Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

R18KXCZVSo0M11

Ćwiczenie 1

Zaznacz poprawną odpowiedź.
Drogę w ruchu jednostajnie przyspieszonym opisuje równanie $s = v_{0} \cdot t + \frac{a \cdot t^{2}}{2}$ . Przy założeniu, że prędkość początkowa $v_{0} = 0 \frac{m}{s}$ , czas $t$ potrzebny na przebycie tej drogi, obliczymy ze wzoru:

$t = \sqrt{\frac{2 s}{a}}$
$t = \sqrt{\frac{a}{2 s}}$
$t = \sqrt{2 a s}$

RFQmMR7uw26MF1

Ćwiczenie 2

Wysokość $h$ $"["m"]"$ , na której znajduje się ciało w chwili $t$ $"["s"]"$ obliczamy ze wzoru $h = H - \frac{g t^{2}}{2}$ , gdzie $H$ $"["m"]"$ jest wysokością początkową oraz $g \approx 10 "["\frac{m}{s^{2}}"]"$ . Zaznacz zdania, które są prawdziwe.

Jeżeli ciało znajdowało się na początku na wysokości $10 m$ , to po czasie $1 s$ będzie znajdowało się na wysokości $5 m$ .
Jeżeli na początku ciało znajdowało się na wysokości $20 m$ , a w pewnej chwili na wysokości $15 m$ , to czas potrzebny na przebycie tej drogi wyniósł $2 s$ .
Wysokość początkową, na której znajdowało się ciało obliczamy ze wzoru $H = h - \frac{g t^{2}}{2}$ .
Czas $t$ możemy obliczyć ze wzoru $t = \sqrt{\frac{2 H - 2 h}{g}}$ . Wysokość początkową obliczymy ze wzoru $H = h + \frac{g t^{2}}{2}$ .

Ćwiczenie 3

Wstaw w tekst odpowiednie liczby.

R1B6vvnxEr8jE

RH9OxgvJJVDQk

Wstaw w tekst odpowiednie liczby. Jeżeli stos klocków ułożymy tak, aby środek ciężkości każdego z nich był tak zachowany, że klocki się nie przewrócą, wówczas krawędzie klocków układają się w kształcie paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej określonej wzorem

f (x) = - \frac{1}{3} x^{2} + \frac{10}{3} x - \frac{16}{3}

.
Wówczas:
- maksymalnie klocek znajduje się na wysokości 1.

8

, 2.

10

, 3.

8

, 4.

4

, 5.

2

, 6.

3

,
- suma miejsc zerowych tej funkcji wynosi 1.

8

, 2.

10

, 3.

8

, 4.

4

, 5.

2

, 6.

3

,
- osią symetrii paraboli, która jest wykresem tej funkcji jest prosta o równaniu

x =

8

, 2.

10

, 3.

8

, 4.

4

, 5.

2

, 6.

3

$8$ , $10$ , $2$ , $5$ , $3$ , $4$

Jeżeli stos klocków ułożymy tak, aby środek ciężkości każdego z nich był tak zachowany, że klocki się nie przewrócą, wówczas krawędzie klocków układają się w kształcie fragmentu paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej określonej wzorem $f (x) = - \frac{1}{3} x^{2} + \frac{10}{3} x - \frac{16}{3}$ .
Wówczas:
- klocek może znajdować się maksymalnie na wysokości ............,
- suma miejsc zerowych funkcji, której wykres przedstawia kształt ułożenia klocków wynosi ............,
- osią symetrii paraboli, która jest wykresem tej funkcji i przedstawia kształt ułożenia klocków jest prosta o równaniu $x =$ .............

R7yLp0FPghtDp2

Ćwiczenie 4

Uzupełnij tekst, wpisując odpowiednie liczby.

Wiadomo, że funkcja popytu pewnego towaru wyraża się wzorem $f (x) = 2 x^{2} - 16 x + 24$ , a funkcja podaży tego towaru jest określona wzorem $g (x) = 10 x^{2}$ , gdzie $x$ oznacza cenę towaru.
Ile wynosi cena równowagi rynkowej? (gdy podaż jest równa popytowi)
Odpowiedź: dla $x =$ .............
Kiedy funkcja popytu jest równa $0$ ?
Odpowiedź: funkcja popytu jest równa $0$ dla $x =$ ............ i $x =$ .............
Przy jakiej cenie towaru funkcja podaży jest rosnąca?
Odpowiedź: cena powinna się zawierać w przedziale $⟨$ ............ $, \infty)$ .

