Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

R92iRJhcOM12r1

Ćwiczenie 1

Dany jest trójkąt prostokątny o kącie ostrym $62 °$ i krótszej przyprostokątnej długości $2$ . Długość przeciwprostokątnej w tym trójkącie (z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku) wynosi:

$4, 26$
$2, 27$
$1, 06$
$0, 94$

Ćwiczenie 2

R1HJwDcipIj9f

RKmwrVr9JNZrm

Ćwiczenie 3

R17GuWUHYKtTo

W rombie dane są: bok długości $5 cm$ i kąt rozwarty o mierze $153 °$ . Wybierz zdania prawdziwe.

Wysokość tego rombu (z dokładnością do $0, 01 cm$ ) wynosi $2, 27 cm$ .
Krótsza przekątna tego rombu (z dokładnością do $0, 1 cm$ ) ma długość $2, 7 cm$ .
Dłuższa przekątna tego rombu (z dokładnością do $0, 1 cm$ ) ma długość $9, 7 cm$ .
Pole tego rombu (z dokładnością do $0, 01 {cm}^{2}$ ) wynosi $22, 7 {cm}^{2}$ .

Ćwiczenie 4

RUvYsU1HdJZHE

RF2z3YdhAjwEG

Ćwiczenie 5

RKfNwvW3e41sJ

Dany jest trójkąt prostokątny $A B C$ o kącie prostym przy wierzchołku $A$ , w którym $"|"A B"|" = 10 cm$ , $"|"A C"|" = 12 cm$ . Wybierz (z dokładnością do $1 °$ ) miary kątów, na jakie dzieli kąt $A C B$ środkowa poprowadzona z wierzchołka $C$ .

$17 °$ i $40 °$
$17 °$ i $23 °$
$23 °$ i $40 °$
$22 °$ i $23 °$

Ćwiczenie 6

W trójkącie prostokątnym $A B C$ (zobacz rysunek poniżej), przyprostokątna $A C$ ma długość $6$ , a kąt $A B C$ ma miarę $36 °$ .
Z wierzchołka $A$ poprowadzono dwusieczną kąta $B A C$ .

ReJvCfNpS8v1R

Zdjęcie przedstawia trójkąt A, B, C. Z punktu A do punktu D, który znajduje się na boku BC poprowadzono prostą. Odcinek CD jest równy x, odcinek DB jest równy y. Przyprostokątna AC jest równa 6.

Oceń prawdziwość poniższych zdań.

RC5QzeQFacyYS

	Prawda	Fałsz
Druga przyprostokątna w tym trójkącie (z dokładnością do $0, 01$ ) ma długość $8, 26$ .	□	□
Odcinek $x$ (z dokładnością do $0, 01$ ) ma długość $11, 78$ .	□	□
Odcinek $y$ (z dokładnością do $0, 01$ ) ma długość $5, 20$ .	□	□

R6hO1nZLp0fKl2

Ćwiczenie 7

Dana jest prosta o równaniu $y = 7 + 2 \frac{2}{5} x$ . Kąt nachylenia tej prostej do osi $X$ z dokładnością do $1 °$ ma miarę:

$68 °$
$82 °$
$67 °$
$22 °$

Ćwiczenie 8

Wyznacz miary kątów w trójkącie prostokątnym, jeśli tangens jednego z nich $3$ razy większy od sinusa tego kąta.

$tg α = 3 \cdot \sin α$

$\frac{\sin α}{\cos α} = 3 \cdot \sin α$

Dla kątów ostrych: $\sin α > 0$ oraz $\cos α > 0$

$\frac{\sin α}{\cos α} = 3 \cdot \sin α | : \sin α$

$\frac{1}{\cos α} = 3 | \cdot \cos α$

$1 = 3 \cdot \cos α$

$\cos α = \frac{1}{3} \approx 0, 3333$

W tablicach wartości funkcji trygonometrycznych odszukujemy kąt, dla którego wartość cosinusa jest najbliższa liczbie $0, 3333$ . Zatem:

$α \approx 71 °$

Wtedy:

$β \approx 19 °$ .

