Wyznacz wysokość trójkąta korzystając ze wzoru na odległość punktu od prostej.

Punkt $C$ należy do paraboli o równaniu $y=x^2+2$, więc $C\left(x,x^2+2\right)$. Wyznaczymy równanie prostej $AB$.

Po podstawieniu do pierwszego równania niewiadomej $b$ przekształcając otrzymujemy $a=-\frac{1}{2}$.

Zapisując równanie prostej $AB$

Przekształcając do postaci ogólnej mnożąc przez $2$ otrzymujemy

Następnie wyznaczymy wysokość trójkąta ze wzoru na odległość punktu od prostej. Odległość punktu $P\left(x_0,y_0\right)$ od prostej w postaci ogólnej $Ax+By+C=0$ możemy obliczyć ze wzoru:

Zatem odległość punktu $C$ od prostej $AB$ wynosi

Zauważ, że wyrażenie pod wartością bezwzględną jest dodatnie dla dowolnego $x$, zatem możemy zapisać

Następnie wyznaczymy długość odcinka $AB$ ze wzoru

Stąd $\left|AB\right|=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$. Wyznaczymy pole trójkąta

Pochodna funkcji pola

Dziedzina

Miejsce zerowe pochodnej wynosi $x=-\frac{1}{4}$ oraz $P\text{'}\left(x\right)<0$ dla $x<-\frac{1}{4}$ i $P\text{'}\left(x\right)>0$ dla $x>-\frac{1}{4}$, więc funkcja $P$ osiąga w punkcie $x=-\frac{1}{4}$ minimum lokalne.

Wyznaczymy współrzędne punktu $C$ podstawiając miejsce zerowe pochodnej, $C\left(-\frac{1}{4},\frac{33}{16}\right)$.

Wyznacz współrzędne punktów przecięcia się obydwóch funkcji aby można było wyznaczyć dziedzinę. Następnie wyznacz współrzędne wierzchołków prostokąta.

Możemy wyliczyć, że parabola przecina się z prostą w punktach $A\left(-3,-2\right)$ i $B\left(3,-2\right)$. Oznaczmy wierzchołki prostokąta

R1PLSMkrqgiYf

Rysunek przedstawia parabolę w układzie współrzędnym. W paraboli zawiera się prostokąt C, D, E, F ograniczony funkcją y równa się minus dwa.

Wierzchołki prostokąta mają współrzędne $C\left(x,\frac{4}{9}{x}^2-6\right)$, $D\left(x,-2\right)$, $E\left(-x,-2\right)$, $F\left(-x,\frac{4}{9}{x}^2-6\right)$. Możemy zauważyć, że dziedziną jest zbiór:

Długości boków prostokąta wynoszą $4-\frac{4}{9}{x}^2$ oraz $2x$. Wyznaczymy pole prostokąta

Pochodna pola wynosi

Rozwiązania równania $P\text{'}\left(x\right)=0$ są równe: $x_1=-\sqrt{3}$ oraz $x_2=\sqrt{3}$. Możemy zauważyć, że  $x_1$ nie należy do dziedziny pochodnej, zatem jedynym jej miejscem zerowym jest $x_2=\sqrt{3}$. Narysujemy wykres pochodnej uwzględniając dziedzinę.

R19rfrEUFvEAm

Wykres przedstawia funkcję P prim z miejscami zerowymi w minus pierwiastek z trzech i pierwiastek z trzech. W przedziale od pierwszego miejsca zerowego do drugiego, wartości funkcji są dodatnie.

Aby wyznaczyć ekstremum, stworzymy tabelę, przedziały w tabeli są zależne od dziedziny oraz punktów dla których pochodna się zeruje.

Funkcja osiąga maksimum w punkcie $\sqrt{3}$. Długości boków prostokąta wynoszą $2\sqrt{3}$ oraz $\frac{8}{3}$.

Wyznacz pole pięciokąta $ABCDE$ a następnie zapisz pole jako sumę pól dwóch trapezów oraz prostokąta.

Oznaczmy

RU6SUXiXicIfU

Rysunek przedstawia pięciokąt A, B, C, D, E. Odcinek AB jest równy 12, odcinek BC 7, odcinek DE 4, odcinek EA 11. Oznaczono na odcinku DC punkt P. Poprowadzono od niego prostopadle do innych dwa boki x i y.

By wierzchołek $P$ należał do krawędzi $CD$, to

oraz

Wyznaczymy pole trapezu $ABCDE$. Figura składa się z prostokąta oraz trapezu

Pole trapezu możemy również wyznaczyć jako sumę prostokąta i dwóch trapezów.

Sprowadzając do najprostszej postaci otrzymujemy

Wyznaczamy jedną zmienną $x=26-2y$. Następnie podstawimy do pola prostokąta

Wyznaczamy pochodną

Szukamy ekstremum wyznaczając miejsce zerowe pochodnej $y=6,5$. Możemy zauważyć, że rozwiązanie nie należy do dziedziny. Najmniejszy $y$, który spełnia dziedzinę to $y=7$. Wyznaczymy $x=26-14=12$.

Odpowiedź. Wymiary prostokąta to $12\times 7$.