$- t^{2} + t + 2$ , $- t^{2} + t + 22$ , $- \frac{1}{2} t^{2} + \frac{1}{2} t + 11$ , $- \frac{1}{2} t^{2} + \frac{1}{2} t + 1$

$P =$ ........................

Rjg3m0FauvUeh

R17JwMgkWHm7E

Ćwiczenie 8

Z kawałka kartonu należy wyciąć prostokąt o jak największym polu, w taki sposób, by wierzchołek $P$ prostokąta należał do krawędzi $C D$ (zobacz rysunek). Wyznacz wymiary tego prostokąta.

RsJDzm01ZRZ1b

Rysunek przedstawia pięciokąt A, B, C, D, E. Odcinek AB jest równy 12, odcinek BC 7, odcinek DE 4, odcinek EA 11. Oznaczono na odcinku DC punkt P. Poprowadzono od niego prostopadle do innych dwa boki.

Wyznacz pole pięciokąta $A B C D E$ a następnie zapisz pole jako sumę pól dwóch trapezów oraz prostokąta.

Oznaczmy

RU6SUXiXicIfU

By wierzchołek $P$ należał do krawędzi $C D$ , to

D

x \in ⟨4, 12⟩

oraz

D

y \in ⟨7, 11⟩

Wyznaczymy pole trapezu $A B C D E$ . Figura składa się z prostokąta oraz trapezu

P_{A B C D E} = 7 \cdot 12 + \frac{(4 + 12) 4}{2} = 116

Pole trapezu możemy również wyznaczyć jako sumę prostokąta i dwóch trapezów.

\frac{(y + 7) (12 - x)}{2} + \frac{(4 + x) (11 - y)}{2} + x y = 116

Sprowadzając do najprostszej postaci otrzymujemy

2 x + 4 y = 52

Wyznaczamy jedną zmienną $x = 26 - 2 y$ . Następnie podstawimy do pola prostokąta

P (y) = (26 - 2 y) y = - 2 y^{2} + 26 y

Wyznaczamy pochodną

P' (y) = - 2 \cdot 2 y + 26 = - 4 y + 26

Szukamy ekstremum wyznaczając miejsce zerowe pochodnej $y = 6, 5$ . Możemy zauważyć, że rozwiązanie nie należy do dziedziny. Najmniejszy $y$ , który spełnia dziedzinę to $y = 7$ . Wyznaczymy $x = 26 - 14 = 12$ .

Odpowiedź. Wymiary prostokąta to $12 \times 7$ .

Film samouczek

Dla nauczyciela