Ćwiczenie 9

Oblicz pole czworokąta $A B C D$ , jeśli promień okręgu opisanego na tym czworokącie ma długość $6$ . Przyjmij, że kąt $A O B$ ma miarę $100 °$ , gdzie $O$ - środek okręgu opisanego na czworokącie $A B C D$ , a trójkąt $A B C$ jest równoramienny. Wynik podaj z dokładnością do $0, 1$ .

RiXyKn6wMnT40

Ilustracja przedstawia czworokąt A, B, C, D wpisany w okrąg O. Poprowadzono trzy dodatkowe odcinki, DB będący średnicą okręgu, AO i BO będące ramionami trójkąta A, B, O. Kąt AOB jest równy 100 stopni.

Zauważmy, że trójkąty: $A B D$ i $B C D$ są prostokątne. Pole czworokąta $A B C D$ jest równe sumie pól trójkątów $A B D$ i $B C D$ .

Kąt $A D B$ jest kątem wpisanym opartym na tym samym łuku, co kąt środkowy
$A O B$ , zatem $|∢ A D B| = 50 °$ , stąd $|∢ A B D| = 40 °$ .

Analogicznie $|∢ A C B| = 50 °$ , zatem (z równoramienności trójkąta $A B C$ ): $|∢ A B C| = 65 °$ i $|∢ D B C| = 25 °$ .

R1F2Nko7UkiFj

$P_{△ A B D} = \frac{1}{2} \cdot |B D| \cdot |A B| \cdot \sin 40 °$

$P_{△ B C D} = \frac{1}{2} \cdot |B D| \cdot |B C| \cdot \sin 25 °$

$\frac{|A B|}{|B D|} = \cos 40 °$

$|A B| = 12 \cdot 0, 776 = 9, 312$

$P_{△ A B D} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 9, 312 \cdot 0, 6428 = 35, 914521$

$\frac{|B C|}{|B D|} = \cos 25 °$

$|B C| = 12 \cdot 0, 9063 = 10, 8756$

$P_{△ B C D} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 10, 8756 \cdot 0, 4226 = 27, 5761714$

$P_{A B C D} = 35, 914521 + 27, 5761714 = 63, 4906924 \approx 63, 5$ .

Ćwiczenie 10

Na szczycie pewnego wzniesienia wybudowano zamek. Szczyt wieży zamku widać z pewnego punktu pod kątem $52 °$ , a szczyt wzniesienia pod kątem $48 °$ . Jaka jest wysokość wzniesienia, jeśli wysokość wieży zamku wynosi $24 m$ . Wynik podaj z dokładnością do $0, 01 m$ .

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.

RhfrxwmxqUJTg

Rysunek przedstawia dwa trójkąty o wspólnej podstawie i zaczynające się w tej samej wysokości. Podstawa równa jest y, wyskość pierwszego x, wysokość drugiego x + 24. Pierwsza przeciwprostokątna jest nachylona pod kątem 48 stopni do podstawy, druga pod kątem 52 stopni.

$tg 52 ° = \frac{x + 24}{y}$

$y = \frac{x + 24}{tg 52 °} \approx \frac{x + 24}{1, 2799}$

$tg 48 ° = \frac{x}{y}$

$y = \frac{x}{tg 48 °} \approx \frac{x}{1, 1106}$

$\frac{x + 24}{1, 2799} = \frac{x}{1, 1106}$

$1, 2799 x = 1, 1106 x + 26, 6544$

$0, 1693 x = 26, 6544 | : 0, 1693$

$x \approx 157, 44 m$ .

R417a6SGbQgRx3

Ćwiczenie 11

Dany jest trójkąt o wierzchołkach $A = (- 5; - 1)$ , $B = (0; - 6)$ , $C = (0; 11)$ . Wyznacz miary kątów tego trójkąta.

Miara kąta $A B C$ z dokładnością do $1 °$ wynosi ............ $°$ .

Miara kąta $A C B$ z dokładnością do $1 °$ wynosi ............ $°$ .

Miara kąta $B A C$ z dokładnością do $1 °$ wynosi ............ $°$ .

Animacja

Dla nauczyciela