RxZykZ5TUopCD2

Ćwiczenie 5

Zwierciadło paraboliczne można przedstawić za pomocą krzywej, będącej wykresem funkcji kwadratowej. Połącz w pary wzór funkcji kwadratowej, której wykres jest krzywizną zwierciadła z równaniem osi symetrii tej paraboli.

f (x) = \sqrt{2} x^{2}

Możliwe odpowiedzi: 1.

x = - 2

, 2.

x = 1

, 3.

x = - 1

, 4.

x = 0

f (x) = 3 (x - 1) (x + 3)

Możliwe odpowiedzi: 1.

x = - 2

, 2.

x = 1

, 3.

x = - 1

, 4.

x = 0

f (x) = - 2 x^{2} + 4 x - 1

Możliwe odpowiedzi: 1.

x = - 2

, 2.

x = 1

, 3.

x = - 1

, 4.

x = 0

f (x) = - 2 {(x + 2)}^{2} - 3

Możliwe odpowiedzi: 1.

x = - 2

, 2.

x = 1

, 3.

x = - 1

, 4.

x = 0

Brzeg zwierciadła parabolicznego na płaszczyźnie można przedstawić za pomocą krzywej, będącej fragmentem wykresu funkcji kwadratowej. Połącz w pary wzór funkcji, której wykres jest krzywizną zwierciadła z równaniem osi symetrii tej paraboli.

$f (x) = \sqrt{2} x^{2}$
$f (x) = 3 (x - 1) (x + 3)$
$f (x) = - 2 x^{2} + 4 x - 1$
$f (x) = - 2 {(x + 2)}^{2} - 3$

Ćwiczenie 6

Pole powierzchni prostokątnego ogródka wynosi $270 m^{2}$ . Oblicz wymiary ogródka, jeżeli różnią się one o $3 m$ .

Narysujmy rysunek pomocniczy i wprowadźmy oznaczenia, jak na poniższym rysunku.

R10ckoTpI3rQb

Jeżeli przez $x$ $[m]$ oznaczymy długość większego boku prostokąta, to $x > 0$ oraz $x - 3 > 0$ , zatem $x > 3$ .

Do wyznaczenia wartości $x$ rozwiązujemy równanie:

$x \cdot (x - 3) = 270$

$x^{2} - 3 x - 270 = 0$

$∆ = 9 + 4 \cdot 270 = 1089$

$x_{1} = \frac{3 - 33}{2} = - 15$

$x_{2} = \frac{3 + 33}{2} = 18$

Ponieważ $x > 3$ , zatem $x = 18$ oraz $x - 3 = 18 - 3 = 15$ .

Ogródek ma wymiary $18 m$ na $15 m$ .

Ćwiczenie 7

W $2020$ roku na uroczystości urodzinowej, ktoś zapytał jubilata, ile ma lat. Jubilat odpowiedział: jeżeli mój wiek sprzed $20$ lat pomnożę przez mój wiek za $34$ lata, to otrzymam rok mojego urodzenia. Oblicz, ile lat ma jubilat.

Wprowadźmy następujące oznaczenia:

$x$ – obecny wiek jubilata

Zatem:

$x - 20$ – wiek jubilata sprzed $20$ lat

$x + 34$ – wiek jubilata za $34$ lata

oraz $x > 20$

Wobec tego do wyznaczenia wartości $x$ rozwiązujemy równanie:

$(x - 20) \cdot (x + 34) = 2020 - x$

$x^{2} + 34 x - 20 x - 680 = 2020 - x$

$x^{2} + 34 x - 20 x - 680 + x - 2020 = 0$

$x^{2} + 15 x - 2700 = 0$

$∆ = 15^{2} - 4 \cdot (- 2700) = 11025$

$\sqrt{∆} = \sqrt{11025} = 105$

$x_{1} = \frac{- 15 - 105}{2} = - 60 < 20$

$x_{2} = \frac{- 15 + 105}{2} = 45 > 20$

Zatem jubilat ma $45$ lat.

Ćwiczenie 8

Z prostokątnego arkusza papieru o nierównoległych bokach długości $40 cm$ i $30 cm$ odcinamy na rogach kwadraty tak, aby po sklejeniu otrzymać otwarte pudełko na prezenty. Oblicz, jaka powinna być długość boków wycinanych kwadratów, aby pole powierzchni bocznej pudełka było największe.

Niech $x$ $[c m]$ będzie długością boku wycinanego kwadratu. Wykonujemy rysunek pomocniczy do zadania i wprowadźmy odpowiednie oznaczenia.

RZ6hK3nUAafVE

Zauważmy, że $30 - 2 x > 0$ oraz $40 - 2 x > 0$ , zatem $x \in (0, 15)$ .

Wobec tego pole powierzchni bocznej pudełka wynosi:

$P_{b} = 2 \cdot x \cdot (30 - 2 x) + 2 \cdot x \cdot (40 - 2 x)$

$P_{b} = 60 x - 4 x^{2} + 80 x - 4 x^{2} = - 8 x^{2} + 140 x$

Zauważmy, że otrzymaliśmy wzór funkcji, której wykres ma ramiona skierowane do dołu.

Zatem funkcja przyjmuje wartość największą dla punktu, który jest równy pierwszej współrzędnej $p$ wierzchołka paraboli, na której znajduje się wykres tej funkcji.

Wobec tego

$p = \frac{- 140}{2 \cdot (- 8)} = \frac{140}{16} = \frac{70}{8} = 8 \frac{3}{4} < 15$

Wycinany kwadrat powinien mieć bok długości $8 \frac{3}{4} cm$ .

Infografika

Dla nauczyciela